目　录

前言

第一章　什么是博弈论

第一节　博弈论基本概念

第二节　博弈论几个典型的模型

第三节　博弈的分类

第四节　博弈论的产生与发展

第二章　完全信息静态博弈

第一节　静态博弈分析方法

第二节　纳什均衡

第三节　纳什均衡的应用

第四节　混合策略纳什均衡

第五节　纳什均衡的存在性

第六节　多重纳什均衡及其选择

第三章　完全且完美信息动态博弈

第一节　动态博弈的扩展式表示法

第二节　逆向归纳法

第三节　子博弈和子博弈精炼纳什均衡

第四节　动态博弈模型

第五节　动态博弈中的同时选择行为

第六节　逆向归纳法的局限性和颤抖手均衡

第四章　不完美信息动态博弈

第一节　不完美信息动态博弈的表示

第二节　精炼贝叶斯均衡

第三节　旧货市场博弈模型

第四节　逆向选择与道德风险

第五章　重复博弈

第一节　重复博弈基本理论

第二节　有限次重复博弈

第三节　无限次重复博弈

第六章　不完全信息静态博弈

第一节　贝叶斯纳什均衡

第二节　贝叶斯博弈与混合策略均衡

第三节　不完全信息静态博弈模型

第四节　显示原理

第七章　不完全信息动态博弈

第一节　不完全信息动态博弈

第二节　空口声明博弈

第三节　信号博弈

第四节　不完全信息下的谈判博弈

第五节　有限次重复囚徒困境中的声誉模型(KMRW)

第六节　博弈论四种均衡概念的比较分析

主要参考文献

21世纪高等学校通识教育系列教材

博　弈　论

范如国　韩民春　编著

武汉大学出版社

总　　序

顾海良

进入新世纪，中国高等教育发展形成的共识之一，就是要着力教育创新。教育创新共识的形成，是以对时代发展的新特点的理解为基础的，以对当今世界和我国教育发展的新趋势的分析为背景的，以实现中华民族的伟大复兴和社会主义教育事业发展的历史任务为目标的，深刻地反映了高等教育确立“以人为本”新理念的必然要求。

教育创新的首要之义就在于，教育要与经济社会发展的实际相结合，要与我国社会主义现代化建设对各类高层次人才培养的需要相适应，努力造就具有创造精神和实践能力的全面发展的人才。为了达到教育创新的这些要求，高等教育不仅要实行教育理论和理念的创新，而且还要深化教育教学改革，着力提高教育教学质量和水平。特别要注重学科与专业设置的调整和完善，形成有利于先进科学技术发展和提高国民经济发展水平的学科专业和教学内容；要注重人才培养结构的优化，形成既能适应现代化建设对各级各类高层次人才的需求，又能体现和反映高校优秀的办学特色、办学风格和办学传统的人才培养模式。教育教学创新的这些措施，必然提出怎样对传统意义上的以“学科”、“专业”为主体的教育教学结构进行整合，并使之与现代社会发展要求相适应的“通识”教育相兼容和相结合的重大问题。

高等教育人才培养模式中的“专”、“通”关系问题，并不是现在才提出来的。至于与“专业”教育相对应的“通识”教育的思想，出现得更早些。在亚里士多德那里，就有与“自由”教育相联系的“通识”教育的思想。这里所讲的“通识”教育，通常是指对学生普遍进行的共通的文化教育，使学生具有一定广度的知识和技能，使学生的人格与学识、理智与情感、身体与心理等各方面得到自由、和谐和全面的发展。

世界高等教育的发展曾经经历过时以“通识”教育为主、时以“专业”教育为主，或者两者并举、并立的发展时期。从高等教育发展历史来看，早期的高等教育似倚重于“通识”教育。随着经济、科技和社会分工的不断发展和进步，高等教育也相应地细分为不同学科、专业，分别培养不同领域的专业人才，“专业”教育的比重不断增大。20世纪中叶以来，经济的迅猛发展、科技的飞速进步、知识的不断交叉融合，使学科之间更新频率加快，高度分化和高度综合并存，“专才”与“通识”的需求同在。但是在总体上，“通识”似更多地受到重视。这是因为，新时代高等教育培养的人才，应该具有很强的应变能力和适应能力，应该具有更为宽厚的知识基础和相当广博的知识层面，应该具有更强的信息获取能力和多方面的交流能力。显然，仅仅依靠知识领域过窄的专业教育，是难以培养出这样的人才的。

我国大学本科教育专业一度划分过细，学生知识结构单一，素质教育薄弱，人才的社会适应性多有不足。随着国家经济体制改革的深入、产业结构调整步伐的加快和国民经济的飞速发展，国家和社会对人才需求的类型和结构发生了急剧变化，对人才的规格和质量的要求也不断提高，划分过细的专业教育易于造成人才供给的结构性短缺。经济全球化发展和我国加入WTO，对我国高等教育人才培养提出了更为严峻的课题，继续走划分过窄、过细的专业教育之路，就可能出现一方面人才短缺、另一方面就业困难的严峻局面，将严重阻碍我国经济社会的发展，也将使我国高等教育陷于困境。我国教育界的有识之士和国家教育主管部门，已经深切地认识到这种严峻的形势。教育部前几年就在多方征求意见的基础上，推出了经大幅度修订的新的本科专业目录，使本科专业种类调整得更为宽泛些。各高等学校也在进一步加大教学改革力度，研究和修订教学计划，改革教学内容，努力使专业壁垒渐趋弱化，基础知识教育得到强化。这些都将有利于学生拓宽知识面，涉猎不同学科和专业领域，增强适应能力，全面提高综合素质。

在高等教育“通”、“专”关系的处理上，教育创新提供了解决问题的根本方法。通过教育创新，一方面能构筑高水平的通识教育的平台，另一方面也能增强专业教育的适应性，目的就是做好“因材施教”，实现“学以致用”。在这一过程中，除了要解决好选人制度即招生制度创新和教师队伍建设创新外，还要注重教学内容、教学方式和方法，以及教材建设等方面的创新。武汉大学有着坚持教育教学改革的优良传统，在教学内容、教学方式和方法改革、教材建设等方面做出了很多有益的努力。学校投入大量的精力和经费加强名师、名课、名教材建设，其中通识教育指导选修课程建设得到全国许多高校教师的积极支持和高度赞赏。

近些年来，我们经过精心组织与策划，奉献给广大读者的这套通识教育系列教材，力图向大学生展示不同学科领域的普遍知识及新成果、新趋势或新信息，为大学生提供感受和理解不同学术领域和文化层面的基本知识、思想精髓、研究方法和理论体系，为大学生日后的长远学习提供广阔的视野。我们殷切地希望能有更多更好的通识教材面世，不仅要授学生以知识、强学生之能力，更要树学生之崇高理想、育学生之创新精神、立学生以民族振兴志向！

（作者系武汉大学党委书记、教授、博士生导师）

前　　言

博弈论（Game Theory）是一种关于游戏的理论，又叫做对策论，是一门以数学为基础，研究对抗冲突中最优解问题的学科。事实上，博弈论也正是衍生于古老的游戏，如象棋、围棋、扑克等。

博弈论作为一门学科，是在20世纪50～60年代发展起来的，当非零和博弈理论、特别是不完全信息博弈理论获得充分发展时，开始成形。到20世纪70年代，博弈论正式成为主流经济学研究的主要方法之一。1994年诺贝尔经济学奖同时授予了纳什、泽尔腾、海萨尼三位博弈论专家。2005年诺贝尔经济学奖又授予了美国经济学家托马斯·谢林（Thomas Schelling）和以色列经济学家罗伯特·奥曼（Robert Aumann），以表彰他们在合作博弈方面的巨大贡献。

博弈论是人们深刻理解诸如经济行为和社会问题的基础。现在人们所说的博弈论，一般指非合作博弈论。非合作博弈强调的是个人理性、个人最优决策，其结果可能是有效率的，也可能是无效率的。它的特征是：人们行为相互作用时，行为人不能达成一个有约束力的协议。或者说，行为人之间的合约对于签约人没有实质性约束力。然而，在各种生活行为中，人与人之间除了竞争关系，还存在合作关系，常常是两种关系并存，合理的合作能够给双方带来共同利益。这是合作型博弈论研究的范畴。

对于人类而言，博弈论最重要的贡献就在于它能够促进人类思维的发展，促进人类的相互了解与合作。博弈论告诉人们，每个人都有自己的思想，每个个体都是理性的，所以必须了解竞争对手的思想。博弈论在很多领域中都有应用，在政治、军事学领域，博弈论被用于分析选举策略、竞争问题、战争起因等重大事宜。

在过去二三十年中，博弈论已成为社会科学研究的一个重要方法。有人说，如果未来社会科学还有纯理论的话，那就是博弈论。无论是合作博弈还是非合作博弈都给我们提供了一种系统的分析方法，使人们在其命运取决于他人的行为时制定出相应的战略。特别是当许多相互依赖的因素共存，没有任何决策能独立于其他许多决策之外时，博弈论价值更是巨大。

最近十几年来，博弈论在经济学尤其是微观经济学中得到了广泛的运用，博弈论在许多方面改写了微观经济学的基础，经济学家们已经把研究策略相互作用的博弈论当做最合适的分析工具来分析各类经济问题，诸如公共经济、国际贸易、自然资源、企业管理等。在现代经济学里，博弈论已经成为十分标准的分析工具。除经济学以外，博弈论目前在生物学、管理学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。现在已经有愈来愈多的人开始关注、了解并学习博弈理论。

本书共分七章。主要介绍博弈论的基本理论、完全且完美信息静态及动态博弈理论、完全但不完美信息动态博弈、重复博弈、不完全信息静态博弈和不完全信息动态博弈等理论，这些内容选择的难度和写作结构对于博弈理论的初学者来说是比较合适的，通过对这些相关内容的了解和学习，可以把握博弈理论的主要内容。

本书在写作过程中，参阅了大量中外的专业资料、著作和论文，在此谨向作者表示深深的谢意。武汉大学教务部和武汉大学出版社的范绪泉博士对本书的写作和出版给予了大力的支持和帮助，并向他们表示感谢。由于编者水平有限，加之时间仓促，书中错误和不妥之处在所难免，恳请广大读者和同行批评指正。

编　者

2006年3月

第一章　什么是博弈论

第一节　博弈论基本概念

一、关于博弈

“博弈论”是一种“游戏理论”，来自英文“Game Theory”。“Game”的基本意义是游戏，因此“Game Theory”就是一种“游戏理论”。

古语云：世事如棋。生活中的每个人就如同棋手一样，在一张张看不见的棋盘上布设一颗棋子，努力争胜。看一下对弈的情景，精明谨慎的棋手们相互揣摩、相互牵制，人人争赢，下出诸多精彩纷呈、变化多端的棋局。博弈论就是研究棋手们“出棋”时进行一个个策略选择时理性化、逻辑化的部分，并将其系统化为一门科学。换句话说，就是研究个体如何在错综复杂且相互影响中得出最合理的策略选择。事实上，博弈论也正是衍生于古老的游戏如象棋、围棋、扑克等。数学家们将这些具体的问题抽象化，通过建立完备的逻辑框架和体系来研究其变化及其规律。

在我国把“Game”和“Game Theory”译成“博弈”和“博弈论”，学术味很是浓郁。因为虽然“博弈”的通俗意思不过是对弈、赌胜，但它毕竟是一个不常用的带有文言色彩的词，因此给人以较强的理论色彩，甚至有点高深莫测的感觉。这又可能会使得一些博弈论的爱好者有些不敢去碰关于博弈论的书。不过，对更多的具有探讨求新精神的读者来说，用“博弈”和“博弈论”这种学术味很浓的名称，而不是“游戏”和“游戏理论”等容易让人觉得过于平常的称呼，更可能会让他们觉得值得一读，进而去做全面的学习和了解，不至于错过掌握其精髓的机会。事实上，博弈论对于一切对策略问题严肃认真的读者，对于所有想要经商、从政、从事法律工作，或想要兴邦定国的人，也包括那些想在比赛竞技中成功取胜的人，都是非常有价值的工具，是开拓思路和提高决策理论水平的思想宝库，错过了解它的机会是非常遗憾的。

博弈论主要研究人们的策略的相互依赖行为。博弈论认为，人是理性的，即人人都会在一定的约束条件下最大化自身的利益，同时人们在交往合作中利益有冲突，行为互相影响，而且信息常常是不对称的。博弈论也研究人们的行为，在直接相互作用时的决策，以及决策的均衡等问题。

博弈论是人们深刻理解诸如经济行为和社会问题的基础。现在人们说的博弈论，一般指非合作博弈论。它的特征是：人们行为相互作用时，当事人不能达成一个有约束力的协议。或者说，行为人之间的合约对于签约人没有实质性约束力。例如石油卡特尔欧佩克的产量协议，对于其成员国就没有约束力。对方心里想什么自己不知道，自己也不想让对方知道自己心里想什么。因此，协议经常不能坚持到底，总有一国率先增产降价以谋求自己更高的利润。但是，如果借助纳什均衡的概念，我们就能够很好地解决这一问题。纳什均衡是一种策略组合，给定对手的策略，每个参与人选择自己的最优策略。也就是说，纳什均衡是一种僵局，其他参与人的策略一定，没有任何人有积极性偏离这种均衡的局面。经济学中的完全竞争均衡，就是纳什均衡，因为买卖双方都是按照既定的价格进行交易量的选择，结果导致了零利润。把上述思想应用于现实经济、政治等境况，可以得出许多有启示性的结论，加深我们对于人们的社会行为的认识。

由于博弈论研究的问题大多是在各博弈方之间的策略对抗、竞争，或面对一种局面时的对策选择，因此博弈论在我国也被称为“对策论”，具体的博弈问题则被称为“对策问题”。其实，用“对策”和“对策论”称呼博弈和博弈论并不是很恰当，因为“对策”在实际中常被用来表示具体的应对方案，而博弈论所研究的决策问题却是有开始、有结束、有结果的整个过程，在这种过程中常常包含多个面对一定局面的对策选择，而问题的解则常常是由一组对策构成的一个完整的行动计划。

此外，在博弈论中，虽然每一方都要最大化自己的利益，但博弈理论和优化理论也有较大的差别。优化理论可以看成是单人决策，而博弈理论可以看成是多人决策。

在优化理论的决策过程中，影响结果的所有变量都控制在决策者自己手里；而在博弈决策过程中，影响结果的变量是由多个博弈者操纵的。如企业在追求自身成本最小化、利润最大化的过程中总是假定外部的条件是不变的，这是一个优化问题，而不是博弈问题，因为除了给定的外部条件外，剩下的因素都由决策者来控制，决策者自己就能控制决策的结果；如果外部条件是可变的，有其他主体参与，这时的决策过程就变成了一个博弈过程了，因为决策的最终结果不但取决于决策者本身，而且也取决于其他决策者的决策。

而且，优化过程是一个确定的过程，因为做出决策后，确定的结果就出来了。博弈过程也有确定性，因为决策各方的决策做出后，每一方的收益就确定了；但博弈过程更多的是不确定的，因为在一方做出决策后，影响结果的变量还有众多的其他博弈者的决策，在不知道其他博弈者决策的情况下，结果就不确定。例如，在一次产品削价竞争中，某一方发起削价竞争是一个决策。如果发起削价竞争，其他企业肯定有所反应，必然会有一个确定的结果存在，这是确定性的表现，但是最后的结果如何，取决于对方企业如何应对，所以在发起削价竞争时，并不能知道确切的结局会怎样，这就是不确定性的表现。由此可以看出，因为博弈的广泛存在，使得我们在现实生活中做任何决策时，实际上都受到其他人决策的影响，并对我们做决策产生一定影响，决策的结果除了由我们自己决定外还要受到其他决策主体的影响。

二、博弈的定义

下面我们给出博弈的定义。

博弈定义：博弈是指一些个人、团队或其他组织，面对一定的环境条件，在一定的约束条件下，依靠所掌握的信息，同时或先后，一次或多次，从各自可能的行为或策略集合中进行选择并实施，各自从中取得相应结果或收益的过程。

博弈是一种极为普遍的现象。在经济学中，博弈论是研究当某一经济主体的决策受到其他经济主体决策的影响，同时，该经济主体的相应决策又反过来影响其他经济主体选择时的决策问题和均衡问题。

从上述定义中可以看出，一个标准的博弈应当包括参与人、行为、信息、策略、次序、收益、结果、均衡八个方面。

1．博弈的参与人（Player），又称“局中人”，也称为“博弈方”，是指博弈中独立决策、独立承担后果，以自身利益最大化来选择行动的决策主体（可以是个人，也可以是团体，如厂商、政府、国家），局中人以最终实现自身利益最大化为目标。对我们来说，只要在一个博弈中统一决策、统一行动、统一承担结果，不管一个组织有多大，哪怕是一个国家，甚至是由许多国家组成的联合国，都可以作为博弈中的一个参加方。并且，在博弈的规则确定之后，各参加方都是平等的，大家都必须严格按照规则办事。为统一起见，本书将博弈中的每个独立参加方都称为一个“博弈方”。

2．博弈行为（Action），是指参与人的所有可能的策略或行动的集合，如消费者效用最大化决策中的各种商品的购买量；厂商利润最大化决策中的产量、价格等。根据该集合是有限还是无限，可分为有限博弈和无限博弈，后者表现为连续对策、重复博弈和微分对策等。

3．博弈信息（Information），是指参与人在博弈过程中所掌握的对选择策略有帮助的情报知识，特别是有关其他参与人（对手）的特征和行动的知识，即该参与人所掌握的其他参与人的、对其决策有影响的所有知识。

4．博弈策略（Strategies），又称战略，是指参与人可选择的全部行为（Actions）或策略的集合，也就是指参与人应该在什么条件下选择什么样的行动，即规定每个博弈方在进行决策时，可以选择的方法、做法或经济活动的水平、量值等，以保证自身利益最大化。在不同博弈中可供博弈方选择的策略或行为的数量很不相同，在同一个博弈中，不同博弈方的可选策略或行为的内容和数量也常不同，有时只有有限的几种，甚至只有一种，而有时又可能有许多种，甚至无限多种可选策略或行为。

5．博弈的次序（Order），即博弈参加者做出策略选择的先后顺序。在现实的各种决策活动中，当存在多个独立决策方进行决策时，有时候需要这些博弈方同时作出选择，因为这样能保证公平合理，而很多时候各博弈方的决策又有先后之分，并且有时一个博弈方还要作不止一次的决策选择。这就免不了有一个次序问题。因此界定一个博弈必须规定其中的次序，即使博弈的其他方面都相同，次序不同一般就是不同的博弈。

6．博弈方的收益（Payoff），又称支付，是指参与人从博弈中做出决策选择后的所得和所失，它是所有参与人策略或行为的函数，是每个参与人真正关心的东西，如消费者最终所获得的效用、厂商最终所获得的利润。由于我们对博弈的分析主要是通过数量关系的比较进行的，因此我们研究的绝大多数博弈，本身都有数量关系的结果或可以量化为数量的结果，例如收入、利润、损失、个人效用和社会效用、经济福利等，即“得益”。得益可以是正值，也可以是负值，它们是分析博弈模型的标准和基础。

7．结果（Outcome），是指博弈分析者感兴趣的要素集合。

8．均衡（Equilibrium），是指所有参与人的最优策略或行动的组合。这里的“均衡”特指博弈中的均衡，一般称为“纳什均衡（Nash Equilibrium）”。

均衡是经济学中的重要概念。均衡即是平衡的意思。在经济学中，均衡意即相关量处于稳定状态。在供求关系中，如果在某一商品市场的某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买到，而想卖的人均能将商品卖出去，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。此时的价格可称为均衡价格，产量可称为均衡产量。均衡分析是经济学中的重要分析。

博弈中的均衡，是指一种稳定的博弈结果，但不是说博弈的结果都能成为均衡。博弈的均衡是稳定的，是可以预测的。

以上八个方面是定义一个博弈时必须首先设定的，确定了上述八个方面就确定了一个博弈。博弈论就是系统研究可以用上述方法定义的各种博弈问题，寻求在各博弈方具有充分或者有限理性（Full or Bounded Rationality）、能力的条件下，合理的策略选择和合理选择策略时博弈的结果，并分析这些结果的经济意义、效率意义的理论和方法。

第二节　博弈论几个典型的模型

在进行博弈论的相关理论分析之前，我们首先来接触博弈论中一些典型的例子或模型。

例1“囚徒困境”（Prisoner’s Dilemma）

关于博弈论，流传最广的是一个叫做“囚徒困境”的故事。这个博弈是1950年图克（Tucker）提出的，这个博弈模型提出后曾引发了大量的相关研究，也有许多关于“囚徒困境”的版本。“囚徒困境”对博弈论的发展起到了巨大的推动作用。可以说凡是讲博弈论，都会说到这个经典的博弈模型。

说是有一天，一位富人在自己家中被害，财物被盗。警察在此案的侦破过程中，抓到两个小偷，并从他们的住处搜出了被害人家中丢失的财物。但是，他们矢口否认曾杀过人，辩称是先发现富翁被杀，然后只是顺手偷了点儿东西。为了弄清真相，警察将两人隔离，分别关在不同的房间进行审讯。警察说：“由于你们的偷盗罪已有确凿的证据，所以如果你们都坦白交代，可以判你们8年刑期。如果你单独坦白杀人的罪行，我判你无罪，立即释放，但你的同伙要被判9年刑。如果你拒不坦白，而被同伙检举，那么你就将被判9年刑，他判无罪，立即释放。”但是，如果两人都抗拒，那么，他们最多被判1年刑。

如果分别用－8、－9和－1表示罪犯被判刑8年、9年和1年的得益，用0表示罪犯被立即释放的得益，则我们可以用一个特殊的矩阵将这个博弈表示出来（见图1.1）。这种矩阵是表示博弈问题的一种常用方法，我们称这种矩阵为一个博弈的“得益矩阵”（Payoff Matrix）。

图1.1

图1.1中“囚徒1”、“囚徒2”代表本博弈中的两个博弈方，也就是两个囚犯，他们各自都有“不坦白”和“坦白”两种可选择的策略，因为这两个囚徒被隔离开，其中任何一人在选择策略时都不可能知道另一人的选择是什么，因此不管他们决策的时间是否真正相同，我们都可以把他们的决策看做是同时作出的；矩阵中的每个元素都是由两个数字组成的数组，表示所处行、列代表的两博弈方所选策略的组合下双方的得益，其中第一个数字为选择行策略的囚徒1的得益，第二个数字为选择列策略的囚徒2的得益。

对该博弈中的两个博弈方来讲，各自都有两种可选择的策略，因此该博弈共有四种可能的结果。在这些结果中，每个博弈方可能取得的最好得益是0，最坏得益是－9。两个博弈方的目标都是要实现自身的最大利益。那么他们该怎样选择策略？博弈的结果又会如何呢？

例如对囚徒1来说，囚徒2有“坦白”和“不坦白”两种可能的选择，假设囚徒2选择的是“不坦白”，则对囚徒1来说，“不坦白”得益为－1，“坦白”得益为0，他应该选择“坦白”，（因为根据参与者理性的原则，囚徒1只是根据自身利益最大的原则行事，不会关心此时另一方会被重判9年刑的问题）；假设囚徒2选择的是“坦白”，则囚徒1“不坦白”得益为－9，“坦白”得益为－8，他还是应该选择“坦白”。因此在本博弈中，无论囚徒2有多少种策略，只考虑自身利益的囚徒2的选择是惟一的，那就是“坦白”，因为在另一方的两种可能选择的情况下，“坦白”给他自己带来的得益都是最大的。我们说“坦白”是囚徒1的一个占优的“上策”（Dominant Strategy）。

同样的，因为囚徒2与囚徒1的情况完全相同，因此囚徒2的决策思路和选择也与囚徒1完全相同，囚徒2在这个博弈中惟一合理的选择也是“坦白”，或者说“坦白”也是囚徒2的“上策”。所以该博弈的最终结果必然是两博弈方都选择“坦白”策略，都获得益－8，即都被判8年徒刑。

然而，仔细分析“得益矩阵”后我们可以发现，在这个博弈中，对这两个囚徒来讲，最佳的结果不是都“坦白”各得益－8，而都“不坦白”，因为都“不坦白”各得益－1，显然比都“坦白”各得益－8好得多。然而，由于这两个囚徒之间不能共谋，并且各人都追求自己的最大利益而不会顾及对方的利益，双方又都不敢相信或者说指望对方有合作精神，因此只能实现并不是最理想的结果。由于这种结果在博弈中又必然会发生，很难摆脱，因此这个博弈被称为“囚徒困境”。尽管从全社会利益角度来说是非常理想的，因为罪犯都受到了惩罚，然而从博弈中两个利益主体出发选择行为，结果是既没有实现两人总体的最大利益，也没有真正实现自身的个体最大利益。

该博弈揭示了个体实现的总体的最大利益，但不是真正的个体的最大利益。而且，因为个体为了自己的利益最大，而不愿意改变决策（改变决策的结果是不划算），结果导致整体利益最小。该博弈揭示了个体理性与集体理性之间的矛盾（从个体利益出发的行为最终也不一定能真正实现个体的最大利益，甚至会得到相当差的结果）。我们知道，微观经济学的基本观点之一，是通过市场机制这只“看不见的手”，在人人追求自身利益最大化的基础上可以达到全社会资源的最优配置。囚徒困境对此提出了新的挑战。

囚徒困境的问题是博弈论中的一个基本的、典型的事例，类似问题在许多情况下都会出现，如寡头竞争、军备竞赛、团队生产中的劳动供给、公共产品的供给，等等。

例2　寡头竞价模型

我们在前面已经提到了这一种博弈。在市场竞争中寡头之间通过竞价，尤其是通过降价争夺市场是市场竞争中十分普遍的行为。但削价竞争并不一定是成功的策略，因为一个寡头的降价往往会引起竞争对手的报复，此时降价不仅不能扩大销量，而且还可能会降低利润率。下面我们用一个双寡头两种价格的价格竞争模型来说明上述现象。

设寡头1和寡头2是双寡头市场上的两个寡头，它们共同用相同的价格销售相同的产品。现在假设这两个寡头不满足它们各自的市场份额和利润，都想通过降价来争夺更大的市场份额和更多的利润。如果只有一方降价而另一方维持原来的高价，则降价方的目的显然是可以达到的。然而当一方的降价引起对手的报复时，这种目的就不一定能达到。假设两寡头在原来的“高价”策略下各可以获得80万元的利润；如果某个寡头单独降价，那么它可以获得130万元利润，此时另一寡头由于市场份额缩小，利润也下降到20万元；如果另一寡头也跟着降价，则两寡头都只能得到60万元利润。用图1.2表示该博弈的得益矩阵。

图1.2

假设寡头2采用“高价”策略，那么寡头1采用“高价”得策略80万元，采用“低价”策略得130万元，显然寡头1应该采用“低价”策略。假设寡头2采用“低价”策略，那么寡头1采用“高价”策略得益为20万元，采用“低价”策略得益60万元，显然寡头1也应该采用“低价”策略。用同样的方法分析寡头2的情况，也可知道不管寡头1的策略是什么，寡头2都应该选择“低价”策略。因此，这个博弈的最终结果一定是两寡头都采用“低价”策略，各得到60万元的利润。

由于本博弈是一个非合作博弈问题，且两博弈方都肯定对方会按照个体行为理性原则决策，因此虽然双方采用“低价”策略的均衡对两个博弈方来说都不是理想的结果，但因为两博弈方都无法信任对方，都必须防备对方利用自己的信任（如果有的话）谋取利益，所以双方都会坚持采用“低价”策略，各自得到60万元的利润，各得80万元利润的结果是无法实现的。因此这种双寡头竞价博弈也是一种囚徒困境式的博弈关系。

例3　“田忌赛马”

“田忌赛马”是我国古代一个非常有名的故事，讲的是发生在齐威王与大将田忌之间的赛马的故事。田忌在谋士孙膑的帮助下，运用谋略以弱胜强战胜了齐威王。这个故事讲的其实是一个很典型的博弈问题。

齐威王与田忌赛马时，其规则是这样的：每次双方各出三匹马，一对一比赛三场，每一场的输方要赔一百匹马给赢方。齐威王的三匹马和田忌的三匹马按实力都可以分为上、中、下三等，但齐威王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略胜一筹，因为总是同等次的马进行比赛，因此田忌每次都是连输三场，连输三百匹马。显然，田忌的上马是赶不上齐威王的上马的，但比齐威王的中马和下马要好，而田忌的中马却比齐威王的下马要好一些。

于是谋士孙膑给田忌出了个主意。孙膑让田忌不要用自己的上马去对抗齐威王的上马，而是用自己的下马去对抗齐威王的上马，上马则去对抗齐威王的中马，中马对抗齐威王的下马。这样，虽然第一场田忌必输无疑，但后两场却都能获胜，二胜一负，田忌反而赢得齐威王一百匹马。

显然，在田忌策略改变的情况下，齐威王不会一直无动于衷。相反，一旦齐威王发觉田忌在使用计谋，明白了自己为什么输时，他必然也会改变自己三匹马的出场次序，以免再落入田忌的圈套，从而使赛马变成一个具有策略依存特性的决策较量，构成典型的博弈问题。

此时赛马问题变成：齐威王和田忌双方都清楚各自马的实力，即齐威王的三匹马分别比田忌的三匹马略强一些和一旦改变出场次序，输赢的结果就可能会改变，也都明白输赢的关键，是双方马的出场次序比较有利于哪一方。对齐威王来说，最理想的出场次序是各场比赛己方出场马的等级与田忌方出场马的等级相同，即不管出场的先后次序究竟如何，只要以自己的上马对田忌的上马，以自己的中马对田忌的中马，以自己的下马对田忌的下马，这样就肯定能连赢三场；比较满足的是三场中有一场是同等级的马比赛，或者自己的下马、上马和中马分别对田忌的上马、中马和下马，这两种情况都能实现两胜一负，最后齐威王还能赢一百匹马；最差的情况是齐威王的上、中、下马分别与田忌的下、上、中马比赛，结果是一胜二负，输一百匹马。

而且，由于齐威王的赢就是田忌的输，因此对齐威王最好的情况就是对田忌最坏的情况，对齐威王最坏的情况就是对田忌最好的情况，可见双方的得益是严格对立的。

“田忌赛马”表达成一个标准的博弈问题就是：（1）该博弈中有两个博弈方，即齐威王和田忌；（2）两博弈方可选择的策略是己方马的出场次序，因为三匹马的排列次序共有3！＝3×2＝6种，因此双方各有6种可选择的策略（如图1.3）；（3）由于双方在决策之前都不能预先知道对方的决策，因此可以看做是同时选择策略的，决策没有先后次序关系；（4）如果把赢一百匹马记成得益1，输一百匹马记成得益－1，则两博弈方在双方各种策略的组合下的利益，如图1.3得益矩阵中数组的元素所示，其中前一个数字表示齐威王的得益，后一个数字表示田忌的得益。

图1.3

在这个博弈中齐威王和田忌应该怎样选择自己的策略，才能最终获得满意的结果呢？

首先，作为博弈方的齐威王和田忌不能让对方知道或猜中自己的策略，从而导致自己输掉比赛。这也意味着任何一方的策略选择不能一成不变，或者不能有规律性地变动，即必须以随机的方式选择策略，否则一旦对方捕捉到这种规律性的变动，就可以针对性地采取应对措施。

其次，无论对齐威王还是对田忌，可选择的六种策略之间没有优劣之分。从图1.3可以看出，对齐威王来说，每一种策略都可能有六种不同的结果，究竟最终得哪种结果，主要看对方策略与自己策略的对应状况，而不是己方的策略本身。同样的，对田忌来讲六种策略本身也无好坏之分。因此，两博弈方在决策时对己方的可选策略并无偏好，应以相同的概率选用。

根据以上讨论，我们可以得到以下结论：这种博弈如果只进行一次，双方的策略选择和最终的博弈结果是无法确定的，输赢主要取决于机会和运气。

例4　诺曼底登陆

这是美国普林斯顿大学1981年的博弈论课程中的一个实验，模拟诺曼底登陆。

1944年，以艾森豪威尔为总司令的盟国远征军经过近一年的准备，在英国集结了强大的军事力量，准备横渡英吉利海峡，在欧洲开辟第二战场。

当时可供盟军选择的登陆地点有两个，一是塞纳河东岸的某个地方，这里海峡最狭窄的地方只有几十公里，是一个理想的登陆地点；另一个地点是塞纳河西岸的诺曼底半岛，这里海面宽阔，渡海时间较长，容易被敌人发现。

当时德军的总兵力是58个师，比盟军略多。所获情报表明，德军在东岸一带的防守兵力多于在诺曼底的防守兵力，盟军拟以诺曼底为登陆点。

诺曼底登陆战本来是计划在6月5日打响的，但遇上了暴风雨。盟军参谋部预测在6月6日有一段时间的好天气，艾森豪威尔当机立断，决定冒险抓住这个机会，发起进攻。

6月6日凌晨两点，盟军的2个伞兵师空降到德军的防线后面，接着，飞机和军舰猛烈轰击德军的防御阵地，凌晨6点半，第一批地面部队登陆。

现在回到普林斯顿的博弈实验。

设我方2个师的兵力，敌方3个师的兵力，只能整师调动。有两条进攻路线。我方兵力超过敌方，则获胜；我方兵力小于或等于敌方兵力，则我方负。该如何决策？

敌方有四种选择方案：（1）方案A：三个师都驻守甲方向；（2）方案B：三个师都驻守乙方向；（3）方案C：两个师驻守甲方向，一个师驻守乙方向；（4）方案D:一个师驻守甲方向，两个师驻守乙方向。

我方有三种选择方案：（1）方案a：两个师从甲方向进攻；（2）方案b：两个师从乙方向进攻；（3）方案c：兵分两路，两个方向各派一个师进攻。

下面，我们用“1”表示获胜，用“0”表示失败，其得益矩阵见图1.4。

图1.4

现在我们来分析敌方的策略选择。A方案不如C方案，B方案不如D方案。所以，敌方不会选择A、B方案，于是，剔除掉这两个方案，得到图1.5的对策矩阵。

图1.5

在剩下的对策矩阵中，再分析我方的策略选择。c方案比a、b方案都要差，所以，要将c方案剔除，得到图1.6的对策矩阵：

图1.6

所以，最后的均衡是：敌方不可能把所有兵力都驻守在一个方向，我方也不可能兵分两路进攻，在两个进攻方向上，如果我方攻击敌方的薄弱之处，我方取胜；若攻击敌方的强大之处，我方失败。可见，在博弈中信息非常重要。

不仅信息重要，而且，信号传递等因素也非常重要，这些问题我们在后面的章节中都会进行分析。

例5　猜硬币游戏

猜硬币是我们经常玩的一种游戏，两人通过猜硬币的正反面赌输赢，其中一人用手盖住一枚硬币，由另一方猜是正面朝上还是反面朝上，若猜对，则猜者赢1元，盖硬币者输1元；否则，猜者输1元，盖硬币者赢1元。如果赢1元得益为1，输1元得益为－1，我们可用图1.7的得益矩阵表示这个猜硬币博弈问题。

图1.7

图1.7中“盖硬币方”和“猜硬币方”为本博弈的两个博弈方；他们各有“正面”和“反面”两种可选择的策略；由于每一方都不会让对方在选择之前知道自己的选择，因此可看做两博弈方是同时作决策的；矩阵中数组元素表示所处行列对应的两博弈方的策略组合下双方各自的得益，其中前一个数字表示盖硬币方的得益，后一个数字表示猜硬币方的得益。

这个游戏博弈中，双方的利益也是严格对立的，取胜的关键都是不能让另一方猜到自己的策略而同时自己又要尽可能猜出对方的策略。在一次性博弈中结果取决于机会，在多次重复中，如果双方的决策方式都正确，则我们可求得平均的双方得益，彼此的得益相同，大家不输不赢。

例6　石头·剪刀·布

孙悟空和猪八戒护送唐僧去西天取经，一日来到火焰山，方圆百里酷热难当，孙悟空和猪八戒二人必须有一人去寻找淡水，否则唐僧师徒将命丧火焰山。但唐僧师徒经过长途跋涉已非常劳累，在火焰山找水更是难上加难，因而寻找淡水是份苦差事，孙悟空和猪八戒谁都不想承担这份工作。唐僧命令谁去都会引来“凭什么让我去”这样的诘问，一个较好的解决办法就是让唐僧当裁判，孙悟空和猪八戒通过石头、剪刀、布的游戏博弈来决定胜负，谁输谁去寻找淡水。由于双方赢的概率一样，因而无论谁输，都输得心服口服。游戏规则如下：孙悟空和猪八戒必须同时出招，谁后出算谁输；石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头；如果一样，不算输也不算赢，重新再来一次。例如，孙悟空出剪刀，猪八戒出布，孙悟空赢。如果孙悟空和猪八戒都出剪刀，则重新开始游戏。根据上面所绐出的信息，可以把孙悟空和猪八戒两人可能的策略和输赢列成矩阵形式，如图1.8所示。

图1.8

其中，0表示不输不赢；1表示赢；－1表示输。

从这个游戏可以看出，无论是孙悟空还是猪八戒，他们出什么招，关键在于他们对对手可能出什么招的“推测”上。如果孙悟空“推测”猪八戒可能出石头，孙悟空的最优策略是出布，其他策略都是下策；如果孙悟空“推测”猪八戒可能出剪刀，孙悟空的最优策略是出石头，其他策略也都是下策。同理，猪八戒的选择也是一样。因此，孙悟空采取什么策略，关键取决于猪八戒的策略，而猪八戒采取什么策略反过来又取决于孙悟空的策略。这表明孙悟空和猪八戒的策略具有相互依存性。

该博弈的性质和田忌赛马，以及猜硬币博弈等都是相似的。

例7　古诺模型

下面我们再介绍一个经典的经济博弈模型，即寡头之间通过产量进行竞争的古诺博弈模型，这一模型同时也是产业组织理论的里程碑。古诺模型可以有多种不同的变型，这里先介绍一种离散产量的三厂商产量博弈和一种连续产量的n个厂商博弈。

1．离散产量模型

假设有三个厂商在同一个市场上生产销售完全相同的产品，它们各自的产量分别用q_1、q_2和q_3表示。再假设q_1、q_2和q_3只能取1，2，3，…正整数数值，即产量是离散的而不是连续变化的。价格是市场总产量Q＝q_1＋q_2＋q_3的函数，假设该函数为

它表示市场出清时的价格。为了简化分析和突出博弈关系，假设各厂商的生产都无成本。

由于三个厂商的产量之和超过20单位时价格和利润都会降到0，因此我们假设它们的总产量始终不会大于20。此时厂商i的利润函数为

该利润函数明确反映了三个厂商策略和利益之间的依存关系，即每个厂商的利润都与所有厂商的产量有关，而不是只跟自己的产量有关。根据上面的价格函数和这个利润公式，我们首先计算出在产量组合为（4，8，6）时，市场价格为2，三个厂商的利润分别为8、16和12的情况，见表1.1的第一行。同时计算其他几种可能的产量组合下的市场价格及其利润，均列于表1.1中。

表1.1　　　离散产量组合对应的价格和利润

显然三个厂商不会满意（4，8，6）的产量组合及其利润。因为此时的总产量水平太高，任何一个厂商降低自己的产量都会使所有厂商的利润增加。假设厂商2将产量降低3单位，则市场价格上升为5，三个厂商利润分别升到20、25和30单位。结果见表1.1中数字的第二行。

对该产量水平三个厂商仍不满意，而且不具有稳定性。虽然厂商2和厂商3都会满意于这个产量组合，因为它们无论是提高还是降低产量都只会降低自己的利润，但厂商1可能并不一定满意，因为在三个厂商中它的利润最低，如果它提高1单位产量利润并不会降低，而且对改善它的相对地位很有好处，就可以预计它会将产量从4单位提高到5单位。这样市场价格将降低到4，三个厂商的利润将分别为20、20和24，如表1.1中第三行数字所示。

同样地，产量组合（5，5，6）仍然不是一个稳定的产量组合。

只有产量组合（5，5，5）是很稳定的。因为在这个产量组合下，任何一个厂商单独提高或降低产量，都只会减少利润而不会增加利润，因此该产量组合是一个均衡。然而该产量组合给各个厂商带来的利润并不是最大的。因为如果这三个厂商各生产3单位产量，市场价格将是11，三个厂商的利润都能达到33，明显高于它们各生产5单位产量时的各25单位利润。结果见表1.1的倒数第二行。

然而，三个厂商却不会采用各生产3单位产量的策略，因为在其他两个厂商都只生产3单位产量时，某个厂商单独提高产量，如果提高到7单位，能够大大提高利润，而坚持生产3单位产量的厂商则只能得到低得多的利润（结果见表1.1最后一行），因此三个厂商各生产3单位的产量组合是绝对不稳定的，即使它是给三个厂商都带来最大的利益的产量组合。因此，该博弈的均衡结果只能是三个厂商各生产5单位产量，市场价格为5，三个厂商各得利润25单位。

2．连续产量模型

下面再考虑一个n个厂商销售相同产品的寡头市场产量博弈问题。市场容量同样是有限的，市场出清价格是投放到该市场上产品总量的减函数，产品总量就是这n个厂商各自产量的总和。假设这n个厂商可各自自由选择自己有能力生产的任何产量，厂商之间既不存在相互的协商，也不受相互的限制，并且它们是在同一时间决定生产的产量。此时，这n个厂商该如何作这个产量决策呢？

如果我们将上述决策问题看做一个博弈，那么n个厂商就是其中的n个博弈方。它们可以选择的策略就是自己要生产和投放市场的产量，如果我们假设产量是连续可分的，则每个厂商都有无限多种可供选择的产量，也就是该博弈中各博弈方的可选策略数都是无穷大，此时我们不可能用罗列的办法或者矩阵、图表的形式把它们表达出来。

对生产厂商来说，其得益就是生产的利润，即销售收益减去成本后的余额。设厂商i的产量为qi，则n个厂商的总产量就是。根据前面的讨论，我们已知市场出清价格P是总产量的减函数，即P＝P（Q），因此。这样，厂商i的收益就为。再假设没有不变成本，厂商i生产单位产量的成本为固定的c，则它生产qi单位产量的总成本为cqi。因此，厂商i生产qi产量的得益为。

由此可以看出，厂商i的得益不仅取决于其单位成本c和自己的产量决策qi，还通过价格取决于其他厂商的产量决策，因此厂商i在决策时必须考虑到其他厂商的决策方式和它们对自己的决策的可能反应。换句话说，其他厂商的产量决策本身又是厂商i产量的函数。因此，厂商i的产量决策与其他厂商的产量决策之间有一种复杂的相互依存关系，绝对没有表面上看起来的这么简单。

第三节　博弈的分类

一、博弈的分类（Types）

在上面关于博弈例子的分析中，我们可以看到，博弈论是非常强调时间顺序和信息的重要性的，认为时间顺序和信息是影响博弈均衡的主要因素。在博弈过程中，参与者之间的信息传递决定了其行动空间和最优战略的选择；同时，博弈过程中始终存在一个先后时间顺序（Sequence或Order），参与人的行动次序对博弈最后的均衡有直接的影响。

因此，博弈的分类可以从参与人行动的次序和参与人对其他参与人的特征、战略空间和支付的知识、信息是否了解两个角度进行。从不同的角度，对博弈可以有不同的分类。

1．如果按照参与人的先后顺序、博弈持续的时间和重复的次数进行分类，博弈可以划分为静态博弈（Static Game）和动态博弈（Dynamic Game）。

静态博弈是指这样一种博弈，在这种博弈中，参与者同时采取行动，同时进行策略决定，参与者所获得的支付依赖于他们所采取的不同的策略组合情况。因此，我们也把静态博弈称为“同时行动的博弈”（Simultaneous-Move Games）。或者尽管参与者的行动有先后顺序，但后行动的人不知道先行动的人采取的是什么行动。如“囚徒困境”就是如此。再比如工程招标，不同的投标者投标的时间也许不同，但只要互相不知道对方的报价，则是同时行动。

动态博弈是指在博弈中，参与人的行动有先后顺序（Sequential-Move），且后行动者能够观察到先行动者所选择的行动。

2．如果按照参与人对其他参与人所掌握的信息的完全与完备程度进行分类，博弈可以划分为完全信息博弈（Game with Complete Information）与不完全信息的博弈（Game with Incomplete Information），以及完美信息的博弈（Game with Perfect Information）与不完美信息的博弈（Game with Imperfect Information），确定的博弈（Game of Certainty）与不确定的博弈（Game of Uncertainty），对称信息的博弈（Game of Symmetric Information）与非对称信息的博弈（Game of Asymmetric Information）等。

信息是博弈论中重要的内容。完全博弈是指在博弈过程中，每一位参与人对其他参与人的特征、策略空间及收益函数有准确的信息。严格地讲，完全信息博弈是指参与者的策略空间及策略组合下的支付，是博弈中所有参与者的“公共知识”（Common Knowledge）的博弈。

完美信息是指局中人完全清楚到他决策时，所有局中人的所有决策信息，或者说，了解博弈已进行过程的所有信息。

3．如果参与人对其他参与人的特征、策略空间及收益函数信息了解的不够准确，或者不是对所有参与人的特征、策略空间及收益函数都有准确的信息，在这种情况下进行的博弈就是不完全信息博弈。对于不完全信息博弈，参与者所做的是努力使自己的期望支付或期望效用最大化。

在不完全信息的博弈中，首先行动的是自然（Nature），自然决定了博弈者以多大的可能性采取某种行动，由自然决定的每个博弈者以多大的可能性采取某种行动的情况只有每个博弈者个人知道，其他博弈者都不知道。

确定的博弈是指不存在由自然作出行动的博弈，否则就是不确定的博弈。

4．如果按照参与人之间是否存在合作进行分类，博弈可以划分为合作博弈（Cooperative Game）和非合作博弈（Non-Cooperative Game）。合作博弈是指参与人之间有着一个对各方具有约束力的协议，参与人在协议范围内进行的博弈。人们分工与交换的经济活动就是合作性的博弈。如果博弈者无法通过谈判达成一个有约束的契约来限制博弈者的行为，那么这个博弈为非合作博弈。典型的合作博弈是寡头企业之间的串谋（Collusion）。串谋是指企业之间通过公开或暗地里签订协议，对各自的价格或产量进行限制，以达到获取更多垄断利润的行为。后面将会继续讨论的囚徒困境和将要讨论的公共资源悲剧都是非合作性的博弈。

根据上述分类，非合作博弈可以分为四种不同的类型：完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。与上述四种博弈相对应，有四种均衡概念，即：纳什均衡（Nash Equilibrium）、子博弈精炼纳什均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium），贝叶斯纳什均衡（Bayesian Nash Equilibrium），精炼贝叶斯纳什均衡（Perfect Bayesian Nash Equilibrium）。非合作博弈及对应的均衡概念见表1.2。

表1.2　　　非合作博弈的分类及对应的均衡概念

现代博弈论的研究重点是非合作博弈。比如两家企业Ａ、Ｂ合作建设一条生产线，Ａ方提供生产技术，Ｂ方则提供相关的厂房和设备。在对技术和设备进行资产评估时就存在非合作博弈问题，因为每一方都试图最大化己方的评估值，这时Ｂ方如果能够获得Ａ方关于技术的真实估价或参考报价这类竞争信息，则可以使自己在评估中获得优势；同理，Ａ方也是一样。至于自己的资产评估是否会影响合作企业的总体运行效率这样的“集体利益”，在分别进行资产评估时无论A方还是B方都不会重视。这就是非合作博弈，参与人在选择自己的行动时，优先考虑的是如何维护自己的利益。合作博弈强调的是集体主义、团体理性（Collective Rationality），是效率、公平、公正；而非合作博弈则强调个人理性、个人最优决策，其结果是有时有效率，有时完全无效率。

另外，根据参与人支付的情况，又有以下分类：

5．零和博弈（Zero-Sum Game）和非零和博弈（Non-Zero-Sum Game）。

6．常和博弈（Constant-Sum Game）和变和博弈（Variable-Sum Game）。

下面我们将就上述具体分类的内容分别进行讨论。

二、博弈中的博弈方（Players）

1．单人博弈

单人博弈即只有一个博弈方的博弈。单人博弈由于不存在其他博弈方对博弈中惟一的博弈方的反应和反作用，因此相对人数较多的博弈要简单得多。严格地讲，单人博弈已经退化为一般的最优化问题，因此不属于博弈论研究的目标对象。不过讨论单人博弈还是有价值的，因为包括单人博弈可以使博弈理论的结构更加完整。分析单人博弈可以给分析复杂的多人博弈提供启示，而且两人、多人博弈，包括后面会介绍的多阶段动态博弈等，常要转化为多个、多层次的单人博弈进行分析。

我们介绍一个单人博弈的例子。

有一个商人需要将一批商品从A地向B地运输，从A地到B地有水、陆两条路线，走陆路运输成本为0.8万元，走水路的运输成本为0.6万元。走陆路比较安全，走水路则有一定的风险，如果遇到恶劣天气将会造成这批货物总价值10％的损失。假设已知该批货物的总价值为10万元，运输期间出现暴风雨天气的概率为20％，问该商人该选择哪条运输路线？

对这个博弈我们可用得益矩阵方法来表示。为了把天气因素放进博弈中加以考虑，我们引进一个代表随机选择作用的博弈方，博弈中的真正决策者商人为“博弈方1”。显然博弈方是虚拟的，并不真正存在，只是为了使这个问题变成一个博弈问题，我们虚构了一个与商人博弈的博弈者，即“大自然”。博弈方0的任务分别以3/4的概率和1/4的概率随机选择好天气和坏天气。显然博弈方0不会有追求“自身利益”的愿望。

如果我们以商人的运输成本或者加上损失作为商人的得益，由于成本是一种负的得益，因此用负号表示，于是可用图1.9中的得益矩阵表示该博弈。

图1.9中商人和自然为两个博弈方；商人有水路、陆路两种可选策略，自然则有好天气、坏天气两种可能的选择；由于商人决策时不知道未来天气的实际情况（即使自然对天气的选择可以被看做在商人决策前早就作出），而自然在选择天气时当然更不会去管商人作了怎样的决策，因此该博弈中的两博弈方可以看做是同时决策的；矩阵中的四个元素分别代表商人在四种可能情况下的得益（成本和损失的负值），自然的得益则不用考虑。

图1.9　运输路线得益矩阵

下面我们用一种新的博弈表示法——“扩展型”（Extensive Form）来表示该博弈，如图1.10所示。

图1.10

这种图形称为“扩展型”，其中圆圈称为两个“选择节点”或“节点”（Nodes），也称为“信息集”（Information Set），A，B分别表示两节点对应的博弈方的两种选择，数字1表示博弈中惟一的博弈方。图中从两个信息集引出的线条代表博弈方在该处可选择的各种行动或方向，四个黑点表示博弈的终端，括号中的数字表示博弈方选择相应的“行动路径”到达这些终端时所得到的得益。

博弈的扩展型表示法有直观明了的好处，能比较形象地反映博弈中实现每个得益的策略路径。与得益矩阵图相比，由于它能反映出博弈过程中选择、行为的先后次序，因此它特别适合于表示我们后面将要介绍的博弈方非同时行动或选择的“动态博弈”。

图1.10中第一个信息集为博弈方0，即自然的选择节点。因为博弈方1决策时无法知道自然已作出的选择，因此虽然自然的选择有两条路径，分别到达两个不同的节点，但博弈方1却仍然只作一个选择，而不是针对两个节点分别作选择。当然，对应博弈方1的两种策略，事实上仍然有四种不同的结果，即他的两种策略与两个不同的节点（对应自然的不同选择）组合。如图1.10中四个黑点表示的终端所示，每个终端的数字表示沿相应的决策路径到达终端时，博弈方1，也即商人的得益。

这样，我们就用得益矩阵和扩展型两种方法，将商人关于运输路线的决策问题表示为一个实质上的单人博弈、形式上的两人博弈。在本博弈中，商人走水路时，得益为－0.6的概率为80％（好天气），得益为－1.6的概率为20％（坏天气），因此走水路的期望得益为（－0.6）×20％＋（－1.6）×20％＝－0.8；走陆路时，得益是确定的－1。因为－0.8＞－1，即走水路的期望费用0.8小于走陆路的费用1，所以该商人还是应该选择走水路。若多次碰到同样的决策选择并每次都作这样的选择，则平均每次的运输成本应接近0.8。

单人博弈实质上就是一个个体的最优化问题。显然，此时博弈方拥有的信息越多，即对环境条件了解得越多，决策的准确性就越高，得益也就越好。不过当博弈方数量达到两个以上后，信息越多得益越大的结论就未必成立了。信息拥有量与得益具有正相关性，是单人博弈区别于两人或多人博弈的重要特性之一。

2．双人博弈

双人博弈就是两个各自独立决策，但策略和利益具有相互依存关系的博弈方的决策问题。双人博弈是博弈问题中最常见，也是研究得最多的博弈类型。

关于双人博弈，我们要注意的是，双人博弈中的两个博弈方之间并不总是相互对抗的，有时候也会出现两博弈方利益方向一致的情形。而且，在双人博弈中，掌握信息较多并不能保证利益也一定较多。例如信息较多的博弈方常常更清楚过度竞争的危险，因此为了避免不理智的恶性过度竞争，避免两败俱伤，只能采取较为保守的策略，从而也只能得到较少的利益。相反，那些信息较少，对危险了解较少的博弈方却可能因为不会顾忌后果而掌握了主动，从而得到更多的利益。

3．多人博弈

多人博弈是指有三个或三个以上的博弈方参加的博弈。在多人博弈中，各博弈方也是在意识到其他博弈方的存在，以及其他博弈方存在对自己决策的反应和反作用的情况下，寻求自身最大利益的决策活动，只是现在其他博弈方不止一个，而是有两个或更多。多人博弈的基本性质和特征与两人博弈很相似，我们常常可以用研究两人博弈同样的思路和方法来研究它们，或将两人博弈分析中得到的结论直接推广到多人博弈。

但是这种做法并不总是有效的，由于多人博弈中有比两人博弈更多的追求自身利益的独立决策者，因此多人博弈中策略和利益的相互依存关系也更为复杂，任一博弈方的决策及其所引起的反应比两人博弈中要复杂得多。比如在多人博弈中存在与双人博弈有显著区别的特点是可能存在所谓的“破坏者”，即博弈中具有这种特征的博弈方：其策略选择对自身的利益并没有影响，但却会对其他博弈方的得益产生很大的，有时甚至是决定性的影响。

以选举国会议长为例。由110个国会议员投票来决定议长，得票最多者得到议长位置，候选人有三个。根据投票的活动情况和调查，估计三个候选人所得票数基本上是这样的：A得到43票，B得到39票，C得到28票。如果三个候选人都坚持参加竞选，则A将获胜，但是，如果C在明知自己无望获胜的情况下主动退出，则情况就可能发生戏剧性变化。如果候选人C退出后，在支持候选人C的28名委员中有17人以上转而支持候选人B，则最后获胜的将是候选人B而不是候选人A。因此，如果我们把争夺国会议长的活动看做一个三人博弈，各博弈方可以选择的策略都是“竞争”或者“退出竞争”，则候选人C就很可能是这个博弈问题中的一个“破坏者”，因为他的选择对他自己的利益没什么影响，却对另外两个博弈方，候选人A和候选人B的利益有决定性的影响。

破坏者的存在使得不少多人博弈的结果难以确定，因为破坏者的行为选择很难用给定环境条件下的经济规律和逻辑推理来判断。这也就需要我们在分析多人博弈时要特别小心，注意是否存在这种破坏者。此外，由于博弈方的数量较多，多人博弈在表示方法方面也与两人博弈有所不同。得益矩阵一般只适合表示单人博弈和两人博弈。少数离散策略的三人博弈还可用两个或多个得益矩阵合起来加以表示。

三、博弈中的策略（Strategies）

在博弈活动中，各博弈方依据博弈的环境所作决策的内容称为“策略”（Strategies）。博弈中的策略通常是对诸如经济活动水平及某种行为等的取舍所做的选择。根据博弈的定义可以看出，给出各博弈方可以选择的全部策略或策略选择的范围（称为“策略空间”），是定义一个博弈时需要确定的最重要的基本方面之一。

根据所研究问题的内容和性质，不同博弈中各博弈方可选策略的数量有多有少，差异还可能会非常大。一般地，如果一个博弈中每个博弈方的策略数都是有限的，则称为“有限博弈”（Finite Games），如果一个博弈中至少有某些博弈方的策略有无限多个，则称为“无限博弈”（Infinite Games）。

有限博弈和无限博弈之间有着很大的差别。因为有限博弈只有有限种可能的结果，因此理论上有限博弈总可以用得益矩阵法、扩展型法或简单罗列的办法，将所有的策略、结果及对应的得益列出，而无限策略博弈就不可能用这些列举方法来表示博弈的全部策略、结果或得益，一般只能用数集或函数式加以表示。这使得这两类博弈的分析方法也常常表现出很大的差异。此外，策略数的有限和无限对各种均衡解的存在性也有非常关键的影响。因此注意有限博弈和无限博弈的区别，对于理解和掌握博弈分析方法是很有意义的。

四、博弈中的得益（Payoffs）

博弈中的得益（Payoffs）是指参加博弈中的各博弈方从博弈中所获得的利益，得益可以表现为一定数量的利润、收入，也可以是量化的荣誉、时间、效用、社会效益、福利，等等。

1．零和博弈（Zero-Sum Game）

零和博弈是比较常见的博弈类型，同时也是被研究得最早、最多的博弈问题。在零和博弈问题中，一方的得益必定是另一方的损失，某些博弈方的赢肯定是来源于其他博弈方的输。如我们前面所介绍的猜硬币、石头·剪刀·布、田忌赛马就是这样的博弈。零和博弈在经济活动、法律诉讼等中是相当普遍的。零和博弈的博弈方之间利益始终是对立的，偏好通常是不一致的。因而零和博弈的博弈方之间无法和平共处，称为“严格竞争博弈”（Strictly Competitive Games）。

我们考虑一个叫“猜便士”（Matching Pennies）的游戏。在这个博弈中，两个博弈方一个是“刘亮”，一个是“张奇”。每个人同时出示一个便士，可以展示便士的正面或反面。如果两人展示出便士的同一币面，则刘亮将赢得张奇的便士，反之如果他们展示出便士不同的币面，则张奇将赢得刘亮的硬士。图1.11是该博弈的得益图示。

图1.11

如果我们加总两个博弈方的赢利，我们会得到1－1＝0。这就是“零和博弈”。

2．常和博弈（Constant-Sum Game）

常和博弈也是普遍的博弈类型。如在几个人或几个方面之间分配固定数额的奖金、财产或利润的讨价还价，就都是这种博弈问题。常和博弈也是一类有特殊意义的博弈。常和博弈可以看做零和博弈的扩展。零和博弈则可以看做常和博弈的特例。与零和博弈一样，常和博弈中各博弈方之间利益关系也是对立的，博弈方之间的基本关系也是竞争关系。不过，由于常和博弈中利益的对立性体现在各自得到利益的多少，结果可能出现大家分得合理或满意的一份，因此，也比较容易相互妥协、和平共处。常和博弈的结果及其分析也有一定的特征。

3．变和博弈（Variable-Sum Game）

零和博弈和常和博弈以外的所有博弈都称为“变和博弈”。变和博弈是指在不同策略组合下各博弈方的利益之和往往是不一样的。如前面介绍的囚徒困境和关于产量决策的古诺模型就都是变和博弈。变和博弈是最一般的博弈类型，常和博弈和零和博弈都是它的特例。变和博弈的结果使得社会总得益的大小可能产生巨大差别。这表示在博弈中博弈方在利益驱动下通过各自自觉、独立采取的合作态度和行为，以争取较大的社会总利益和个人利益。因此，这种博弈的结果可以从社会总得益的角度分为“有效率的”或“无效率的”、“低效率的”，即可以站在社会利益的立场上对它们作效率方面的评价。

五、博弈的过程（Process）

博弈过程也是博弈研究的重要内容。大量的博弈问题，都具有先后、反复或者重复的策略对抗过程。例如讨价还价博弈就是先后进行的而不是同时进行的。博弈过程的差异对博弈的结果和博弈分析也有非常重要的影响，而根据博弈过程的这些差异，我们可以把一个博弈问题分为“静态博弈”、“动态博弈”和“重复博弈”。

1．静态博弈（Static Games）

在一个博弈问题中，如果博弈方的决策选择有先后次序，因此某些博弈方能事先知道其他博弈的决策选择，就会针对性地进行决策或相应调整自己的策略，从而使自己立于不败之地或获得更多的利益。这肯定会造成博弈方之间的不公平、不平等。为了博弈之间的公平性，也为了使决策对抗更有意义，更有针对性，许多博弈常常要求或者说设定各博弈方是同时决策的，或者虽然各博弈方决策的时间不一定真正一致，但在他们作出选择之前不允许知道其他博弈方的策略，在知道其他博弈方的策略之后则不能改变自己的选择，从而各博弈方的选择仍然可以看做是同时作出的。

2．动态博弈（Dynamic Games）

与各博弈方同时决策的静态博弈相反，现实决策活动构成的大量博弈问题中，各博弈方的选择和行动不仅有先后次序，而且后选择、后行动的博弈方在自己选择、行动之前，可以看到其他博弈方的选择、行动，甚至还包括自己的选择和行动。这种博弈无论在哪种意义上都无法看做同时决策的静态博弈，我们把这种博弈称为“动态博弈”（Dynamic Games），或叫做“多阶段博弈”（Multistage Games）。在动态博弈中，各博弈方轮流选择的可能是方向、大小、高低等，也可能是各种其他的具体“行动”，如产量、价格等。

下面我们看一个“市场阻击博弈”的动态博弈例子。

设有一个容量有限的市场已经被企业A抢先占领，而另一个生产同样产品的企业B也很想加入该市场发展，分享一定的利润。企业B知道一旦自己进入该市场，先占领市场的企业A有可能通过降价等竞争手段来打击它，并且如果企业A果真不肯善罢甘休，采取打击排挤态度的话，企业B不但不能赢利，而且肯定还会亏损。那么，企业B究竟要不要进入这个市场，企业A是否真会反击，就构成了一个两人博弈问题。由于在这个博弈中必须是企业B行为在先，企业A要等企业B行为以后才知道是否有行为的必要，才需要采取针对性的行为，因此这肯定不可能是一个静态博弈，只能是一个动态博弈问题。

为了使问题更具体化，我们进一步假设A独占市场时利润为8；与B和平共处分享市场则双方各得4；如B进市场而A进行反击，则B要亏损2，A的利润则降为3。我们可以用图1.12中的扩展型表示该动态博弈。

图1.12中的B圈和A圈分别是企业B和企业A的选择信息集，即两博弈方各自轮到选择的位置。这是一个两博弈方的两阶段动态博弈，是动态博弈中最基本的一种类型。

图1.12

由于动态博弈中各博弈方的行为有先有后，因此在博弈方之间肯定有某种不对称性。先行为的博弈方可以利用先行之利获得利益，后行者可能会吃一点亏。但反过来后行为博弈方可根据先行为博弈方的行为作针对性的选择，而先行为博弈方却是在作出决策选择时，非但不能看到后行为博弈方的选择，而且还要顾忌、考虑到后行为博弈方的反应。因此，与博弈方同时行为的静态博弈相比，动态博弈肯定会有不同的特点和结果。

3．重复博弈（Repeated Games）

除了上述静态博弈和动态博弈以外，还有一种与静态博弈和动态博弈都有密切关系的博弈，我们称为“重复博弈”（Repeated Games）。所谓重复博弈实际上就是同一个博弈反复进行所构成的博弈过程。构成重复博弈的一次性博弈（One Shot Games）也称为“原博弈”或“阶段博弈”。我们研究的多数重复博弈的原博弈都是静态博弈，或者说是由静态博弈构成的。这种由一些博弈方在完全同样的环境和规则下重复进行的博弈，在现实中有很多实际的例子。如体育竞技中的多局制比赛、商业中的回头客问题、企业之间的长期合作或竞争等，都可以看做是重复博弈问题。

只要两次重复同一个博弈就可以构成一个重复博弈，因此重复博弈的最少重复次数是两次。许多重复博弈问题都是经过一定次数的重复就会结束，如下棋，球类比赛等。这种重复一定次数后肯定要结束的重复博弈称为“有限次重复博弈”（Finitely Repeated Games）。

但并不是所有重复博弈都有确定的重复次数，也就是有停止重复时间的，有些重复博弈似乎是会不断重复下去的。我们称这样的重复博弈为“无限次重复博弈”（Infinitely Repeated Games）。例如军备竞赛和在一个长期稳定市场上寡头企业之间的博弈，就是无限次重复博弈，只要军备竞赛的国家和竞争的企业不消亡，我们可以简单地认为，这样的博弈会永远进行下去。我们不妨把这种博弈理解成无限次重复博弈。

重复博弈和一次性博弈有明显的差异，无限次重复博弈和有限次重复博弈之间往往也有很大的差别。在一次性博弈，特别是一次性静态博弈中，由于各博弈方决策时只需要考虑眼前的利益，不存在“将来”利益的问题，根据博弈中个体理性下的最大利益原则，一般来说不能期望博弈方会相互考虑对方的利益。只要能实现自身利益的最大化，每个博弈方都会采取一切可以采用的手段去压倒其他博弈方。但如果博弈不是一次性的，而是重复的，有时还要重复进行多次，则各博弈方就可能会在前面阶段试图合作，采取对大家来说都较有利的策略，因为一旦任何一方发觉他方不合作，可能在以后阶段进行报复。这种未来利益的约束可能使各方的得益都得到改善，或者说重复次数越多，这种可能性就越大，重复次数无穷大时博弈的结果更可能发生根本性的变化。

在大多数情况下，重复博弈的各次重复之间存在着相互影响和制约，因此不能把重复博弈割裂为一次一次的独立博弈进行分析，而是必须把重复博弈作为一个整体加以研究。重复博弈也是动态博弈，是特殊的动态博弈。另一方面，由于大多数重复博弈也是静态博弈，因此重复博弈与动态博弈和静态博弈都有关系，需要结合静态博弈和动态博弈来研究。

六、博弈中的信息（Information）

在一个博弈中，信息的价值是非常重要的，没有信息也就没有博弈的展开。信息是否完全，是否对称，直接决定着博弈的结果。为此，我们先来看“吉姆的礼物”的故事，故事的情节是这样的：新婚的吉姆和德儿，生活穷困潦倒。除了德儿那一头美丽的金色长发，吉姆那一只祖传的金怀表，便再也没有什么值钱的东西了。虽然日子过得很清苦，但两个人却非常恩爱。每个人关心对方都胜过关心自己。为了让对方高兴和过上好日子，他们都愿意奉献和牺牲自己最宝贵的东西。转眼圣诞节就要到了，为了让爱人过得开心一些，每个人都在悄悄给对方准备一份礼物，希望给对方一个惊喜。于是吉姆卖掉了心爱的怀表，买了一套漂亮发卡，去配德儿那一头金色长发。德儿剪掉心爱的长发，拿去卖钱，为吉姆的怀表买了条精美的表链。

圣诞节晚上，当两个人交换礼物的时候，他们伤心地发现，自己如此珍视的东西，对方已为购买礼物而卖掉了。花了如此巨大代价换回的东西，此时对心爱的人来说，已是无用之物了。

试想，如果双方在购买礼物之前，进行一下沟通，交换一下信息，这个伤心的故事也许就不会发生了。

博弈中信息的内涵是非常丰富的，主要是关于得益和过程的信息。

1．关于得益的信息

博弈中最重要的信息之一是关于得益的信息，即每个博弈方在每种策略组合下的得益情况。在许多博弈问题中，各个博弈方不仅对自己的得益情况完全清楚，而且对其他博弈方的得益也都很清楚。如在囚徒困境的博弈中，两个博弈方都对双方在每种情况下的得益非常清楚；在田忌赛马、猜硬币等博弈中，也是如此。

但是，并不是所有博弈的博弈方都像上面这些博弈问题中那样，有关于各博弈方得益或了解各博弈方得益所需要的全部信息。例如在投标、拍卖活动构成的博弈中，由于各竞投、竞拍的博弈方对其他博弈方关于标的估价是很难了解的，因此即使最后的成交价是大家都能看到的，各个博弈方仍然无法知道其他博弈方中标、拍得标的物的真正得益究竟是多少。一般地，我们将各博弈方都完全了解所有博弈方各种情况下得益的博弈称为“完全信息博弈”（Complete Information Game），而将至少有一部分博弈方不完全了解其他博弈方得益情况的博弈称为“不完全信息博弈”（Incomplete Information Game）。不完全信息通常也意味着博弈方之间在对得益信息的了解方面是不对称的，因此不完全信息博弈也是“不对称信息（Asymmetric Information）博弈”，其中不完全了解其他博弈方得益情况的博弈方称为“具有不完全信息的博弈方”。

显然，了解所有博弈方的得益状况对一个博弈方来讲是再重要不过了，因为这会影响到该博弈方对其他博弈方行为的判断，并最终影响各博弈方自己的决策和行为，影响博弈的最终结果。因此在博弈中必须十分重视得益信息的差别。

2．关于博弈过程（Process）的信息

我们已经知道，动态博弈的根本特征是行为有先后次序。在许多动态博弈中，轮到行为的博弈方全部能看到在他行为之前行为的各个博弈方的所有行为，也即对前面的博弈过程有完美的知识。如在下棋这种双人动态博弈中，双方的每一步棋都是大家可以看见、一目了然的，每方在走每一步棋之前，都清楚此前的对局过程。但是在动态博弈中常常也会有某些轮到行为的博弈方，不完全清楚此前行为博弈方的选择，对前面阶段博弈过程没有完美知识的情况。如在企业之间争夺市场的“市场进入”竞争中，一方对于另一方究竟采取了哪些竞争策略或手段就不一定完全清楚，因为相互竞争的厂商往往会想方设法隐藏自己的行为。动态博弈中在轮到行为时对博弈的进程完全了解的博弈方，称为具有“完美信息”（Perfect Information）的博弈方，如果动态博弈的所有博弈方都有完美信息，则称为“完美信息的动态博弈”。动态博弈中轮到行为的博弈方不完全了解此前全部博弈进程时，称为具有“不完美信息（Imperfect Information）的博弈方，有这种博弈方的动态博弈则称为“不完美信息的动态博弈”。

在动态博弈中各博弈方是否具有完美信息，对博弈方的决策、行为和博弈结果也有很大的影响。没有关于博弈进程的完美信息，意味着决策和行为必然有一定的盲目性，只能依靠对博弈进程的某种“推断”、某种概率期望进行决策。因此，区别动态博弈的完美不完美信息问题也是很重要的。

下面我们再来看一个“信息与战争”博弈的问题。

国与国之间的战争是一种特殊的博弈。为了达到本国的利益，其策略选择要使自己的目的最大化，然而任何国家在决定自己的策略时要充分考虑对方的行为，因此信息在博弈中发挥着重要的作用，而间谍的目的之一就是弄清对方变动的可能性。

各国均有派往他国的间谍，间谍的信息可供本国的决策者作出利己的决策，而且，如果一国要将虚假信息传递出去，利用对方间谍的存在是最好的办法；而为了自己在决策中的取胜，反间谍又是一国安全的主要内容。因此间谍与反间谍是国与国之间永久的话题。

那么，他国间谍的存在对本国的战略是不是都是坏事呢？回答是“未必”。获取情报信息是间谍的任务，而足够的情报信息是战争胜利的保证，因此间谍的存在是取胜的条件。但是一场战争只能有一方胜利，如果了解到对方足够的信息而知道自己肯定会输的话，那么这个国家就不一定会选择战争。

战争胜败大体上取决于实力、信息、战略与人心。如果其中一方各方面均优于另外一方，并且弱的一方知道的话，理性的弱者是不会参与战争的，此时战争便打不起来。间谍就具有传递这个信息的作用。

比如，第二次世界大战结束后，朝鲜半岛沿三八线被划分为南北两个国家。1951年南北之间发生战争，美国马上介入了这场战争。美国的考虑是，刚刚成立的中华人民共和国不会介入到这场朝鲜战争中去。在美国看来，新生的中国刚刚内战消耗太大，百废待兴，没有能力卷入战争。并且美国认为，美国武器装备优良，军费充足，即使中国参战，也无力与之抗衡。因此美国得出结论：朝鲜战争因美国的介入很快就会结束，而中国不会介入。当时美国的一家咨询公司在美国未出兵之前，深入地研究了中国的情况，以及朝鲜与中国的关系，认为如果美国介入到朝鲜战争中去，只要中国判断没有失误，中国必将出兵。他们想将研究报告提供的信息以500万美元卖给政府，而美国政府未予理睬。最终，美国以损失几百亿美元的财产，伤亡数十万人的代价在朝鲜战场上大败。

从理论上讲，具有足够理性和具有足够知识与信息的人能预知战争的结果，但现实中的人或者因为没有足够的知识和信息，或者不具有足够的理性的能力，而往往不能做到这一点。

七、博弈方的理性（Rationality）

在博弈理论中，博弈方的理性和能力是一个非常重要的问题，因为理性和能力决定了博弈方的行为逻辑，不搞清博弈方基本的行为逻辑，就不可能对他们的策略选择和相互博弈的结果作出准确的判断。

博弈论和新古典经济学之间的关键联系就是关于人的理性假设。新古典经济学是建立在理性人假设之上的，即人在其经济选择行为中是绝对理性的。也就是说，这个假设意味着每个人在其所面临的环境中都会最大化自身的报酬（利润、收入或主观利益）。在新古典经济学理论中，理性地进行选择就是要最大化自身的收益，这似乎是一个数学问题：在给定环境条件下选择最大化报酬的行动，因而我们可以把理性的经济选择当做一个数学问题的“解”。在博弈论中，情况就更复杂了。结局不仅依赖于自身的策略和“市场”条件，而且直接依赖于其他人所选择的策略。不过我们仍然可以把理性的策略选择当做一个数学问题，从而我们称理性的结果是博弈的“解”。

博弈论关于人的理性假设包括两个方面：一是他们决策行为的根本目标；二是他们追求目标的能力，即认为博弈方都是以个体利益最大化为目标，且有准确的判断选择能力，也不会“犯错误”。以个体利益最大化为目标被称为“个体理性”（Individual Rationality），有完美的分析判断能力和不会犯选择行为的错误称为“完全理性”。

1．完全理性（Perfect Rationality）和有限理性（Limited Rationality）

博弈论中区别完全理性和有限理性的必要性在于，如果决策者是有限理性的，与完全理性的要求有差距，那么他们的策略行为和博弈结果通常与在博弈方有完全理性假设的基础上的预测有很大差距，以完全理性为基础的博弈分析就可能会失效。特别是由于博弈问题中博弈方之间都有很强的相互依赖和影响，因此只要有个别或部分博弈方的理性能力有局限性，甚至只要博弈方相互对对方的能力和理性有怀疑，就会破坏整个博弈和博弈分析的基础，使得我们在所有博弈方有完全的能力和理性的前提下所作的理论分析全部失效。正是因为这些原因，虽然简单地假设各个博弈方都有完全的理性能够给分析带来很大的便利，并且这也是一般经济分析的通行做法，但我们在博弈分析中却不能回避博弈方的理性能力问题，必须对它们有所考虑。

2．个体理性（Individual Rationality）和集体理性（Collective Rationality）

虽然在新古典经济学中，理性经济人假设人们的决策和行为是以个体自身利益最大化为根本目标的，但实际上，现实中的决策者并不都是根据个体利益最大化决策行为的，至少在局部问题上存在以集体利益为目标、追求集体利益最大化的情况。追求集体利益最大化称为“集体理性”（Collective Rationality）。

一般情况下，集体利益最大化本身不是博弈方的根本目标，人们在经济博弈中的行为准则是个体理性而不是集体理性。但如果我们允许博弈中存在“有约束力的协议”（Binding Agreement），使得博弈方采取符合个体利益最大化而不符合集体利益的矛盾就可以被克服。

我们将这种允许存在有约束力协议的博弈称为“合作博弈”（Cooperative Game），将不允许存在有约束力协议的博弈称为“非合作博弈”（Uncooperative Game）。由于在合作博弈和非合作博弈两类博弈中，博弈方基本的行为逻辑和研究它们的方法有很大差别，因此它们是两类很不相同的博弈。事实上，“合作博弈理论”和“非合作博弈理论”正是博弈论最基本的一个分类，它们在产生和发展的路径，在经济学中的作用、地位和影响等许多方面都有很大的差别。现代占主导地位，也是研究和应用较多较广泛的，主要是其中的非合作博弈理论。本书介绍的主要就是非合作博弈理论。

非合作博弈之所以更受重视是因为：（1）人们的行为方式主要是个体理性而不是集体理性，或者说，竞争是一切社会、经济关系的根本基础，不合作是基本的，合作是有条件和暂时的，因此非合作博弈关系比合作博弈关系更普遍；（2）研究搞清楚了非合作博弈的各种关系和特点，合作博弈关系就比较容易理解了，在证明非合作博弈无效率或低效率的同时，也就自然说明了合作存在的可能性和必要性，因此从某种意义上说非合作博弈理论是合作博弈理论的基础；（3）集体理性是更高级和更复杂的理性，因此研究合作博弈的难度更大，更难找到分析的一般概念和系统方法。

第四节　博弈论的产生与发展

博弈论是一门以数学为基础、研究对抗冲突中最优解的学科，更确切地说是运筹学的一个分支，开山鼻祖是数学家、计算机的发明者冯·诺依曼（Von Neumann）。他是一位出生于匈牙利的天才的数学家。他不仅创立了经济博弈论，而且发明了计算机。对具有博弈性质的决策问题的研究可以追溯到18世纪甚至更早，早在20世纪初，塞梅鲁（Zermelo）、鲍罗（Borel）和冯·诺依曼已经开始研究博弈的准确的数学表达方式，直到1939年，冯·诺依曼遇到经济学家奥斯卡·摩根斯特恩（Oskar Morgenstern），并与其合作才使博弈论进入经济学的广阔领域。

1944年他和普林斯顿经济学家摩根斯特恩（Morgenstern）合写了一本《博弈论与经济行为》（The Theory of Games and Economic Behaviour），正式奠定了现代博弈论的基础，标志着现代系统博弈理论的初步形成。尽管对具有博弈性质的问题的研究可以追溯到更早的时候，例如1838年古诺（Cournot）提出了简单双寡头垄断博弈，1883年伯特兰和1925年艾奇沃奇思研究了两个寡头的产量与价格垄断，2000多年前中国著名军事家孙武的后代孙膑利用博弈论方法帮助田忌赛马取胜等都属于早期博弈论的萌芽，但这些研究是零星的、片断的，带有很大的偶然性，很不系统。冯·诺依曼和摩根斯特恩的《博弈论与经济行为》一书中提出的标准型、扩展型和合作型博弈模型解的概念和分析方法，奠定了这门学科的理论基础。冯·诺依曼和摩根斯特恩的研究主要是合作型博弈，合作型博弈在20世纪50年代达到了巅峰期。然而，诺依曼的博弈论的局限性也日益暴露出来，两位作者企图以此理论来系统地研究人类的经济行为。不过他们所建立的是关于纯粹竞争的理论，它过于抽象，使应用范围受到很大限制，在很长时间里，人们对博弈论的研究知之甚少，只是少数数学家的专利，所以，影响力很有限，可以说现代博弈论与该书关系不大。正是在这个时候，非合作博弈——“纳什均衡”应运而生了，它标志着博弈论的新时代的开始！

对于非合作博弈，诺依曼所解决的只有二人零和博弈，如两个人下棋，或是打乒乓球，一个人赢另一个人必然输，净获利为零。在这里，抽象化后的博弈问题是，已知博弈者集合（两方）、策略集合（所有下棋可能的步骤）和赢利集合（赢子输子），能否且如何找到一个对博弈双方来说都最“合理”、“最优”的具体策略？诺依曼从数学上证明，通过一定的线性运算，对于每一个二人零和博弈，都能够找到一个“最小最大解”。通过一定的线性运算，竞争双方以概率分布的形式随机使用某套最优策略中的各个步骤，就可以最终达到彼此赢利最大且相当。虽然二人零和博弈的解决具有重大的意义，但作为一个一般性理论来说，它应用于实践的范围极其有限。其局限性表现在一是在各种社会活动中，常常有多方博弈者而不是只有两方；再就是博弈各方相互作用的结果并不一定有人得利就有人失利，整个群体可能具有大于0或小于0的净获利。

非零和博弈的一个典型例子就是囚犯困境。1950年，数学家塔克（Tucker）任斯坦福大学客座教授。在给一大帮心理学家作讲演时，为了讲解博弈论的分析难点，他用两个囚犯的故事，将当时专家们正研究的一类博弈论问题，作了形象化的包装。这个包装显然极为成功。从此以后，类似的博弈问题便有了一个专门名称：“囚徒困境”。借助这个生动的故事和名称，“囚徒困境”广为人知，在哲学、伦理学、社会学、政治学、经济学乃至生物学等学科中，获得了极为广泛的应用。对于多人参与、非零和的博弈问题，在纳什之前，无人知道如何求解，或者说怎样找到类似于最小最大解那样的“平衡”，而找不到问题的解，从数学上来说，继续研究当然是不可能的了。纳什对博弈论的巨大贡献，正在于他天才性地提出了“纳什均衡”的基本概念，为更加普遍的博弈问题找到了解。1950年和1951年天才的数学家纳什（John Nash）的两篇关于非合作博弈论的重要论文《n人博弈中的均衡点》和《非合作博弈》，彻底改变了人们对竞争和市场的看法。他证明了非合作博弈及其均衡解，并证明了均衡解的存在性，即著名的纳什均衡，从而揭示了博弈均衡与经济均衡的内在联系。纳什均衡的基本思想是，在这个解集中所有博弈者的策略都是对其他博弈者所用策略的最佳对策，没有人能够通过单单改变自己的策略提高收益。纳什的研究与Tucker于1950年定义的“囚徒困境”一起，奠定了现代非合作博弈论的基石，后来的博弈论研究基本上都是沿着这条主线展开的。然而，纳什天才的发现却遭到冯·诺依曼的断然否定，在此之前他还受到爱因斯坦的冷遇。但是，纳什骨子里挑战权威、藐视权威的本性，使他坚持自己的观点，终成一代大师。

博弈论作为一门学科，是在20世纪50～60年代发展起来的，当非零和博弈理论，特别是不完全信息博弈理论获得充分发展时，才成为现实。到20世纪70年代，博弈论正式成为主流经济学。1994年的诺贝尔经济学奖同时授予了三位博弈论专家。特别是最近十几年来，博弈论在经济学中得到了广泛的运用，在揭示经济行为相互制约性质方面，在现代经济学里，博弈论已经成为十分标准的分析工具。

在纳什的基础上，泽尔滕精炼了纳什均衡概念，定义了完全信息动态博弈的“子博弈完备纳什均衡”，以及进一步刻画不完全信息动态博弈的“完备贝叶斯纳什均衡”，而海萨尼则发展了刻画不完全信息静态博弈的“贝叶斯纳什均衡”。总之，他俩进一步将纳什均衡动态化，加入了接近实际的不完全信息条件。他们的工作为后人继续发展博弈论，提供了基本思路和模型，因此他们与纳什同时获得了诺贝尔经济学奖。

上面提到的博弈理论试图解决的都是非合作型问题，也就是博弈者之间除了决策结果相互影响，没有其他形式的信息交流。然而，在各种生活行为中，人与人之间除了竞争关系，还存在合作关系，常常是两种关系并存，合理的合作能够给双方带来共同利益。这是合作型博弈论研究的范畴。诺依曼在《博弈论与经济行为》一书中建立了合作型博弈论的基本模型，但是对于其中极其重要的双向协商问题（即参与者如何“讨价还价”），没有能给出一个确定的解。纳什对这一领域同样做出了卓越贡献，他提出了讨价还价问题的公理化解法，还在理论上利用这个解法良好的预测性进一步提出了纳什方案。

对于人类而言，博弈论最重要的贡献就在于它能够促进人类思维的发展，促进人类的相互了解与合作。博弈论告诉人们，每个人都有自己的思想，每个个体都是理性的，所以必须了解竞争对手的思想。博弈论在很多领域中都有应用，在政治、军事学领域，博弈论被用于分析选举策略、竞争问题、战争起因、立法议程安排等重大事宜。在经济学领域，博弈论更是已经融入整个学科的主流，经济学教材和杂志无不收入博弈论的内容，经济学家们已经把研究策略相互作用的博弈论当做最合适的分析工具分析各类经济问题，诸如公共经济、国际贸易、自然资源经济、工业管理等。

利用博弈论我们还可以证明现实生活中许多有趣的问题，如多劳者不多得、公共资源的过度使用、非合作者在一段时间内选择合作等。虽然这些结论都是建立在一个很强的假设上，即参与人是理性的，有最大化自己效用的趋势，但是其结论有深刻的哲学内涵。目前经济学中的委托—代理制、激励理论都可以用博弈论来分析。现代的企业间竞争有很多情况都是在合作的背景下进行的。比如垄断市场的寡头A、B，可以协议指定一个产量（如海湾国家的石油产量），来维持自己的最大利润。但是，在许多情况下总有为了维护自己的局部利润而提高产量的情况，结果导致价格下降，利润流失。竞争情报往往在这种情况下起重要作用，如果寡头A掌握了寡头Ｂ的实际生产能力这类竞争情报，就可以调整自己的产量甚至突破协议，从而形成新的均衡。

比如在分析改革过程中各阶层或者群体利益消长和继续改革的态度时，博弈论为我们提供了一个简洁的工具。改革必须有人付出成本，而改革结果的收益是大家共享。有人认识到这一点，他就不愿努力改革，生怕别人搭便车。这样的人多了，就会出现人人希望改革，却很少人投身改革的局面，结果都维持在旧体制下生活。如此，怕别人搭便车，结果人人没有车搭，大家都步行。这就是“囚徒困境”。这种思考方式，也可以用来分析公共物品的供给中的机会主义问题。

再比如，我们还可以将博弈论的思想引入到诸如商品、股票的定价过程和制度安排。我们知道，市场的功能在于缩小人与人之间的距离，使得个人很容易在议价过程中转向众多的潜在交易伙伴，而价格的制定，应以非人格定价最好，市场价格对任何人都一样。明码标价就是一种非人格定价。这表面看起来像是卖方定价，但是在法治较好的竞争性市场中，买者可以选择多个卖方，以用脚投票的方式间接定价。股票市场的合法投机套利活动，可能促进非人格定价的形成，减少因人而异的人格定价行为，从而使机会主义行为减少，降低内生交易成本。这符合我们大多数股民的共同利益，揭示了我们为什么要在股市交易中戒除腐败和违法活动的基本道理。

博弈论在过去二三十年中，是经济学理论中发展得最为成功的一部分，博弈论已成为整个社会科学的一个方法。有人说，如果未来社会科学还有纯理论的话，那就是博弈论。博弈论提供了一种系统的方法，使人们在其命运取决于他人的行为时制定出相应的战略。特别是当许多相互依赖的因素共存，没有任何决策能独立于其他许多决策之外时，博弈论更是价值巨大。

除了经济学以外，博弈论目前在生物学、管理学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。比如生物学家使用博弈理论来理解和预测进化（论）的某些结果。例如，John Maynard Smith和George R．Price在1973年发表于Nature上的论文中提出的“Evolutionarily Stable Strategy”的这个概念就是使用了博弈理论。还可以参见进化博弈理论（Evolutionary Game Theory）和行为生态学（Behavioral Ecology）。此外，博弈论也应用于数学的其他分支，如概率、统计和线性规划等。

博弈理论主要包括合作型博弈和非合作型博弈两大类，本书讨论的主要是非合作型博弈问题。

思考题

1．什么是博弈？博弈论研究的主要内容有哪些？

2．一个博弈模型必须具有哪些方面的要素？

3．囚徒困境的内在根源是什么？

4．阐述博弈的主要类型及其具体内容。

5．阐述博弈中信息和理性人假设的价值。

第二章　完全信息静态博弈

第一节　静态博弈分析方法

一、静态博弈（Static Game）

博弈方同时作出决策，且各博弈方对对方的得益完全了解，或者虽然决策有先后，但是没有人在决策之前看到了其他博弈方的决策行为，也没有交换信息，一旦决策做出之后，就只能等待结果，对博弈的发展再也不能产生任何影响，这种博弈叫做静态博弈。日常生活中静态博弈的例子很多，如前面介绍的“囚徒困境”、“石头·剪刀·布”都是静态博弈。

我们经常所说的无计可施、无可奈何，也是静态博弈的体现，就是说在一个静态博弈中，自己所能做的已经做完了，不能对博弈产生任何影响了，博弈的结果还要取决于其他博弈方的行为选择。比如说，学生参加期末考试，老师命题和学生考试虽然有先有后，但互相之间并不能沟通信息和相互影响。考生得分的多少和对考试难度的评价，只能等待考试结束之后才能知道。老师和学生的决策行为做出之后就再也不能影响博弈，而只能等待最后的结果。

博弈的表现形式有两种，一种是标准形式的博弈（Normal Form Game）；另一种是扩展形式的博弈（Extensive Form Game）。这两种只是博弈的表现形式而已，二者可以相互转换。

二、占优策略均衡（Dominant Strategies Equilibrium）

在对静态博弈展开分析之前，我们先对博弈者的行为做出如下假设：

1．假定博弈者是理性的博弈者，即每个博弈者都力图使自己所获得的得益最大化。

2．假定博弈者具有完全的信息，即每个博弈者对于博弈所能够采取的策略，以及各种可能策略组合下给自己或竞争对手带来的得益完全了解。

3．假定博弈者独立的进行决策而没有相互勾结，不管这种勾结是明的或暗的，即是静态的非合作博弈。

下面我们讨论占优策略均衡。

占优策略均衡是指这样一种特殊的博弈：某一博弈方的策略可能并不依赖于其他博弈方的策略选择。换句话说，无论其他博弈方如何选择自己的策略，该博弈方的最优策略选择是惟一的。也就是说，无论所有其他博弈方采取什么策略，该博弈方的“某个策略”给他带来的得益始终高于其他策略，至少不低于其他策略，这“某个策略”必然是该博弈方愿意选择的策略，我们称这种策略为该博弈方的一个“上策”（Dominant Strategy）或“占优策略”。或者说，占优策略是指让博弈中的博弈方单独地评估他面临的策略组合中的每一个策略时，该策略带来的赢利最大，而且，对于每一个策略组合，该策略都是对其他博弈方策略选择的最佳应对策略，即从自己的所有策略中选择的使他赢利最多的策略。如果对于博弈方面临的每一个不同的策略组合，该博弈方都选择同一个策略，这个被选择的策略就叫该博弈方在博弈中的“占优策略”。例如囚徒困境博弈中的“坦白”就是这样的策略（对两个博弈方都成立）。

既然“坦白”是“占优策略”，那么“抗拒”就是“严格下策”（Strictly Dominated Strategies），理性的博弈方决不会选择“严格下策”。下面我们给出“占优策略”的定义。在给出“占优策略”的定义之前，我们首先给出博弈的表示方法。

我们常用G表示一个博弈；如果G有n个博弈方，每个博弈方的全部可选策略的集合称为“策略空间”，分别用S_1，…，Sn表示；sij∈Si表示博弈方i的第j个策略，其中j可取有限个值（有限策略博弈），也可取无限个值（无限策略博弈）；博弈方i的利益利用ui表示，ui是各博弈方策略的多元函数。n个博弈的标准式博弈G常写成G＝{S_1，Λ，Sn；u_1，Λ，un}

有了博弈、博弈方的策略空间和得益的表示法，我们就可以给出“占优策略”的定义了。

“占优策略”定义：在标准式博弈G＝{S_1，Λ，Sn；u_1，Λ，un}中，如果用si和sj表示博弈方i和j的两个可行的策略sj，如果对其他博弈方可能的策略组合，博弈方i选择sj的得益大于选择sj的得益，即，则称为si相对于sj的“占优策略”。

进一步，如果一个博弈的某个策略组合中的所有策略都是各个博弈方各自的上策，那么这个策略组合肯定是所有博弈方都愿意选择的，必然是该博弈比较稳定的结果。我们称这样的策略组合为该博弈的一个“占优策略均衡”（Dominant Strategy Equilibrium）或“上策均衡”。

“占优策略均衡”是博弈分析中最基本的均衡概念之一，“占优策略均衡”分析是最基本的博弈分析方法。囚徒困境的博弈中的（坦白，坦白）实际上就是一个上策均衡，因为根据第一章的分析，“坦白”对该博弈的两个博弈方来说都是上策。

在“囚徒困境”中，两个囚犯都知道，如果他俩都能保持沉默的话，就都会被释放，因为只要他们拒不承认，警察无法给他们定罪。但警察也明白这一点，所以他们就给了这两个囚徒一点刺激：如果他们中的某个人背叛，即告发他的同伙，那么他就可以被无罪释放，而他的同伙就会被按照最重的罪来判决。当然，如果这两个囚徒互相背叛的话，两个人都会被按照最重的罪来判决。

那么，这两个囚徒应该怎么决策呢？是选择互相合作还是互相背叛？从表面上看，他们应该互相合作，保持沉默，因为这样他们俩都能得到最好的结果：无罪释放，但他们不得不仔细考虑对方可能采取什么选择。囚徒1是理性的，他马上意识到，他根本无法相信他的同伙不会向警察提供对他不利的证据，然后无罪释放出狱，让他独自坐牢。这种想法的诱惑力实在太大了。但他也意识到，他的同伙也是理性的，也会这样来设想他的决策。

所以，囚徒1的结论是，惟一理性的选择就是背叛同伙，选择坦白，而如果他的同伙也根据同样的思路向警察交代了，那么，囚徒1反正也是服刑。所以其结果就是，这两个囚徒按照不顾一切的逻辑得到了最糟糕的得益：徒刑。

正是因为“占优策略均衡”反映了所有博弈方的绝对偏好，因此非常稳定，根据占优策略均衡可以对博弈结果作出最肯定的预测。所以我们在进行博弈分析时，应该首先判断各个博弈方是否都有上策，博弈中是否存在占优策略均衡。如果能够找到一个博弈的占优策略均衡，那么就意味着该博弈的分析有了明确的结果，博弈分析的任务就基本上完成了。

但是并非每个博弈方都有这种绝对偏好的上策，而且常常是所有博弈方都没有上策，因为博弈问题的根本特征是博弈方的最优策略是随其他博弈方的策略的变化而变化的，因此“占优策略均衡”不是普遍存在的。例如在上一章介绍的田忌赛马博弈及古诺产量博弈中就都没有“占优策略均衡”，因为各个博弈方的任何策略都不是绝对最优的，每个博弈方都没有绝对偏好的上策。所以，“占优策略均衡”并不能解决所有的博弈问题，最多只是在分析少数博弈时有效。

其实“占优策略均衡”并不普遍存在正是博弈理论的价值所在。因为如果“占优策略均衡”在所有博弈问题中普遍存在，那么博弈问题与一般的个人最优化问题就没有任何实质性的区别，博弈分析也就不会有什么新意，就不可能成为一种独立的、重要的理论了。

三、严格下策反复消去法（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies）

在每个参与人都有占优策略均衡的情况下，占优策略均衡是非常合乎逻辑的，但遗憾的是在绝大多数博弈中，占优策略均衡是不存在的。占优策略均衡在博弈分析中作用的局限性，说明我们必须发展适用性更强的、更有效的博弈分析概念和分析方法。不过，在有些博弈中，我们仍然可以根据占优的逻辑找出均衡，“严格下策反复消去法”（Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies）就是在适用范围更广的意义上，比上策均衡分析更有效的博弈分析方法之一。

该方法可以归纳如下：首先找出某博弈方的严格劣策略，将它剔除，重新构造一个不包括已剔除策略的新博弈；然后，继续剔除这个新的博弈中某一博弈方的严格劣策略；重复进行这一过程，直到博弈方剩下惟一的策略组合为止。剩下的这个惟一的策略组合，就是这个博弈的均衡解。所谓“严格劣策略”（Strictly Dominated Strategies）是指：在博弈中，不论其他博弈方采取什么策略，在某一博弈方可能采取的策略中，对自己严格不利的策略。

例1　为了理解和掌握严格下策反复消去法，以及它与上策均衡分析的区别，我们来分析下面这两个例子。图2.1是一个两个博弈方分别有三种和两种策略的不对称博弈问题。

图2.1

根据图2.1中得益矩阵不难判定，该博弈不存在上策均衡。因为在博弈方1的“A”、“B”两种策略中，不存在始终占优的上策，在博弈方2的“甲”、“乙”、“丙”三种策略中，同样也不存在始终占优的上策。显然在分析这个博弈时，上策均衡分析不适用。

现在我们试尝用严格下策反复消去法来进行分析。首先考虑博弈方1的策略空间，在博弈方1的“甲”、“丙”两种策略之间没有严格的优劣关系，因此两个策略都不是严格下策，无法用严格下策反复消去法排除其中任何一个策略。对于博弈方2的三个策略，策略“丙”与策略“乙”之间存在严格的优劣关系，因为不管博弈方1选“A”还是选“B”，博弈方2选策略“丙”的得益都小于“乙”，因此策略“丙”是相对于策略“乙”的严格下策。根据严格下策反复消去法的思想，可以先将“丙”从博弈方2的策略空间中去掉。这时博弈就简化为图2.2中得益矩阵表示的、两个博弈方各有两种策略的博弈。

在这个只剩下四种策略组合的博弈中，我们可以发现对于博弈方1来说，策略“B”是相对于策略“A”的严格下策，因此可以将策略“B”从博弈方1的策略空间中去掉。这样得到图2.3的形式。

图2.2

图2.3

最后在这个仅剩两个策略组合的博弈中，再比较博弈方2的两个策略。显然策略“甲”是相对于策略“乙”的严格下策，可以被消去。这样原来的博弈就只剩下惟一的策略组合（A，乙），这个策略组合就是博弈的“解”。不过（A，乙）并不是原博弈的占优策略均衡，事实上原博弈根本没有占优策略均衡。

通过上面的分析我们可以发现，严格下策反复消去法的适用范围确实要比上策均衡分析更大一些，因此在分析博弈方面的作用也更大。不过，严格下策反复消去法也不能解决所有博弈的分析问题。因为在许多博弈问题中，上述相对意义上的严格下策往往也不存在。如猜硬币、田忌赛马中没有任何博弈方的任何策略是相对其他策略的严格下策。既然不存在任何严格下策的博弈，那么也就无法用严格下策反复消去法进行分析了。此外，在策略数较多的博弈中，往往是严格下策反复消去法只能消去其中的部分策略，不能消去的策略组合并不惟一，这时仅用严格下策反复消去法也无法对博弈作出准确的判断，因此仍然不能完全解决这些博弈问题。

严格下策反复消去法失效的原因，仍然是博弈方之间普遍存在的策略依存性，即一个博弈方的不同策略之间，往往不存在绝对的优劣关系，而只存在相对的、有条件的优劣关系。所以，严格下策反复消去法也不是普遍适用的博弈分析方法，不可能成为博弈分析的一般方法。

例2　“智猪博弈”（Boxed Pigs）

下面，我们来看博弈论中的另一个著名的例子：“智猪博弈”。

假设猪圈里有两头猪，一头大猪，一头小猪，猪圈的一端有一个猪食槽，另一端安装了一个按钮，控制猪食的供应。按一下按钮，将有8个单位的猪食进入猪食槽，供食用。两头猪面临选择的策略有两个：自己去按按钮或等待另一头猪去按按钮。两头猪应该各采取什么策略呢？答案是：小猪将舒舒服服地等在食槽边，而大猪则要不知疲倦地奔忙于按钮和食槽之间。下面我们给出具体的分析。

如果某一头猪作出自己去按按钮的选择，它必须付出如下代价：第一，它需要付出相当于2个单位的成本；第二，由于按钮远离猪食槽，它将比另一头猪后到猪食槽，从而减少吃食的数量。假定：若小猪按按钮，大猪先到食槽，大猪将吃到7个单位的猪食，小猪只能吃到1个单位的猪食；若大猪按按钮，小猪先到食槽，大猪和小猪各吃到4个单位的猪食；若两头猪都选择等待，两头猪同时到食槽（实际上两头猪都吃不到猪食），大猪吃到5个单位的猪食，小猪吃到3个单位的猪食。智猪博弈的得益矩阵如图2.4所示。表中的数字是不同选择下每头猪所能吃到的猪食数量减去按按钮的成本之后的净收益水平。

图2.4

从图2.4中不难看出，在这个博弈中，不论大猪选择什么策略，小猪的上策均衡为等待；而对大猪来说，它的选择就不是如此简单了。大猪的最优策略必须依赖于小猪的选择。如果小猪选择等待，大猪的最优策略是按按钮，这时，大猪能得到2个单位的净收益（吃到4个单位猪食减去2个单位的按按钮成本），否则，大猪的净收益为0；如果小猪选择按按钮，大猪的最优策略显然是等待，这时大猪的净收益为7个单位。换句话说，在这个博弈中，只有小猪有上策均衡，而大猪没有上策均衡。

那么这个博弈的均衡解是什么呢？这个博弈的均衡解是大猪选择按按钮，小猪选择等待，这时，大猪和小猪的净收益水平分别为2个单位和4个单位。这是一个“多劳不多得，少劳不少得”的均衡。

在找出上述智猪博弈的均衡解时，我们实际上是按照“严格下策反复消去法”的逻辑思路进行的。由图2.4可以看出，无论大猪选择什么策略，小猪选择按按钮，对小猪是一个严格劣策略，我们首先加以剔除。在剔除小猪按按钮这一选择后的新博弈中，小猪只有等待一个选择，而大猪则有两个可供选择的策略。在大猪这两个可供选择的策略中，选择等待对大猪是一个严格劣策略，我们再剔除新博弈中大猪的严格劣策略等待。剩下的新博弈中只有小猪等待、大猪按按钮这一个可供选择的策略，就是智猪博弈的最后均衡解，从而达到重复剔除的占优策略均衡。

智猪博弈的结果可以被我们用来解释许多社会和经济现象。比如，在股份公司中，股东都承担着监督管理层工作的职能，但是，大小股东从监督中获得的收益大小不一样。在监督成本相同的情况下，大股东从监督管理层工作中获得的收益明显大于小股东。因此，小股东往往不会像大股东那样去监督经理人员，这是小股东的占优策略，而大股东也知道小股东会选择不监督，知道小股东要搭大股东的便车，但是大股东别无选择。大股东选择监督管理层工作的责任、独自承担监督成本是大股东在小股东占优选择的前提下必须选择的最优策略。这样一来，与智猪博弈一样，从每股的净收益（每股收益减去每股分担的监督成本）来看，小股东要大于大股东。

智猪博弈也能给予我们很多其他方面的启发。比如，大猪不首先按按钮，小猪会不会首先去按按钮？答案是一定会的。比如，长时间陷于困境的群体中总会出现一个敢于为群体的利益而献身的人，不过他的下场可能是悲壮的。再如，当群体道德丧失殆尽的时候，社会是否还有向前发展的可能呢？答案是有可能的。如果猪圈的管理人员增加几个放食开关，小猪们就可以利用这一“先进”的装置迅速地吃到食物，增进群体的福利。也就是说，即使社会道德水准降低到了极限（所有的人都变得绝对自私），技术进步仍然可以增进全社会的福利。还有，制度约束能否替代道德约束？能不能建立一套制度，通过这套制度逐步改善这种群体的无效行为？这也是有可能的。如果猪圈建立一个合理的制度，来增加小猪们的投机成本，它们中就会有相当多的变成大猪。这也就是今天我们为什么要加强制度建设，企业要建立现代企业制度的主要原因。还有，社会是否可以通过教育来解决上述问题？这是最根本的出路。比如人们都向往生活在一个团结友爱、互助互让的大家庭里，但在建设这个大家庭时，人们很大程度上忽视了家庭赖以形成的最根本因素，那就是宽容和爱护。一个在没有宽容和爱护，只有规章和制度的环境下成长起来的人，是不可能真正热爱这个社会进而愿意为社会的和谐与进步贡献自己的力量的。教育就应该多传递这些方面的思想和要求。

四、划线法

下面我们再介绍一种博弈分析的方法——“划线法”。

我们知道，博弈中的博弈方的最终目标都是实现自身的最大得益，各个博弈方的得益既取决于自己选择的策略，也与其他博弈方选择的策略有关，因此博弈方在决策时必须考虑其他博弈方的存在和策略选择。根据这一思路决策的过程应该是：先找出自己针对其他博弈方每种策略或策略组合的最佳对策，然后在此基础上，通过对其他博弈方策略选择的判断，包括对其他博弈方对自己策略选择的判断等，预测博弈的可能结果和确定自己的最优策略。

仍然以图2.1的博弈为例。在这个博弈中，对博弈方1来说，假设博弈方2采用的策略是“甲”，则博弈方1采用“A”得1，采用“B”得0，此时的最佳对策是“A”。为了便于记忆和分析，我们在矩阵中策略组合（A，甲）对应的博弈方1的得益1下划一短线，表示这是博弈方1在博弈方2选择“甲”时的最大可能得益。同样，我们可以找出博弈方2分别选择“乙”和“丙”时博弈方1的最佳对策，它们分别是“A”和“B”，得益分别为1，我们也在它们下划一短线。博弈方2的思路与博弈方1是相同的，因此我们也分别在他针对博弈方1“A”、“B”两个策略的两个最佳对策“乙”和“甲”给他带来的得益4和5的下面划上短线。最终我们得到图2.5。

图2.5

在图2.5中的6个得益数组中，（B，乙）和（A，丙）的得益数组分别为（0，3）和（0，1），其两个数字下都没有划线，这意味着相应策略组合中两博弈方的策略都不是针对另一方策略的最佳对策，也意味着这两个策略组合不可能是两博弈方的选择；（A，甲）、（B，甲）和（B，丙）三个策略组合的得益数组都有一个数字下划有短线，这意味着相应策略组合的两博弈方策略中，有一方的是对另一方的最佳对策，因此这三个策略组合也不是双方同时愿意接受的结果；只有策略组合（A，乙）对应的得益数组（1，4）的两个数字下都划有短线，这意味着该策略组合的双方策略都是对对方策略的最佳对策，表明给定一方采用该策略组合中的策略，则另一方也愿意采用该策略组合中的策略，该策略组合具有稳定性，是该博弈的结果。

上述通过在每个博弈方对其他博弈方每个策略或策略组合的最佳对策对应的得益下划线，分析博弈的方法称为“划线法”。

例3　“性别之争”（Battle of Sexes）

下面再用“性别之争”（Battle of Sexes）博弈说明一种相反的情况，即对有些博弈应用划线法时存在不止一个得益数组每个数字下都划有短线。见图2.6。

图2.6

在日常生活和经济活动中有许多问题与这个性别之争博弈是相似的。例如当两个人从两个不同的地点出发希望能在中途会合，若存在两条不同的路线，那么他们对路线的选择就与性别之争很相似。这个博弈甚至还可以推广到人类与可能存在的外星生物之间相互联络的尝试中，对联系方式（介质、频率等）的选择问题。此外，企业之间在关联产品技术和规格等方面的合作也有类似的特征。

对于性别之争博弈首先可以确定的是，严格下策反复消去法无法运用，因为两个博弈方都没有严格下策。用划线法分析这个性别之争博弈，不难得到图2.7。

图2.7

根据图2.7可以看出，这个博弈中有两个策略组合，（歌剧，歌剧）和（足球赛，足球赛），都是所对应的得益数组的两个数字下都划有短线，这意味着这两个策略组合中的双方策略都是对对方策略的最佳对策。因此，如果一个博弈方选择了这两个策略组合中某一个策略，另一个博弈方也会愿意选择该策略组合的策略，这两个策略组合都具有内在的稳定性。但是，由于具有上述特征的策略组合在本博弈中存在两个，而不是惟一的一个，两个策略组合中哪个出现都是合理的，因此我们反而无法确定哪个结果会出现。对于这样的博弈，划线法显然也没有完全解决问题。

第二节　纳什均衡

一、纳什均衡（Nash Equilibrium）

纳什均衡是著名博弈论专家纳什（John Nash）对博弈论的重要贡献之一。纳什在1950年和1951年的两篇重要论文中，在一般意义上给定了非合作博弈及其均衡解，并证明了解的存在性。正是纳什的这一贡献奠定了非合作博弈论的理论基础。纳什所定义的均衡称为“纳什均衡”。

前面我们讨论了占优策略均衡和严格下策反复消去法等方法。但是在现实生活中，还有相当多的博弈，我们无法使用上策均衡和严格下策反复消去法的方法找出均衡解。例如，在房地产开发博弈中，假定市场需求有限，A、B两个开发商都想开发一定规模的房地产，但是市场对房地产的需求只能满足一个房地产的开发量，而且，每个房地产商必须一次性开发一定规模的房地产才能获利。在这种情况下，无论是对开发商A还是开发商B，都不存在一种策略优于另一种策略，也不存在严格劣策略：如果Ａ选择开发，则B的最优策略是不开发；如果A选择不开发，则B的最优策略是开发；类似地，如果B选择开发，则A的最优策略是不开发；如果B选择不开发，则Ａ的最优策略是开发。研究这类博弈的均衡解，需要引入纳什均衡。

此外，用划线法找出的具有稳定性的策略组合都有一个特性，就是其中每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策。其实，具有这种性质的策略组合，正是非合作博弈理论中最重要的一个解概念，即博弈中的“纳什均衡”。下面我们就对纳什均衡进行一些讨论。

纳什均衡定义：对于标准式博弈G＝｛S_1，…，Sn；u_1，…，un｝中，如果在由每个博弈方的一个策略所组成的某个策略组合（，…，）中，任一博弈方i的策略，都是应对其他博弈方策略的组合的最佳策略，也即，对任意Sij∈Si都成立，则称（，…，）为标准式博弈G的一个“纳什均衡”（Nash Equilibrium）。

根据纳什均衡的定义我们不难明白，前面介绍的相对占优策略划线法其实正是在可以用得益矩阵表示的博弈中寻找纳什均衡的方法。

纳什均衡是博弈论中第一个极其重要的概念，它主要描述的是这样一种策略（或行动）集：在这一策略集中每一个博弈者都确信，在给定竞争对手的情况下，他选择了最好的策略。通俗的表达就是：给定你的策略，我的策略是最好的策略；给定我的策略，你的策略也是你最好的策略。这就是说，双方在对方的策略下自己现有的策略是最好的策略。此时，双方在对方给定的策略下不愿意调整自己的策略，因为单独改变对自己没有好处。这里的策略包括我们后面要介绍的混合策略。

显然占优策略均衡是一种纳什均衡，但是纳什均衡不一定是占优均衡。占优策略均衡是比纳什均衡更强的博弈均衡，它要求任何一个博弈方对于其他博弈方的任何策略选择来说，其最优策略选择都是惟一的；而纳什均衡只要求任何一个博弈方在其他博弈方的策略选择给定的条件下，其选择的策略是最优的。

判断某一结果是不是纳什均衡的通常做法是看博弈者是否可以通过单方面的背离而受益。如果还有其他策略让博弈者获得更多的得益，他一定会偏离现有的策略组合，该策略组合就不会是稳定的，不可能成为纳什均衡。纳什均衡是完全信息静态博弈解的一般概念，构成纳什均衡的策略一定是重复剔除严格劣策略过程中不能被剔除的策略。也就是说，没有一种策略严格优于纳什均衡策略（注意：其逆定理不一定成立），更为重要的是，许多不存在占优策略均衡或重复剔除的占优策略均衡的博弈，却存在纳什均衡。

与重复剔除的占优策略均衡一样，纳什均衡不仅要求所有的博弈者都是理性的，而且，要求每个博弈者都了解所有其他博弈者都是理性的。

在占优策略均衡中，不论所有其他博弈者选择什么策略，一个博弈者的占优策略都是他的最优策略。显然，这一策略一定是所有其他博弈者选择某一特定策略时该博弈者的占优策略。因此，占优策略均衡一定是纳什均衡。在重复剔除的占优策略均衡中，最后剩下的惟一策略组合，一定是在重复剔除下策过程中无法被剔除的策略组合。因此，重复剔除的占优策略均衡也一定是纳什均衡。在囚徒困境中存在惟一的纳什均衡点，即两个囚犯均选择“坦白”，这是一个稳定的结果。

有些博弈的纳什均衡点不止一个。如“性别之争”博弈中有两个纳什均衡：（歌剧，歌剧）和（足球赛，足球赛），双方的得益矩阵如图2.8。

图2.8

在有两个或两个以上纳什均衡点的博弈中，其最后结果难以预测。在“性别之争”中，我们无法知道，最后结果是一同欣赏歌剧还是一起去看足球赛。除非有进一步的信息，如王刚或刘丽具有优先选择权，否则，我们无法确定双方在上述博弈中会作出什么样的选择。

例1　杂货铺定位博弈

为了进一步说明纳什均衡的意义，让我们看一个杂货铺定位博弈的例子，该模型是美国经济学家霍特林（Hotelling）提出的，因此又叫霍特林模型。

设想有一个小居民点，居民住宅沿着一条公路均匀地排开。现在有两家杂货铺要在这个小居民点做生意。假设它们卖同样的东西，价格也完全一样，但相互竞争。那么，两家杂货店应各自设在什么地方比较好？情况如图2.9所示。

现在，因为商品一样，价格也一样，居民到哪个杂货铺买东西，就看哪一个杂货铺离自己比较近。反正东西、价格都一样，何必舍近求远呢，显然，每个杂货铺都希望靠自己比较近的居民多一些。

图2.9

乍一看，如果把这条路四等分，杂货铺A设在1/4的位置，杂货铺B设在3/4的位置，问题就解决了。好像这是一种不错的配置，按照这种配置，每个杂货铺的势力范围都是1/4。可是，如果杂货铺只以自己赢利为目的，是不会满足于这样的位置安排的。因为如果A向右移动一点儿到达A′的位置，那么A的地盘就扩张到A′和B的中点，A的地盘就会比B占有的地盘大。所以，原来位于左边的A，有向右边移动来扩大自己地盘的动力。在这个定位博弈中，杂货铺的地盘就是市场份额，就是经济利益。同样，原来位于右边的B，有向左边移动扩大自己地盘的激励。可见上述A在1/4处，B在3/4处的位置配置方式，不是稳定的配置。

那么，什么位置才会是稳定的呢？在两个杂货铺市场竞争的位置博弈中，位于左边的要向右靠，位于右边的要向左靠，最后的局面是：两家杂货铺都紧挨着位于中点1/2的位置。这就是纳什均衡的位置。因为谁要是单独移开“1点”，他就会丧失“半点”市场份额。所以谁都不想偏离中点的位置。

我们可能会想，实际生活中情况似乎不是这样。的确可能不是这样，但是那一定有其他因素在起作用。比方说中点位置的房租特别贵，又比方说在什么地方正好有一家铺子空出来，还可能是原来的住家在要开杂货铺时就用他自己的住宅，等等。再一种可能是两家杂货铺都尊重一个协调机构，这个协调机构从方便居民购物的角度来考虑，希望两家杂货铺互相礼让，分别在1/4和3/4的位置开张。还有一种可能，就是两家杂货铺实际上是同一个企业的两家分店，那么当然在1/4和3/4的位置。

只有两家杂货铺都紧挨着在中点开张才是稳定的纳什均衡结局，前提是每家杂货铺都是只关心自己眼前商业利益的“理性人”假设。在这种情况下，“理性人”的特征就是“惟利是图”。既然惟利是图，就要千方百计挤占对方的地盘，最终造成两家“剑拔弩张”、挤在中点的结局。现在我们一些管理不好的摊贩市场就是这样，下班以后，摊贩都要往好地方挤，谁也不肯礼让。

应用上述霍特林模型还可以较好地说明西方两党政治的一些有趣现象。比如西方一些国家的两党在竞选时，越是到最后关头，两党的政治纲领，政策主张越来越接近。等到一个政党取代另一个政党上台之后，选民们发现其实新政党和旧政党在政策上并没有多少实质性的差别。

二、无纳什均衡的博弈

是不是所有的博弈都存在纳什均衡点呢？不一定。实际上，纳什均衡也是一种特殊情况，并不是所有的博弈都存在纯策略（Pure Strategy）纳什均衡点（所谓纯策略是指参与者在他的策略空间中选取惟一确定的策略），但至少存在一个混合策略（Mixed Strategy）均衡点（所谓混合策略是指参与者采取的不是惟一的策略，而是其策略空间上的一种概率分布，后面将会介绍）。这就是纳什于1950年证明了的纳什定理。例如“田忌赛马”博弈中就没有纳什均衡。

例2　“点球博弈”

在足球比赛中罚点球的时候，守门员和罚球者也构成一个博弈，该博弈中也没有纳什均衡。假设罚球者罚球时可以选择三个方向：左中右；守门员也可选择左中右三个方向扑球。当罚球者选择左的情况下，如果守门员也选择了左，罚球者将得－1，守门员将得＋1；如果守门员选择了右或者中，罚球者将得＋1，守门员将得－1。当罚球者选择了中的情况下，如果守门员也选择了中，罚球者将得－1，守门员将得＋1；如果守门员选择了右或者左，罚球者将得＋1，守门员将得－1。当罚球者选择了右的情况下，如果守门员也选择了右，罚球者将得－1，守门员将得＋1；如果守门员选择了左或者中，罚球者将得＋1，守门员将得－1，则双方的得益矩阵如图2.10所示。

图2.10

当判断罚球者将向左发球的时候，守门员一定选择左；当判断罚球者将向中发球的时候，守门员一定选择中；当判断罚球者将向右发球的时候，守门员一定选择右。同样当罚球者判断守门员将向左扑球时，罚球者将向左或中发球；当罚球者判断守门员将向右扑球时，罚球者将向右或中发球；当罚球者判断守门员将向中扑球时，罚球者将向左或右发球。此时没有均衡存在，双方都只能靠运气。

例3　“监督博弈”（“委托人—代理人”模型）

设有一个代理人为一个委托人工作，代理人可以有偷懒或努力工作两种选择。代理人工作时会使自己花费成本g，但为委托人产生价值为v的产出。委托人或者选择监督或者选择不监督。监督要花费委托人监督成本h，但可以提供委托人是否偷懒的证据，委托人向代理人提供工资w。如果代理人被发现在偷懒，则他得到的得益为0。假设两个博弈者同时选择他们的策略，而且委托人在决定是否监察时不知道代理人是否会选择偷懒。为了分析简单起见，假设g＞h＞0，w＞g（否则工作对于代理人来说会是不划算的）。这一博弈的得益矩阵如图2.11所示。

图2.11

在监督博弈中没有纯策略纳什均衡：如果委托人不监督，代理人严格偏好于偷懒，因此w＞g时委托人最好监督。另一方面，如果委托人在均衡中以概率1监督，则代理人偏好于工作（由于w＞g），这意味着委托人不监督更好。因此，委托人在均衡中必须采用一种混合策略。类似地，代理人也必须随机地在偷懒或努力工作之间进行选择。用x和y分别记代理人偷懒和委托人监督的概率（x和y均属于（0，1））。为了使代理人的偷懒和工作之间无差异，必须有从偷懒中得到的得益（g）等于收入的期望损失（yw）。为了使委托人对监督和不监督无差异，监督成本必须等于期望工资节省（xw），因此y＝g/w和x＝h/w。

“监督博弈”可以应用于武器控制、犯罪预防和员工激励，我们将在后面的章节中详细讨论的“委托人—代理人”模型就是一个“监督博弈”。

纳什均衡是博弈论中的重要概念，同时也是经济学的重要概念。纳什均衡引入经济学，对经济学产生了巨大的冲击。诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森（Samuelson）有一句幽默的话：你可以将一只鹦鹉训练成经济学家，因为它所需要学习的只有两个词：供给与需求。博弈论专家坎多瑞（Kandori）进而引申说：要成为现代经济学家，这只鹦鹉必须再多学一个词，这个词就是“纳什均衡”。由此可见纳什均衡在现代经济学中的重要性。纳什均衡不仅对经济学意义重大，对其他社会科学意义同样重大。

在经济学研究中，纳什均衡首先对亚当·斯密的“看不见的手”的原理提出挑战。按照斯密（Adam Smith）的理论，在市场经济中，每一个人都从利己的目的出发，而最终全社会达到利他的效果。从“纳什均衡”我们引出一个悖论：从利己目的出发，结果损人不利己，个人理性导致的可能是集体的非理性，两个囚徒的命运就是如此。从这个意义上说，“纳什均衡”提出的悖论实际上动摇了西方经济学的基石。因此，从“纳什均衡”中我们还可以悟出一条真理：合作是有利的“利己策略”。但它必须符合以下条件：按照你希望别人对待你的方式来对待别人，只有他们也按同样的原则行动才行。也就是中国人说的“己所不欲勿施于人”，但其成立的前提条件是人所不欲勿施于我。其次，纳什均衡是一种非合作博弈均衡，在现实中非合作的情况要比合作情况普遍。所以纳什均衡是对冯·诺依曼和摩根斯特恩的合作博弈理论的重大发展，甚至可以说是一场革命。

三、纳什均衡的一致预测性质（Consistent Forecast）

博弈分析最基本的目的之一是预测。也就是说，我们之所以要进行博弈分析，最重要的原因就是预测特定博弈中的博弈方究竟会采取什么行动，博弈将有怎样的结果。即使进行博弈分析的最终目的不是预测，而是通过博弈分析研究人类的行为规律，评价特定制度环境、政策措施的效率意义等，也需要以对博弈结果的预测判断为基础。因此一个博弈分析概念的作用和价值，很大程度上是由其对博弈结果预测能力的大小决定的。

一般来说，人类的历史是不可预测的，也就是说，人类的集体行动是不可能预知的。但是，在某些假定的条件下，某种集体行动是可预测的。博弈论中对行动者的假定是，行动者是理性的。理性的人不可能作出非理性的事情，在这个假定下，许多结果就能预测出来。博弈的均衡就是可预测的结果。在囚徒困境中，囚犯除了选择“坦白”外还有其他选择吗？对于理性的或者说自私的囚徒来说，肯定没有。这是理性人的假定下的必然结论。在博弈论中有这样的结论：在静态的博弈中，如果有一个纳什均衡解，那么这个解就是该博弈的必然结果，它是可预测的；而当有几个纳什均衡时，这几个纳什均衡都是可能的结果，此时，结果也是可预测的。因此，纳什均衡的价值主要在于它的一些非常重要的性质，其中“一致预测性”就是最重要的性质之一。也就是说，纳什均衡是关于博弈将会如何进行“一致预测”（Consistent Forecast）的。

这里所说的“一致预测”是指这样一种性质：如果所有博弈方都预测一个特定的博弈结果会出现，那么所有的博弈方都不会不顾这种预测或者这种预测能力，去选择与预测结果不一致的策略，即没有哪个博弈方有动力采取与这个预测结果不同的行为，没有哪个博弈方有偏离这个预测结果的愿望，因此这个预测结果最终真会成为博弈的结果。也就是说，这里“一致预测”中“一致”的意义是，各博弈方的实际行为选择与他们的预测一致，都不约而同地预测并选择了同样的策略组合。纳什均衡的一致预测性质正是博弈预测能力的基本保证。其他的博弈分析概念要么不具备这种性质，从而不存在预测的稳定性，因此不可能成为具有普遍意义的博弈分析概念，要么本身也是纳什均衡，或是纳什均衡的一部分。如前面介绍的上策均衡就具有一致预测的性质，但事实上所有的上策均衡都是纳什均衡。

一致预测性是纳什均衡的本质属性，也是保证纳什均衡的价值，使纳什均衡具有不同于其他分析概念的特殊地位的两个最重要的性质之一。因为首先一致预测性在博弈分析中具有十分重要的地位，其次是只有纳什均衡才具有一致预测的性质。

一致预测性在博弈分析中非常重要的原因，主要在于一个博弈中所作预测的内容包括他自己的选择，因此博弈方有可能会利用预测改变自己的选择，而具有一致预测性质的博弈分析概念就能避免这样的矛盾，从而是稳定的和自我强制的（Self-enforcing），相应选择也才是真正可预测的。不具有一致预测性质的博弈分析概念，在分析和预测博弈结果时，则难以避免预测和行为之间的矛盾，因此是不稳定的，甚至是自我否定的，作用和价值必然很有限。

不难证明纳什均衡具有一致预测的性质，而且只有纳什均衡才有这种性质，任何非纳什均衡的预测都不是一致预测，所以一致预测正是纳什均衡的本质属性。因为如果一个博弈的所有博弈方都预测博弈结果是某个纳什均衡，那么由于纳什均衡策略组合中各博弈方的策略都是对其他博弈方策略、策略组合的最佳对策，因此任一博弈方都不会单独改变策略，因此预测的结果会成为博弈的最终结果。这说明一个纳什均衡作为各个博弈方的共同预测时，一定是一致预测。反过来，如果每个博弈方都预测到某个策略组合将是博弈结果时，都会自动坚持该策略组合中的策略，而不愿采取与预测不一致的策略，则说明该策略组合中每个博弈方的策略都是对其他博弈方策略的最佳对策。根据纳什均衡的定义，这个策略组合一定是一个纳什均衡。也可以这样说，如果所有博弈方都是理性的，那么当他们预测到结果将是某个非纳什均衡策略组合时，一定至少有一个博弈方想改变自己的策略，因此该预测决不可能是一致预测。这样我们就证明了一致预测正是纳什均衡的本质属性，纳什均衡和一致预测两者之间是密切联系和不可分割的。

正是由于纳什均衡是一致预测，因此才进一步有下列性质：首先，各博弈方可以预测它，可以预测他们的对手会预测它，还可以预测他们的对手会预测自己会预测它……任何预测其他非纳什均衡策略组合将是博弈的最终结果，则意味着要么各博弈方的预测其实并不相同（预测不同的纳什均衡会出现等），要么说明至少一个博弈方“犯了错误”，包括对博弈结构理解的错误，对其他博弈方的策略预测错误，其理性和计算能力有问题，或者是实施策略时会出现差错，等等。我们不能说这种错误不会发生，事实上，在一些特定的情况下，还是很有可能发生的。因此在假设各博弈方预测的策略组合相同，以及各博弈方都有完全的理性，也就是不会犯错误的情况下，不可能预测任何非纳什均衡是博弈的结果。在存在预测不一致和允许博弈方犯错误时问题比较复杂，在今后讨论多重纳什均衡选择和有限理性博弈的章节会加以讨论。

纳什均衡具有一致预测的本质属性，是它在非合作博弈分析中具有不可替代重要地位的根本原因之一。然而，纳什均衡的一致预测并不说明这些预测都是好的预测，在一些情况下如果认为可以获得精确的预测可能不切合实际。

值得注意的是，虽然纳什均衡是博弈结果的一致预测，但纳什均衡分析却并不一定能对所有博弈的结果都作出准确的预测。因为纳什均衡的一致预测性质本身并不保证各博弈方的预测是相同的，相同的预测是一致预测性质的前提而不是结果。有许多博弈其实根本无法准确预测，因为有些博弈不存在纳什均衡，而另一些博弈又有多重纳什均衡且相互无显著的优劣或效率差别。此外还存在博弈方的理性、能力等与假设不符的情况，这些都会影响纳什均衡在博弈分析中的预测作用。

四、纳什均衡与严格下策反复消去法

纳什均衡和严格下策反复消去法之间的关系比较复杂，关键是这两者之间是否存在相容性，即严格下策反复消去法是否会消去纳什均衡。对于纳什均衡和严格下策反复消去法的关系，下面的两个命题给出了回答。

命题1　在有n个博弈方参与的标准式博弈G＝{S_1，…，Sn；u_1，…，un}中，如果严格下策反复消去法消除了除（，…，）外的所有策略组合，那么（，…，）一定是该博弈惟一的纳什均衡。

命题2　在有n个博弈方参与的标准式博弈G＝{S_1，…，Sn；u_1，…，un}中，如果（，…，）是一个纳什均衡，那么严格下策反复消去法一定不会将它消去。

下面对这两个命题作一个简单的证明。由于命题2的证明相对简单一些，因此我们先证明它。证明使用反证法。先假设有某一纳什均衡策略组合在用严格下策反复消去法的过程中被消去了，然后来证明这必然会导致一个自相矛盾的结果，从而说明该假设是不能成立的，也就是说证明了命题2正确。

设策略组合（，…，）是标准式博弈G＝{S_1，…，Sn；u_1，…，un}的一个纳什均衡，同时假定博弈方i的策略是其策略组合中，第一个由于相对于该博弈方的其他策略而言是严格下策从而被消去的策略（当然也可能是在消去其他某些策略以后），那么意味着必然存在博弈方i的某个未被消去的策略相对于而言是占优策略，即满足

该不等式对任意由其他博弈方尚未消去的所有策略构成的策略组合（s_1，…，si－1，si＋1，…，Sn）都成立。

由于假设是纳什均衡策略组合（，…，）的各博弈方策略中第一个被消去的，因此其他博弈方的策略，在被消去的时候都还没有被消去，因此对于（），（2.1）式也必须成立，即

这显然与（，…，）是纳什均衡策略组合的假设相矛盾，因为不等式（2.2）表示，不是博弈方i对其他博弈方的策略组合（）的最佳反应，这与纳什均衡的定义矛盾。该矛盾证明了命题2的正确性，命题得到证明。

证明了命题2实际上就等于已经证明了命题1的后半部分。因为命题2已经说明用严格下策反复消去法消去的所有策略都不可能是纳什均衡，根据命题2只要我们能证明未消去的最后一个策略组合确实是纳什均衡，则它的惟一性就得到了保证，从而命题1就得到了证明。

我们同样用反证法来对命题1加以证明。假设通过严格下策反复消去法已经消去除了（，…，）以外的所有策略组合，而（）却不是一个纳什均衡，即至少存在某个博弈方i的某个策略si，使得下式成立：

但是，由于（，…，）是经过严格下策反复消去法以后留下的惟一策略组合，因此si必然属于被严格下策反复消去法消去的策略。也就是说，在严格下策反复消去过程中的某一阶段，必然存在某个此时还没有被消去的si使得

对于此时尚未被消去的，由其他博弈方的策略构成的所有策略组合（s_1，…，si－1，si，si＋1，…，Sn）都成立。由于（，…，）是本博弈经过严格下策反复消去法消去以后留下的惟一策略组合，因此，…，）始终不会被消去，因此也应该满足（2.4）式，即

如果即是si的严格上策，则（2.5）和（2.3）相矛盾，从而（，…，）不是纳什均衡的假设不能成立。命题得证。

如果≠，则根据在严格下策反复消去的过程中也必然被消去，否则（，…，）就不会是留下的惟一的策略组合，由此可以肯定在某阶段存在另一策略是相对于的严格上策，用和分别代表si和，（2.4）式和（2.5）式仍然应该成立。

如果＝，则与上面的证明一样就证明了命题，否则再进一步推论到与上面证明类似的的存在。由于最终只能有在严格下策反复消去以后不被消去，因此不断重复上述过程，总会找到某个就是si，从而证明在前述假设下必然导致（2.5）和（2.3）的矛盾，否定了前述假设成立的可能性，命题1得到证明。

第三节　纳什均衡的应用

下面我们来分析两个博弈论中经典的模型，以感受一下纳什均衡在经济学方面的具体应用。

例1　古诺双寡头竞争模型（Cournot Duopoly Competition Model）

一、模型假设

设某市场有两家企业生产同类型的产品，企业1的产量为q_1，企业2的产量为q_2，则市场总产量为Q＝q_1＋q_2。设市场出清价格P是关于市场总产量的函数P＝P（Q）＝a－Q。为分析简单的需要和突出博弈的特征，假设两企业的生产都无固定成本，且单位产量的边际成本相等，并为常数c，则两个企业分别生产q_1和q_2单位产量的总成本分别为cq_1和cq_2。最后强调两个企业同时决定各自的产量，即它们在决策之前都不知道另一方的产量。

在由上述问题构成的标准博弈中，博弈方为企业1和企业2。两博弈方的策略空间就是它们可以选择的产量。假设产量是连续可分的，因此两个企业都有无限多种可选策略，且产量不可能为负值。该博弈中两博弈方的得益是两企业各自的利润，即各自的销售收益减去各自的成本，根据假设的条件，得益分别为

和

容易看出，两博弈方的得益即利润都取决于双方的策略，即产量。

下面来求解这个博弈的纳什均衡策略组合，我们可以直接根据纳什均衡的定义来求出纳什均衡策略组合。根据纳什均衡的定义我们知道，纳什均衡是由相互具有最优对策性质的各博弈方策略组成的策略组合。因此，如果假设策略组合（，）是本博弈的纳什均衡，那么（，）必须满足下列关系式ui（，）≥ui（q_1，q_2），也就是说（，）是下列问题的最大值

的解。

上述求最大值的两个式子都是各自变量的二次式，且二次项的系数都小于0，因此、只要能使两式各自对q_1、q_2的导数为0，就一定能实现两式的最大值。令

解之得该方程组的惟一一组解。因此，策略组合就是本博弈惟一的纳什均衡，也是本博弈的结果。即根据上述分析，模型中两企业独立同时作产量决策，以自身最大利益为目标，都会选择生产单位的产量，市场的总产量为2（a－c）/3。两企业各自的得益为，两企业的利润之和为。

现在我们要问，在该纳什均衡策略组合下，企业总的生产效率会是怎样的呢？为此，我们再从企业总体利益最大化的角度作一次产量选择。设市场的总产量为Q，则总得益为U＝P（Q）－c（Q）＝Q（a－Q）－cQ＝（a－c）Q－Q^2，很容易求得使总得益最大的总产量，最大总得益。将此结果与两企业独立决策、追求自身而不是共同利益最大化时的博弈结果相比，可以发现虽然此时总产量较小，但总利润却较高。因此如果两厂商更多考虑合作，联合起来决定产量，先确定出使总利益最大的产量后各自生产一半，则各自可分享到的利益比独立决策时得到的利益要高。

不过，在独立决策、缺乏协调机制的两个企业之间，上述合作的结果并不容易实现，即使实现了也往往是不稳定的，因为每一家企业都有动机偏离这种合作。也就是说，在这个策略组合下，双方都认为可以通过独自改变自己的产量而得到更高的利润，它们都有突破单位产量的冲动。因为垄断产量偏低，相应的市场价格就会比较高，在这一价格下每家企业都会倾向于提高产量，而不管这种产量的增加是否会降低市场出清价格。因此，在缺乏有强制作用的协议等保障手段的情况下，这种投产的冲动注定了维持上述较低水平的产量组合是不可能的，两企业早晚都会增产，只有达到纳什均衡的产量水平时才会稳定下来，因为只有这时候任一企业单独改变产量都会不利于自己。

上述两寡头产量博弈只是古诺模型比较简单的一个特例。更一般的古诺模型可以是包括n个寡头的寡占市场产量决策，市场出清价格与市场总产量的函数关系P＝P（Q）也可以更复杂，每个厂商的成本也可以变化或不同。但不管这些因素如何变化，分析的思路与上述两寡头古诺模型都是相似的，不过纳什均衡的产量组合将变成n个偏微分为0的联立方程组的解。容易理解对一般的古诺模型，纳什均衡策略组合同样不是能真正使各厂商实现最大利润的产量组合，而是一种多个博弈方之间的囚徒困境。

显然，产量博弈的古诺模型是一种囚徒困境。无法实现博弈方总体和各个博弈方各自的最大利益这一分析对于市场经济的组织、管理，对于产业组织和社会经济制度的效率判断，都具有非常重要的意义。此类博弈也说明了自由竞争的经济同样也存在低效率问题，放任自流也不是最好的政策。这些结论也说明了对市场的管理，政府对市场的调控和监管是非常必要的。

二、最优反应函数（Best Reaction Function）

如果上述通过求解极值的方法得到纳什均衡解的方法比较抽象，下面我们用图形法来比较直观地得到古诺模型的纳什均衡解，其借助的主要工具是最优反应函数。

在上面讨论的两寡头古诺模型中，对于企业2的任意产量q_2，企业1的最佳对策产量q_1，就是使自己在企业2生产q_2的情况下利润最大化的产量，即q_1是最大化问题

的解。令u_1对q_1的导数等于0，不难求出

于是我们可以得到对于企业2的每一个可能的产量，企业1的最佳对策产量的计算公式，它是企业2产量的一个连续函数，我们称这个连续函数为企业1对企业2产量的一个“反应函数”（Reaction Function）。最优反应函数在经济学垄断理论部分是一个比较重要的概念。用同样的方法，我们可再求出企业2对企业1产量q_1的反应函数：

由于这两个最优反应函数都是连续的线性函数，因此可以用坐标平面上的两条直线表示它们，如图2.12所示。

图2.12

从图中可以看出，当一方的产量选择为0时，另一方的最佳反应为。这正是实现市场总利益最大的产量，因为这时候等于由一个企业垄断市场，市场总体利益就是该企业的利益；当一方的产量达到（a－c）时，另一方不得不选择0，因为此时后者坚持生产已经无利可图；在两个反应函数对应的两条直线上，只有它们的交点代表的产量组合，才是由相互对对方的最佳反应产量构成的，R_1（q_2）上的其他所有点（q_1，q_2）只有q_1是对q_2的最佳反应，q_2不是对q_1的最佳反应，而R_2（q_1）上的点则刚好相反。根据纳什均衡的定义，是该古诺模型的纳什均衡，并且因为它是惟一的一个，因此应该是该博弈的结果。该结论与前面直接根据纳什均衡定义得到的完全一样。

例2　伯特兰德双寡头竞争模型（Bertrand Duopoly Competition Model）

下面我们讨论双寡头垄断中两个企业相互竞争的伯特兰德（Bertrand）模型。伯特兰德1883年提出了另一种形式的寡头模型，这种模型与选择产量的古诺模型的差别在于，伯特兰德模型中各企业所选择的是产品价格而不是产品数量。这导致博弈企业的策略空间不同，得益（收益）函数不同，行为模式也不相同。下面我们来分析伯特兰德价格博弈模型。

我们假设两个企业生产有一定差别的产品，这种有差别的产品之间有很强的替代性，但又不是完全可替代，即价格不同时，价格较高的不会完全销不出去。如果企业1和企业2价格分别为P_1和P_2，它们各自的需求函数为

q_1＝q_1（P_1，P_2）＝a_1－b_1P_1＋d_1P_2

和

q_2＝q_2（P_1，P_2）＝a_2－b_2P_2＋d_2P_1

该需求函数反映了上述差别产品彼此间的替代特征，其中d_1，d_2＞0，即两厂商产品的替代系数。和前面讨论古诺模型相似，我们也假设两企业无固定成本，假设边际生产成本分别为c_1和c_2。最后，仍强调两厂商是同时决策的。

在该博弈中，两博弈方为企业1和企业2；设它们各自的策略空间为s_1＝［0，P1max］和s_2＝［0，P2max］，其中P1max和P2max是企业1和企业2还能卖出的产品的最高价格；两博弈方的得益就是各自的利润，即销售收益减去成本，它们都是双方价格的函数：

若价格组合（，）是纳什均衡，则对两个企业来说，，应分别是下列最优化问题的解：

下面我们直接用最优反应函数来分析这个博弈。利用上述得益函数取极值时的偏导数为0，很容易求出两企业分别对对方策略（价格）的最优反应函数为

和

纳什均衡（，）必是两反应函数的交点，即必须满足

解此方程组，得。（，）为该博弈惟一纳什均衡。将、代入两得益函数则可得到两企业的均衡得益。

上述模型是伯特兰德模型较简单的情况。更一般的情况是有n个寡头的价格决策，并且产品也可以是无差别的。对于多寡头的伯特兰德模型的分析，则是双寡头模型的简单推广，也即只需要求出每个企业对其他各个企业价格的反应函数，然后解出它们的交点即可。

同古诺模型中的产量决策一样，这种价格决策博弈的纳什均衡也不如各博弈方通过协商、合作得到的最佳结果好，因此本质上也是一种囚徒困境。

例3　公共地悲剧（Tragedy of the Commons）

在经济学理论中，像公共资源利用、公共设施提供和公共环境保护等关于公共产品的使用方面的问题的研究是一类极其重要的问题。公共地悲剧（Tragedy of the Commons）就是制度经济学中非常经典的研究问题。

所谓公共地或公共资源在经济学中是指没有哪个个人、企业或组织拥有所有权，大家都可以自由利用的自然资源或人类生产的供大众免费使用的设施和产品。如人们都可以自由开采使用的地下水，可自由放牧的草地，可自由排放废气的大气层，以及无成本地使用公共道路、楼道的照明灯等。由于公共资源有上述两个特征，因而利用这些资源时不支付任何代价，除非政府将这些资源收归国有，并对使用者征收资源税或收取类似的费用。

其实，经济学家们早就已经开始认识到，在人们完全从自利动机出发自由利用公共资源时，公共资源倾向于被过度利用、低效率使用和浪费，如我们今天对水的大量浪费，对空气的肆意污染等，并且会导致资源的短缺。下面我们以公共草地上放牧问题为例来论证上述公共资源悲剧。

设某村庄有n户牧民，该村有一片可以自由放牧羊群的公共草地。由于这片草地的面积有限，因此只能让不超过某一数量的羊吃饱，如果在这片草地上放牧羊只的实际数量超过这个限度，则每只羊都无法吃饱，甚至会饿死，而且产出也减少，所以这些牧民必须决定自己养羊的数量。假设各牧民在决定自己的养羊数量时是不知道其他牧民养羊数量的，即各牧民决定养羊数量的决策是同时作出的。再假设所有牧民都清楚这片公共草地最多能养多少羊和羊只总数的不同水平下每只羊的产出。这就构成了n个牧民之间关于养羊数量的一个博弈问题，并且是一个静态博弈。

下面我们对该问题来构建标准博弈。显然博弈方就是n个牧户；他们的策略空间就是他们各自可能选择的养羊数目qi（i＝1，…，n）的取值范围；在公共草地上放牧羊只的总数为Q＝q_1＋…＋qn，根据前面的分析，显然每只羊的产出应是羊只总数Q的减函数V＝V（Q）＝V（q_1＋…＋qn）。假设购买和照料每只羊的成本为不变常数c，则牧户i养qi只羊的得益函数为：

在这个博弈里，每个牧民的问题是选择qi以最大化自己的得益。此时最优化的一阶条件为：

为了简化结论，我们进一步设定下列具体数值。假设n＝3，即只有3个牧户，每只羊的产出函数为V＝104－Q＝104－（q_1＋q_2＋q_3），而成本c＝4。这时，3牧户的得益函数分别为

u_1＝q_1［104－（q_1＋q_2＋q_3）］－4q_1

u_2＝q_2［104－（q_1＋q_2＋q_3）］－4q_2

u_3＝q_3［104－（q_1＋q_2＋q_3）］－4q_3

虽然羊的数量不是连续可分的，上述函数不可能是连续函数，但我们在技术上仍可以把羊的数量看做连续可分的，因此上述得益函数仍然可当做连续函数。

3牧户各自对其他牧户策略的反应函数，得

3个反应函数的交点（，，）就是博弈的纳什均衡。我们将、、代入3个反应函数，解联立方程组，得＝＝＝25。再将＝＝＝25代入3牧户的得益函数，则得＝＝＝625，此即3牧户独立同时决定在公共草地放羊数量时所能得到的利益。

同样我们可以对公共资源的利用效率作出评价，我们同样来讨论总体利益最大的最佳羊只数量。设在该草地上羊只的总数为Q，则总得益为

u＝Q（104－Q）－4Q＝100Q－Q^2

使总得益u最大的养羊数Q*必使总得益函数的导数为0，即

100－2Q*＝0

解得Q*＝50，将Q*＝50代入总得益函数，得u*＝2500。该结果比3牧户各自独自决定自己的养羊数量时3牧户得益的总和1875大了许多，而此时的养羊数Q*＝50则比3牧户独立决策时草地上的羊只总数3×25＝75小。因此，3牧户独立决策时实际上使草地处于过度放牧的情况，浪费了资源，牧户也没有获得最好的效益。如果各牧户能将养羊数自觉地限制在50/3＝16只，则他们都能得到更多的利益。然而不幸的是他们面临的也是一种囚徒困境，很难得到这种理想合作的结果。

这个例子再一次证明了纳什均衡，或者说非合作博弈的结果有可能是低效率的。在本例中，如果利用上述草地资源的牧民数进一步增加，则纳什均衡策略的效率会更低。如允许外来者任意加入利用该公共资源的行列，则所有利用该资源的人的利益很快都会消失，即羊只总数会随着放牧户数的增加而增加到刚好不至于亏损的水平，各牧户将完全不能从在公共草地上养羊得到任何好处，公共资源等于完全被浪费掉了。这就是所谓的“公共资源”悲剧。

公共资源的悲剧在我国有许多例子，如国有资产的流失、煤矿的滥开滥采导致的煤矿资源的浪费等就是公共资源悲剧的典型表现，像公园、水利设施等公共设施也存在类似的问题。在许多需要人类生产、提供的公共设施的问题上，做一个搭便车者（Free Rider）总是比作为提供者合算，因此许多必需的公共设施，如楼道里的电灯等就总是没人提供。这些公共资源博弈问题的结果说明了在公共资源的利用、公共设施的提供方面，政府的组织、协调和制约是非常必要的，因为人类共有的资源是有限的，当每个人都试图从有限的资源中多得到一点儿利益时，就产生了局部利益与整体利益的冲突。人口问题、资源危机、交通阻塞，都可以在公共资源悲剧中得以解释，在这些问题中，关键是通过研究、制定游戏规则来控制每个人的行为，这也可以说是政府之所以有必要存在的主要理由之一。

比如2001年中央电视台的新闻报道，这一年的第一天，在北京市和银川市发生沙尘暴，沙尘像雾一样笼罩在这两个城市的上空。

河北境内的沙漠也直逼北京，河北的怀柔县离北京只有60公里，环境专家预测，如不想出有效办法对沙漠进行治理，过不了多长时间，北京将消失，就像消失的楼兰文明。

土地荒漠化是中国重大的生态问题。中国土地的荒漠化集中在中国的北部，即内蒙、新疆、黑龙江、宁夏等地。

荒漠化的速度呈上升趋势。20世纪50年代至70年代中期，土地荒漠化年均扩大1560平方公里；而在70年代中期到80年代中期，年均扩大面积为2100平方公里。目前的扩大速度为每年2460平方公里。这个速度还在增加。

现在普遍的观点是，荒漠化的原因，是由于人类对土地资源的过度利用，对土地的利用超过了它的承受能力。在北方，雨水量小，土地上的生态系统脆弱，为了维持人口的过度增长对粮食等的需求，人们对土地的索取呈加速趋势。对土地的滥垦、滥牧、滥采是土地沙漠化的主要原因。

据调查，在牧区，草原上的牲畜严重超载已成普遍现象，牧区一般超载50％～120％，有的地区达到300％！

发菜是宁夏“四宝”之一的“黑”宝，宁夏的农民为了多赚钱，大规模地采集发菜，以销往南方，以至于当地政府不得不明令禁止这种行为，并将发菜从宁夏“四宝”中去除。在甘肃挖甘草已成致富之路，据估计每挖10公斤甘草要破坏5.3～7.3公顷的草地。

这就是公共资源悲剧，其原因就在于环境资源是大家的。

其实，像公共资源悲剧、武器竞赛、人口问题，这样的集体行动的悲剧也是可预测的。一旦群体处于这种状态下，悲剧将不可避免。当然这是从理性的假定之下得出的。然而人的个体理性与集体理性发生冲突时，一种调节的力量产生了，即道德和国家的产生或进化。此时，从个体理性出发的预测将失效，集体行动到底走向何方，没有必然性的答案，因为由个体理性出发产生的集体，可能出现集体的非理性。因此，原则上集体行动是不可预测的，而所谓预测只是在一定前提下的结论，而非逻辑的必然性。由此，我们只能从现有的状况预测未来的发展，这只是一个趋势，离我们较远的未来，我们无法作出准确的预测。

第四节　混合策略纳什均衡

在纳什均衡分析中，如果有惟一纳什均衡，则纳什均衡分析方法可以相当圆满地解决博弈问题，因为得到了惟一的最优解。但如果博弈中不存在纳什均衡或者纳什均衡不惟一，如猜硬币、田忌赛马或性别之争博弈那样，那么纳什均衡分析就无法给出确定的解，或根本就得不到解。因此纳什均衡分析法，还不能完全满足完全信息静态博弈分析的需要。为此，需要引进新的分析方法，那就是“混合策略”和“混合策略纳什均衡”，并在此基础上，把纳什均衡条件下的严格下策反复消去法和最优反应函数等分析内容也引入到混合策略分析中来。

一、混合策略（Mixed Strategies）和混合策略纳什均衡

在讲混合策略之前，我们先来看生活中的“求爱博弈”例子。

例1　“求爱博弈”

假设有个男孩向女孩求爱，女孩的选择策略有接受和拒绝两种，是接受还是拒绝依赖于女孩对男孩品德的判断。假定如果女孩准确地知道男孩品德良好，女孩会选择接受，反之，肯定不接受。问题是，女孩无法准确地知道男孩的品德。这时，女孩的决策显然取决于自己在多大程度上相信男孩是一个品德优良或品德恶劣的人。图2.13和图2.14分别列出品德优良者求爱和品德恶劣者求爱两种情况下双方的得益矩阵。这里，我们假定不论男孩品德如何，只要他求爱女孩就接受，他的得益为100；但是，女孩的得益显然依赖于男孩品德的类型：接受一个品德优良者的求爱，女孩的得益为100，而接受一个品德恶劣的男孩的求爱，女孩的得益为－100。男孩在女孩拒绝时的损失为－50，因为丢了面子。当男孩为品德优良的求爱者时，有图2.13的得益矩阵。

图2.13

当男孩为品德恶劣的求爱者时，有图2.14的得益矩阵。

现在假设女孩认为求爱者品德优良的概率为x。求爱者也知道这个x为多少，那么男孩求爱女孩接受时女孩的期望效用为100x＋（－100）（1－x），女孩不接受时男孩的期望效用为零。当x＞1/2时，女孩接受才是最优选择。如果x确实大于1/2，贝叶斯（纳什）均衡是：求爱者求爱，女孩接受；反之，如果x＜1/2，贝叶斯（纳什）均衡是：求爱者不求爱，女孩不接受。为什么当x＜1/2时，求爱者选择不求爱呢？因为他知道他求爱会被女孩拒绝，这种伤自尊的事是不值得干的。

例2　“猜硬币博弈”与混合策略

前面我们已经介绍了猜硬币游戏。两人通过猜硬币的正反面赌输赢，其中一人用手盖住一枚硬币，由另一方猜是正面朝上还是反面朝上，若猜对，则得1元，盖硬币方输1元；否则，猜方输1元，盖者得1元。我们可用图2.15的得益矩阵表示这个猜硬币博弈问题。

图2.15

图2.15中“盖方”和“猜方”为本博弈的两个博弈方；他们各有“正面”和“反面”两种可选择的策略；由于每一方都不会让对方在选择之前知道自己的选择，因此可看做两博弈方是同时作出决策的。

在这个博弈中，双方的利益是严格对立的，该博弈在双方“正面”、“反面”两种策略的意义上，不存在纳什均衡策略组合。因为无论双方采用的是哪个策略组合，结果都是一方赢一方输，而输的一方又总是可以通过单独改变策略而反败为赢，因此，这是一个零和博弈，是一个典型的利益严格对立的竞争博弈。

猜硬币博弈首先给我们提示了博弈中各博弈方决策的第一个原则：自己的策略选择不能预先被另一方知道或猜测到。如盖方所选的硬币的那一面被猜方预先知道或猜中，猜方就可以猜盖方所选的这一面而一定赢盖方。同样，如果猜方准备猜的那一面被盖方预先知道或猜到，他就会出与猜硬币方将猜的这一面相反的面而立于不败之地。因此，不让其他博弈方事先了解自己的选择，是该博弈中各博弈方首先应该遵循的原则。也就是说，一旦每个博弈方都竭力猜测其他博弈方的策略选择，就不可能存在纳什均衡，因为此时博弈者的最优行为是不确定的，此时博弈的结果必然会包含这种不确定性，当然就不存在稳定的纳什均衡解了。这正是没有纳什均衡的博弈与存在惟一纳什均衡的博弈之间的一个重要的本质区别。

此外，在该博弈的多次重复中，博弈方应该避免使选择带有规律性。一旦选择被对手发现具有某种规律性，对手就可以根据这种规律来选择自己的策略，从而轻易赢得博弈。例如在猜硬币博弈中盖方总是一次正面、一次反面地轮流出手，则猜硬币方就可以根据盖方前一次的策略，轻易猜中盖方这一次将盖住的硬币是哪一面。可见在该博弈中博弈方必须随机选择策略。

如果盖硬币方虽然采用随机选择的方法决定出正面还是反面，但出正面的机会从总体上说还是大于出反面的机会，此时猜硬币方还是有机可乘。例如，设盖硬币方出正面的概率为p，出反面的概率就是1－p，出正面多于出反面意味着p＞1－p或p＞1/2。在这种情况下，如猜硬币方全猜正面，则他的期望得益为

即平均来讲，猜硬币方一定是赢多输少，当然反过来盖硬币方就是输多赢少了。因此对盖硬币方来说，最可靠的方法是以相同的概率随机出正面和反面，即取p＝1－p＝1/2。这样，猜硬币方就无法从盖方对策略的偏好中占到任何便宜。当两个博弈方都以1/2的相同概率随机选择硬币的正面及反面时，双方都无法根据对方的选择方式，来选择或调整自己的策略或选择方式获得利益，从而在双方对两种可选策略随机选择概率分布的意义上达到了一种稳定，或者说均衡。这种博弈方以一定的概率分布在可选策略中随机选择决策的方式，在分析原来没有纳什均衡的博弈和有多个纳什均衡的博弈时有非常重要的意义。我们称这种策略选择方式为“混合策略”（Mixed Strategies）。与此同时，则把博弈中原来意义上的策略称为“纯策略”（Pure Strategies）：

混合策略定义：在一个有n个人参与的标准式博弈G＝｛S_1，…，Sn；u_1，…，un｝中，设博弈方i的策略空间为Si＝｛si1，…，sik｝，博弈方i以概率分布pi＝（pil，…，pik）随机在其k个可选策略中进行选择，以这种方式得到的“策略”称为“混合策略”，其中对j＝1，…，k，0≤pij≤1，且pi1＋…＋pik＝1。

显然，纯策略也可是混合策略，即选择某一纯策略的概率为1，选择其余纯策略的概率为0时的混合策略，是混合策略的特殊情况。反过来，混合策略又可以看做纯策略的扩展。

当我们把博弈方的策略从纯策略扩展到混合策略，把策略空间从纯策略空间扩展到混合策略空间的时候，纳什均衡的概念仍然成立。事实上，只要一个策略组合满足各博弈方的策略相互是对其他博弈方策略的最佳对策时，就是一个纳什均衡。不过现在其中的策略既可能是纯策略，也可能是混合策略。这时候纳什均衡意味着任何博弈方单独改变自己的策略，或者随机选择各个纯策略的概率分布，都不能给自己增加任何利益。如果确实是一个严格意义上的混合策略组合构成一个纳什均衡，则称为一个“混合策略纳什均衡”。

根据混合策略纳什均衡的定义，容易知道猜硬币博弈中两博弈方都以（1/2，1/2）的概率分布随机选择正面和反面的混合策略组合，就是一个混合策略纳什均衡，而且是这个博弈惟一的混合策略纳什均衡。因为这个博弈没有纯策略纳什均衡，因此这个混合策略纳什均衡也是这个博弈惟一的纳什均衡。在这个猜硬币博弈中，采用这个混合策略纳什均衡的策略，是两博弈方惟一正确的选择。

混合策略和混合策略纳什均衡概念在其他严格竞争博弈中也是适用的。而且，猜硬币博弈中寻找混合策略纳什均衡概率分布的思路，即令各个博弈方随机选择纯策略的概率分布，满足使对方或其他博弈方采用不同策略的期望得益相同的条件，从而计算出各个博弈方随机选择各纯策略概率的方法，在求其他严格竞争博弈的混合策略纳什均衡时也适用。当然，在博弈方人数较多，各个博弈方的纯策略数量较多，而且也不那么对称的博弈中，寻找混合策略纳什均衡要困难一些。下面再给出几个混合策略纳什均衡分析的例子。

为了进一步加深对混合策略及混合策略纳什均衡的理解，我们再来看图2.16中表示的博弈问题。用纳什均衡概念，我们发现它不存在纯策略纳什均衡。那么这个博弈有没有混合策略纳什均衡呢？

图2.16

根据前面的分析，本博弈中两博弈方首先要注意的是不能让对方知道或猜到自己的选择，因而必须在决策时利用随机性。另外，就是他们选择每种策略的概率一定要恰好使对方无机可乘，即让对方无法通过针对性地倾向某一策略而在博弈中占上风。设博弈方1选A的概率为pA，选B的概率为pB，博弈方2选C的概率为pc，选D的概率为pD，那么根据上述第二个条件，博弈方1选A和B的概率pA和pB，一定要使博弈方2选C的期望得益和选D的期望得益相等，即

1×pA×4＋1×pB×6＝1×pA×3＋1×pB×6

等式左边的两项中的1，意味着博弈方2以概率1选定策略C，同样等式后边的两项中的1，意味着博弈方2以概率1选定策略D。

由上式可得，pA＝4pB，且pA＋pB＝1，因此pA＝0.8，pB＝0.2，这就是博弈方1应该选择的混合策略。同理，博弈方2选择C和D的概率pC和pD，也应使博弈方1选择A的期望得益和选择B的期望得益相等，即

1×pC×3＋1×pD×2＝1×pC×4＋1×pD×2

可得4pD＝pC，且pC＋pD＝1，因此pC＝0.8，pD＝0.2。这是博弈方2的混合策略。

当博弈方1以（0.8，0.2）的概率随机选择A和B，博弈方2以（0.8，0.2）的概率随机选择C和D时，由于谁都无法通过单独改变自己随机选择的概率分布改变自己的期望得益，这个混合策略组合是［（0.8，0.2），（0.8，0.2）］，它是稳定的，这就是本博弈惟一的混合策略纳什均衡，显然混合策略纳什均衡与纯策略是完全一致的。如果博弈方1以概率1的大小选择A，博弈方2以概率1的大小选择B，则上述混合策略就退化为策略组合（A，D），这就是纯策略纳什均衡。

注意，这里博弈方1和博弈方2分别以0.8的概率选择A和C，并不意味着双方的选择和猜硬币博弈那样具有某种倾向性，这里0.8的概率是在使博弈的另一方在进行策略选择时，其得益无差别的条件下得到的结果，即博弈方1以0.8的概率选择A，以0.2的概率选择B；博弈方2以0.8的概率选择C，以0.2的概率选择B时，博弈双方都看不出对方的选择有任何倾向性。

当双方采用该混合策略组合时，虽然不能确定单独一次博弈的结果究竟会是上述四组得益中的哪一个，但双方期望得益的平均结果为

和

例3　“环境保护”博弈与混合策略

设有一个企业和一个环境保护部门。企业的生产经营收入为R，污染治理前的利润率为α，污染治理费用率为β，治理费用为βR。再设企业的利润为L，环保部门的成本费用为Y，环保部门进行一次检测的成本为C。如果在检测中发现企业超标排污，则对企业实施罚款，一次罚款金额为K。同时，环保部门必须对已经受到严重污染的环境投资治理，设进行一次环境治理所需的费用为A。若不进行治理，污染物造成的损失为B（此处将B也看成环保部门日后的治理费用），且B＞A。在这里，生产厂家追求利润最大化，环保部门在保证污染指数不超标的前提下力求费用最小，二者形成博弈关系。

在本博弈中，生产企业有两种策略选择：治理与不治理；环保部门也有两种策略选择：检测与不检测。当生产企业进行污染治理时，不管环保部门是否检测，其利润均为

L＝（α－β）R

环保部门进行检测的费用为：Y＝C，不检测的费用为Y＝0。当企业不进行治理，环保部门不进行检测时，企业的利润L＝αR，环保部门的费用Y＝B。当企业不治理，环保部门却进行检测时，企业的利润和环保部门的费用分别为

L＝αR－K，Y＝C＋A－K

由此可以得到博弈的得益矩阵如图2.17所示。

图2.17

对企业而言，若（α－β）R≤αR－K，即K≤βR，则企业的占优策略是不治理。对环保部门而言，若C＋A－K≥B，即K≤C＋A－B，则环保部门的占优策略是不检测。因此，博弈的纯策略纳什均衡为：（不治理，不检测）。此时企业的利润为αR，达到最大化，然而环境却被严重污染，造成的损失为B。

若0≤αR－K＜（α－β）R，且K≤C＋A－B，即βR＜K≤min｛C＋A－B，αR｝，此时博弈仍存在纯策略纳什均衡：（不治理，不检测）。

假设αR＞C＋A－B，若C＋A－B＜K≤αR，此时有两种可能：第一，由于K≤αR，环保部门的罚款不至于使企业亏损，企业仍会采取不治理的策略，但环保部门采用检测策略。均衡的结果是：（不治理，检测）。此时，企业的利润为αR－K，环保部门的检测治理费用为C＋A－K。第二，虽然K≤αR，企业不至于亏损。但若K＞βR，企业也可能采取治理的策略，使自身获利更多。这时，不存在纯策略纳什均衡，但存在混合策略纳什均衡。设环保部门进行检测的概率为p_1，企业不治理的概率为p_2，于是有

解得，。混合策略分别为，，它们构成一个混合策略纳什均衡。从上式可以看出，企业进行污染治理的概率与环保部门对企业不治理的惩罚力度、环保部门的检测成本有关。惩罚力度越大、检测成本越低，企业进行治理的可能性越大。

若K＞max｛αR，C＋A－B｝，此时也只存在混合策略意义下的纳什均衡。如果仍设环保部门检测的概率为p_1，企业不治理的概率为p_2，同样得到

形成与上面相同的混合策略纳什均衡。

在混合策略纳什均衡下，设环保部门的期望费用为E_1，企业的期望得益为E_2，则有

例4　“田忌赛马”与混合策略纳什均衡

在前面的分析中，我们已经知道田忌赛马博弈没有纯策略纳什均衡。现在我们借助混合策略纳什均衡来进行分析。

为了简便起见，我们将图2.18中齐威王的策略从上到下分别称为策略a、b、c、d、e和f，将田忌的策略从左到右分别称为策略g、h、i、j、k和l。设齐威王分别以概率pa、pb、pc、pd、pe和pf随机选择相应策略，显然田忌采用g的期望得益为－3pa－pb－pc＋pd－pe－pf，采用h的期望得益为－pa－3pb＋pc－pd－pe－pf，采用i的期望得益为－pa－pb－3pc－pd－pe＋pf，采用j的期望得益为－pa－pb－pc－3pd＋pe－pf，采用k的期望得益为pa－pb－3pc－pd－3pe－pf，采用l的期望得益为－pa＋pb–pc－pd－pe－3pf。齐威王若是想让田忌没有任何可乘之机，所选概率分布必须使上述6个期望得益都相等，解之得pa＝pb＝pc＝pd＝pe＝pf。又因为pa＋pb＋pc＋pd＋pe＋pf＝1，因此pa＝pb＝pc＝pd＝pe＝pf＝1/6。同样的，如果我们假设田忌以概率pg、ph、pi、pj、pk和pl随机选择相应策略，则该6个概率也必须使齐威王选择各纯策略的期望得益都相等，因而得pg＝ph＝pi＝pj＝pk＝pl＝1/6。齐威王和田忌都以1/6的相同概率随机选择各自的6个纯策略，构成本博弈惟一的混合策略纳什均衡。

在上述混合策略下，齐威王的期望得益为

田忌的期望得益则为

即多次进行这样的赛马，齐威王平均每次能赢田忌100匹马。

图2.18

例5　“性别之争”与混合策略

到目前为止，虽然我们知道混合策略概念和混合策略纳什均衡是以博弈方利益严格对立、没有纯策略纳什均衡的严格竞争博弈为基础的，但是，混合策略和混合策略纳什均衡在博弈方的利益有很大一致性且有多个纯策略纳什均衡的博弈分析中也有重要作用。

“性别之争”博弈是我们已经知道的一个经典博弈模型，其得益矩阵如图2.19。

图2.19

我们已经知道该博弈有两个纳什均衡：（歌剧，歌剧）和（足球，足球）。这个博弈与没有纯策略纳什均衡的严格竞争博弈有明显的差异，即如果一方知道另一方已选择了某种策略，则前者惟一明智的选择就是与对方保持一致，以免得到最差的得益0。也就是说该博弈中两博弈方的利益有一些一致性，两个博弈方都不会害怕对方猜到自己的选择，他们主观上也并不想隐藏自己的选择。

但是，由于这个博弈有两个纳什均衡，而且夫妻双方对两个纳什均衡的偏好显然有矛盾，妻子刘丽偏好前一个纳什均衡，而丈夫王刚则偏好后一个纳什均衡。因此当夫妻两人首先从自身的最大利益出发独立同时决策时，我们也不能肯定他们究竟会作怎样的选择。因此，在纯策略的范围内，该博弈也无法对两博弈方的选择提出确定性建议。下面分析博弈方采用混合策略的可能性。

设p_1（C）和p_1（F）分别为妻子刘丽选择看歌剧和看足球赛的概率，如果刘丽不想让丈夫王刚利用自己的选择倾向占上风，则自己的概率选择应使丈夫选择两种策略的期望得益相同：

p_1（C）·1＋p_1（F）·0＝p_1（C）·0＋p_1（F）·3

即p_1（C）＝3p_1（F）。由于p_1（C）＋p_1（F）＝1，因此p_1（C）＝0.75，p_1（F）＝0.25。

设p_2（C）和p_2（F）为王刚选择观看歌剧和足球赛的概率，那么王刚为了不让妻子占上风，其随机选择纯策略概率分布的决定原则，也是要让妻子选两种策略的期望相同，即：

p_2（C）·2＋p_2（F）·0＝p_2（C）·0＋p_2（F）·1

化简得2p_2（C）＝p_2（F）。由于p_2（C）＋p_2（F）＝1，因此p_2（C）＝1/3，p_2（F）＝2/3。

当刘丽以（0.75，0.25）的概率分布随机选择歌剧和足球，王刚以（1/3，2/3）的概率随机选择歌剧和足球时，双方都无法通过单独改变策略，即单独改变随机选择纯策略的概率分析而提高得益，因此双方上述概率分布的组合构成一个混合策略纳什均衡。该混合策略纳什均衡给妻子和丈夫各自带来的期望得益为：

和

显然，这个结果不如夫妻双方能交流协商时，任何一方迁就另一方时双方的得益好，因为那时任何一方都至少得1。

二、混合策略与严格下策反复消去法

我们在讲纯策略纳什均衡的时候曾经说过，如果策略Si为严格下策，则严格下策反复消去法一定会消去该下策，Si也不可能成为博弈方的策略选择。现在我们引入混合策略，上述结论是否成立呢？回答是肯定的，即在包括混合策略的情况下，任何博弈方都不会采用任何严格下策Si，不管它们是纯策略还是混合策略；严格下策反复消去法不会消去任何纳什均衡，包括纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡，经过反复消去后留下的惟一策略组合一定是纳什均衡。因此，在考虑混合策略的情况下，我们仍然可利用严格下策反复消去法进行分析，而且实际上引进混合策略只会使严格下策反复消去法的用处更大。

在图2.20所示的静态博弈中，博弈方1有U、M和D三种可选策略，博弈方2有L和R两种可选择的策略。在纯策略意义上，该博弈中不存在任何严格下策。因为从博弈方2来看，当博弈方1选U、M两种策略时，策略R的得益大于策略L，而博弈方1选策略D时，则策略L的得益大于策略R，因此策略L和策略R都不是博弈方2的严格下策。依据同样的分析方法来比较博弈方1的三个策略，可以发现U、M、D三种策略两两之间也没有绝对的优劣之分。

图2.20

如果采取混合策略，情况就会不一样。

设博弈方1采用如下的混合策略：以概率分布（1/2，1/2，0）随机选择U、M、D三种策略，即各以一半的机会选U、M，不选策略D。那么与该混合策略相比，D一定是博弈方1的严格下策。具体分析如下：

当博弈方2采用纯策略L时，博弈方1采用上述混合策略的期望得益为

当博弈方2采用纯策略R时，博弈方1采用上述混合策略的期望得益为

即使博弈方2也采用混合策略（q，1－q），博弈方1采用上述混合策略的期望得益为

也就是说，不管博弈方2采用哪种策略，包括所有可能的纯策略和混合策略（对应q的不同值），博弈方1采用上述混合策略的期望得益始终为3/2，都大于采用策略D时能得到的确定性得益1。如果假设博弈方是风险中性的，显然策略D相对于混合策略（1/2，1/2，0）是严格下策。

既然策略D在有混合策略时是严格下策，因此可从博弈方1的策略空间中去掉，博弈的得益矩阵变为图2.21。此时L是博弈方2的相对于策略R的严格下策，也可将它从博弈方2的策略空间中消去。最后，在剩下的两个策略组合中，博弈方1当然选（M，R），这就是该博弈的纳什均衡，此时双方的得益为（3，3）。

图2.21

需要注意的是，并不是包括混合策略以后，博弈中就一定会存在可以先行消去的纯策略严格下策。如我们将得益改为图2.22所示的情况，则U、M、D就都不会是相对于任何纯策略或混合策略的严格下策。这时，策略D现在非但不是博弈方1相对于混合策略（1/2，1/2，0）的严格下策，而且还是对博弈方2的混合策略（q，1－q）（1/3＜q＜2/3）的最佳反应对策。

图2.22

三、混合策略与最优反应函数法

下面我们继续将博弈方的策略空间扩展到包括混合策略。将纳什均衡扩展到包括混合策略纳什均衡以后，求纳什均衡的最优反应函数分析方法也可以扩展到求混合策略纳什均衡。在纯策略的范畴内，最优反应函数是各博弈方选择的纯策略对其他博弈方纯策略的反应。在混合策略的范围内，博弈方的决策内容为选择概率分布，最优反应函数就是一方对另一方的概率分布的反应，同样也是一定的概率分布。由于纯策略可以理解为混合策略，因此实际上最优反应函数的概念，也可以在混合策略概率分布之间反应的意义上统一起来。

首先我们分析不存在纯策略纳什均衡的“猜硬币博弈”。设（r，1－r）是盖硬币方随机选择正反面混合策略的概率分布，（q，1－q）是猜硬币方随机选择正反面混合策略的概率分布，那么两博弈方的反应函数就是r和q之间的相互决定关系。

根据以前的讨论我们知道，本博弈中当猜方选择猜正面的概率q＜1/2时，正面为最优纯策略，它相当于在混合策略（r，1－r）中令r＝1；相反，如果q＞1/2时，反面为最优纯策略，它相当于令r＝0；而当q＝1/2时，对盖方来说，r等于任何值都一样，即不管采用纯策略或混合策略，及混合策略中选哪个面的概率更大，所得到的期望得益是无差异的。将以上r随q的变化用函数关系表达出来，可以得到图2.23中实线表示的函数r＝R_1（q），这就是盖方对猜方的最优反应函数。

同样，我们可作出猜方对盖方混合策略的反应函数q＝R_2（r），如图2.24中实线所示。注意为了与图2.23的坐标轴的名称一致，这里我们以横轴代表因变量，纵轴代表自变量。

如果我们将图2.23和图2.24合并在一张图上，就得到图2.25。从图2.25我们看到，两博弈方的反应函数相交于（1/2，1/2），这是惟一的交点。这就是说，在这个博弈中，只有r＝1/2和q＝1/2，才是相互对对方最佳反应的混合策略概率分布，这就是本博弈惟一的混合策略纳什均衡：如果博弈方1的策略是（1/2，1/2），则博弈方2的最优策略反应应为（1/2，1/2），它满足纳什均衡的要求。

图2.23

图2.24

图2.25

我们可以把博弈方2的混合战略解释为博弈方1对博弈方2将会选择哪一个策略的不确定性。

下面我们用混合策略反应函数再来分析“性别之争”博弈。设妻子刘丽的混合策略为（r，1－r），丈夫王刚的混合策略为（q，1－q）。如果王刚的策略为（q，1－q），则刘丽选择歌剧的收益为q×2＋（1－q）×0＝2q，选择观看足球赛的收益为q×0＋（1－q）×1＝1－q。当2q＜1－q，即q＜1/3时，则刘丽选歌剧的期望得益1－q＞2/3，因此刘丽应选择歌剧，即r＝0，当2q＞1－q，即q＞1/3时，则刘丽选歌剧的得益为2q＞2/3，大于选足球赛的得益1－q＜2/3，此时应该选歌剧，即r＝1；当2q＝1－q，即q＝1/3时，r取0与1之间任何值刘丽的得益都一样。刘丽的最优反应函数如图2.26中的r＝R_1（q）。

同样，如果妻子刘丽的策略为（r，1－r），则丈夫王刚选择歌剧的得益为r×1＋（1－r）×0＝r，选择看足球赛时的得益为r×0＋（1－r）×3＝3（1－r）。由r＝3（1－r）得r＝。同上面的分析，得出王刚对刘丽的最优反应函数，如图2.26中的R_2（r）所示。

在图2.25中，两博弈方的反应函数有三个交点。其中（0，0），即r＝q＝0，和（1，1）即r＝q＝1，为两个纯策略纳什均衡。交点坐标（3/4，1/3），对应妻子以概率分布（3/4，1/4）随机选歌剧、足球赛，丈夫以概率分布（1/3，2/3）随机选歌剧、足球赛，是本博弈的一个混合策略纳什均衡。

图2.26

第五节　纳什均衡的存在性

我们已经知道在“田忌赛马”等许多博弈中不存在纯策略纳什均衡，但如果把策略扩展到包括纯策略和混合策略，那么这些博弈在混合策略的意义上就有了纳什均衡，即混合策略纳什均衡。虽然混合策略纳什均衡与纯策略纳什均衡有差别，如对一次性博弈结果的预测作用很小，但混合策略纳什均衡在揭示博弈方决策的方法，揭示博弈问题的效率意义等方面还是非常有用的。而且我们知道，纯策略可以看做混合策略的特殊情况。因此如果混合策略纳什均衡具有普遍性，对博弈分析的理论和应用价值就是非常重要的支持。纳什提出的著名的“纳什定理”，首先证明了这个结论。

一、纳什定理（Nash Theorem）

纳什在他1950年的经典论文中，首先提出了他自己称为“均衡点”（Equilibrium Point）的纳什均衡概念，并且同时证明了在相当广泛的博弈类型中，混合策略意义上的纳什均衡是普遍存在的。

纳什定理1（Nash 1950）：在一个有n个博弈方的标准博弈G＝｛S_1，…，Sn；u_1，…，un｝中，如果n是有限的，且Si都是有限集（对i＝1，…，n），则该博弈至少存在一个纳什均衡，均衡可能包含混合策略。

该定理说明，每一个有限博弈都至少有一个混合策略纳什均衡。纳什定理的证明需要用到数学中著名的角谷（Kakutani）不动点（Fixed Point）定理。运用角谷不动点定理证明纳什定理可以表述为：每个n个博弈方的博弈组成的策略组合（p_1，…，pn），都是由n个博弈方的策略空间相乘得到的n维乘积空间中的一个点。对每个这种策略组合，都可以找出由n个博弈方对它的最佳反应策略（，…，）构成的一个或多个策略组合，这就形成了一个从上述乘积空间到它自身的一对多（One-to-many）的映射（Mapping）。由于在引进混合策略以后，在期望得益的意义上得益函数都是连续函数，因此映射的图形是一个闭集，且每个点在映射下的影像都是凸集。根据角谷的不动点定理，可知该映射至少有一个不动点，这个不动点就是一个纳什均衡。如图2.27所示。

图2.27

为了让大家理解不动点定理，我们用比较形象的方法介绍一个更基本的不动点定理，即布鲁威尔（Brouwer）的不动点定理：如果f（x）是一个在定义域和值域上都是闭区间[0，1]的连续函数，则在[0，1]中至少存在一点x*，满足f（x*）＝x*。我们称x*为函数f（x）对应的曲线至少与图中的45°线有一个交点。

注意，在布鲁威尔定理中，f（x）的连续性条件是必不可少的。如果f（x）是不连续的，不动点就不一定存在。如图2.28所示。

角谷的不动点定理，实际上就是关于一维空间上映射的布鲁威尔不动点定理，在n维空间映射上的推广，其意义是在n维空间的有界闭凸集上的连续映射，至少存在一个不动点，即映像与原像是同一点。因为在混合策略的意义上，博弈方之间的策略反应构成的正是n维空间上的连续映射，因此根据角谷的不动点定理，这种映射至少存在一个不动点，而这种不动点就是混合策略意义上的纳什均衡。

图2.28

二、纳什定理的价值

纳什均衡定理保证了相当广泛类型的博弈中均衡策略的存在性，意味着纳什均衡分析在我们所遇到的大多数博弈问题中，都是一种基本的分析方法。正是因为这一普遍存在性价值，纳什均衡是博弈结果的“一致预测”的性质才有意义，纳什均衡这一概念才会成为分析博弈和预测博弈结果的中心概念和基本出发点。否则，如果多数博弈不存在纳什均衡，那么纳什均衡分析的价值就是非常有限的。因此纳什均衡的存在性是纳什均衡概念最重要的性质。这也就是为什么纳什均衡概念及纳什均衡存在性定理是博弈中最主要的理论的原因之所在。

自纳什提出纳什均衡概念以后，纳什自己和其他人又用不同的方法，或对不同的博弈类型范围，重新证明了纳什均衡的存在性。其中最重要的扩展是将针对有限策略博弈的纳什定理，推广到行为或策略不可数，有连续得益函数的无限博弈中。下面我们给出扩展后的纳什均衡存在性定理。如果把前面的纳什均衡叫做纳什定理1的话，那么下面有进一步关于纳什定理新的结论，我们同样把它们叫做纳什定理。

纳什定理2（Debreu，1952；Glicksberg，1952；Fan，1952）：在一个有n个博弈方参与的标准博弈G＝｛S_1，…，Sn；u_1，…，un｝中，如果每个博弈方的纯策略空间Si是欧氏空间上一个非空的、闭的、有界的凸集，得益函数是连续的且对Si是拟凹的，则存在一个纯策略纳什均衡。

前面介绍的纳什定理1可以看做是此定理2的特例。在定理2中，得益函数的拟凹性是一个很严格的条件，这个条件在许多情况下是不满足的。当得益函数在纯战略空间上是连续的，但不一定拟凹时，引入混合策略可以保证纳什均衡的存在。于是我们又有如下扩展后的纳什定理：

纳什定理3（Glicksberg，1952）：在一个有n个博弈方的标准博弈G＝｛S_1，…，Sn；u_1，…，un｝中，如果每个博弈方的纯策略空间Si是欧氏空间上一个非空的、闭的、有界的凸集，得益函数是连续的，那么，存在一个混合策略纳什均衡。

这些定理的证明与纳什均衡的证明是相似的，而且纳什定理1都可以看做这些定理的特例。这些定理说明纳什均衡在相当广泛的博弈类型中是普遍存在的，至少可以保证存在一个混合策略纳什均衡。在有些类型的博弈中更可以证明至少存在一个纯策略纳什均衡，从而使得一个博弈具有一个确定性的结果，即最优策略组合。

第六节　多重纳什均衡及其选择

纳什均衡在博弈类型中普遍存在，该概念在博弈分析中具有巨大作用和重要地位。

不过我们经常发现，常常博弈者会感到一些困惑，那就是许多博弈往往有多个纳什均衡，甚至无穷多个纳什均衡。纳什均衡的存在性不等于惟一性，有时不同的纳什均衡相互之间也没有明显的优劣关系。如性别之争博弈就有三个纳什均衡：两个纯策略，一个混合策略。在这种情况下，哪个纳什均衡最有可能成为最终的纳什均衡，往往取决于某种能使博弈者产生一致性预测的机智或判断标准。然而当一个博弈有多个纳什均衡时，纳什均衡的一致性预测也难以实现，因为要所有博弈者都预测同一个纳什均衡是非常困难的。这些情况的存在，表明纳什均衡分析仍然是有局限性的，说明对有些博弈问题仅仅进行纳什均衡分析是不够的，必须在纳什均衡分析的基础上再作进一步的深入分析。

一个博弈中存在的纳什均衡不止一个时，就是一个多重纳什均衡的博弈问题。多重纳什均衡博弈是非常普遍的，我们在前面已经接触了许多这样的例子，而且在引进混合策略概念时也作了一些讨论。但是很显然，对大多数多重纳什均衡博弈来说，引进混合策略并没有解决问题，因为混合策略本身不一定比纯策略更好，而且对于确定哪个纯策略更好也没有作用。因此我们有必要对多重纳什均衡导致的选择问题，对博弈方在这种情况下的决策行为方式等作一些讨论。

一、帕累托上策均衡（Pareto Dominated Equilibrium）

在多重纳什均衡博弈中，并不是所有的多重纳什均衡博弈都是难以选择的。事实上，虽然有些博弈中存在多个纳什均衡，但这些纳什均衡有时有明显的优劣差异，所有博弈方对其中的某一个纳什均衡有着共同的偏好。比如说，某个纳什均衡中给所有博弈方带来的利益，都大于其他所有纳什均衡会带来的利益，这时候博弈方的选择倾向性就会是一致的，各个博弈方不仅自己会选择该纳什均衡的策略，而且可以预料其他博弈方也会选择该纳什均衡的策略，共同追求经济学中的帕累托效率最优。这时各个纳什均衡之间其实还是存在许多差异的，这种差异性表现的内容可以是多种多样的，如文化上的，技术上的，效率上的，等等。但不管是什么内容的差异，我们都可以把它们归结到帕累托效率意义方面的差异。

上述多重纳什均衡选择所依据的标准，实际上就是帕累托效率意义上的优劣关系标准。博弈论大师海萨尼（Harsanyi）和泽尔滕（Selten）认为，这种按照得益大小选择得到的纳什均衡，比其他纳什均衡具有帕累托优势，我们把用这种方法选择出来的纳什均衡，就叫做“帕累托上策均衡”。帕累托上策均衡的例子是很多的，这里用下面这个“抗日战争”博弈问题为例作一些说明。

例1　“抗日战争”博弈

2005年是中国人民抗日战争胜利60周年。1937年当日本全面入侵中国之后，中国人民开展了全国性的抗战斗争，虽然付出了3500万人生命的巨大代价，但终于赢得了这场民族解放战争的胜利。

侵略与反抗是人类常常要面对的一个主题。从国家和民族总体的长远利益出发进行客观的分析，战争通常对任何一方都是有害无益的。选择战争比选择和平惟一有利的情况是对方已经选择了战争，因为这时候不奋起反抗就会任人宰割。假设日本侵略中国和中国人民奋起反抗的利益关系可以用图2.29中的得益矩阵表示，从该得益矩阵也可以看出当日本选择侵略中国的战争时，中国若不做反抗，命运将会更加悲惨。

图2.29

从博弈分析的角度，这个博弈中有两个纯策略纳什均衡，分别为（侵略，反抗）和（和平，和平）。很显然，（和平，和平）是这两个纳什均衡中，在帕累托效率意义上明显较好的一个，因此（和平，和平）构成本博弈的一个帕累托上策均衡。换句话说，如果当年日本的决策者是理性的，那么日本就不应该发动侵华战争。显然在这个博弈中，中国的最佳选择取决于日方的选择，当日方选择和平时中国选择和平最佳，而当日方选择战争时则中国的最佳选择就是义无反顾地选择反抗，战斗到底。但因为和平共处对双方都更有利，因此每个国家都不仅自己希望实现（和平，和平），而且能指望对方也会选择和平，因此（和平，和平）应该是这个博弈的合理结果，这正是帕累托上策均衡的现实基础和意义。这也正是今天我们纪念抗日战争胜利60周年，不忘那段历史，珍爱和平，同时警惕日本军国主义复活的根本所在。

再比如，寡头市场的价格竞争同“抗日战争”的博弈其实是很相似的。企业之间的价格竞争有时候就是一场战争，因此上述战争与和平的选择模型也可以用来分析寡头市场的价格竞争问题。这样的例子还可以找到许多。

二、风险上策均衡（Risk-dominant Equilibrium）

在多重纳什均衡博弈的选择中，选择纳什均衡的另一种方法就是风险上策均衡法。虽然帕累托上策均衡作为均衡选择的标准是合理的，然而并不是帕累托上策均衡都能够成为多重纳什均衡博弈选择的标准，有时候其他某种同样是合理的选择逻辑的作用会超过帕累托效率的选择逻辑，比如基于风险因素的考虑就是这样一种情况。当从多重纳什均衡中选择一个合理的预测常常依赖于预测风险的大小的时候，人们一般倾向于接受预测风险比较小的结果。

例2　投资博弈

假设有两家公司准备共同投资，一种投资机会为股票市场，另一投资机会为房地产，我们用图2.30的投资得益矩阵表示的静态博弈来说明上述观点。

显然，这个博弈中有两个纯策略纳什均衡（股票，股票）和（房地产，房地产），并且（股票，股票）的双方得益大于（房地产，房地产）的双方得益，因此前一个纳什均衡是这个博弈的一个帕累托上策均衡。

图2.30

那么，这个结果是否必然是两家公司双方共同采用帕累托上策均衡（股票，股票）呢？回答是不一定，因为虽然当双方确实都采用帕累托上策均衡（股票，股票）的策略时，两家公司的得益都会比采用另一个纳什均衡（房地产，房地产）多2个单位，但是如果一个公司采用（股票，股票）的策略时，另一公司却没有采用（股票，股票）的策略，那么此时前者的得益是很差的4个单位，比它们分别采取房地产的得益（至少7个单位，不管对方的策略是什么）要低得多。这意味着采用（股票，股票）对两家公司来说都是较大的风险。所以，如果考虑风险因素，（房地产，房地产）就有相对优势，因为虽然它在帕累托效率意义上不如（股票，股票），但在风险较小的意义上却优于（股票，股票）。当两家公司希望保险一些，想要回避风险时就会选择（房地产，房地产）而不是（股票，股票）。我们称（房地产，房地产）是这个博弈的一个“风险上策均衡”。

风险上策均衡的一种简单理解方法或识别标准是，如果所有博弈方在预计其他博弈方采用两种纳什均衡的策略的概率相同时，都偏爱其中某一纳什均衡，则该纳什均衡就是一个风险上策均衡。

下面我们再用“猎鹿”（Stag-hunting）博弈来阐述风险上策均衡的分析方法。

例3　“猎鹿”博弈

假设两个猎人在外出打猎同时发现1只白鹿和2只兔子，如果两人合力抓白鹿，则可以把这只价值20个单位的白鹿抓住，兔子当然是抓不到了；如果两人都去抓兔子，则各可以抓到1只价值5个单位的兔子，白鹿就会跑掉；但如果一个人选择了抓兔子，选择抓白鹿的人则什么也抓不到。显然两人的决策必须在瞬间作出，根本来不及商量，这就构成了一个静态博弈问题。如果合作猎获1只白鹿后双方会平分收获。图2.31是相关的得益矩阵。

图2.31

这个博弈也有两个纳什均衡，那就是（白鹿，白鹿）和（兔子，兔子），而且前一个纳什均衡也是本博弈的一个帕累托上策均衡。但我们也容易看出，由于在另一猎人选择抓兔子的情况下，选择抓白鹿的猎人会一无所获，而选择抓兔子的猎人利益则是有保障的，因为此时至少可以抓到一只兔子，有5个单位的确定性得益。因此选择抓白鹿有很大的风险，并不一定是最好的选择。既然前面抓兔子的猎人显然优于后面抓白鹿的猎人，因此，（兔子，兔子）是这个猎鹿博弈的一个风险上策均衡，精明的猎人往往会选择抓兔子而不是抓白鹿。

如果对风险上策均衡进一步分析，我们还会发现，博弈方对风险上策均衡的选择倾向有一种自我强化的正反馈机制。那就是当部分或所有博弈方选择风险上策均衡的可能性增强的时候，任一博弈方选择帕累托上策均衡策略的期望得益都会进一步变小，这就使各博弈方更倾向于选择风险上策均衡，这反过来又进一步使选择帕累托上策均衡策略的得益更小，从而形成一种选择风险上策均衡的正反馈机制，使其出现的机会越来越大。事实上，正是因为存在上述正反馈机制，往往会使得开始时并不是很大的各个博弈方采用风险上策均衡策略的概率，甚至只是对其他博弈方可能会采用风险上策均衡策略的担心，演变成使低效率的风险上策均衡成为现实，发生类似于混沌系统的“蝴蝶效应”。这对我们分析博弈的最终结果有较好的理论帮助。

三、聚点均衡（Focal Points Equilibrium）

其实，多重纳什均衡给我们带来的主要尴尬之处，主要还在于不存在有差别的帕累托上策均衡。如在“性别之争”博弈的三个纳什均衡中，除了混合策略纳什均衡明显较差以外，两个纯策略纳什均衡之间不存在帕累托效率意义上的优劣关系，一个对丈夫有利，另一个则对妻子有利，因此两个博弈方究竟会怎么选择无法判断。

但实际上，并不是所有无帕累托优劣关系的多重纳什均衡博弈中，人们的选择都没有规律性。事实上，在现实生活中，博弈方可能使用某些被标准博弈模型抽象掉的信息来达到一个所谓的“聚点”（Focal Point），从而帮助进行选择。

施林（Schellin）于1960年提出的“聚点”理论指出，在某些日常生活中，人们在作选择时，往往通过利用由策略形式提供的信息来协调而最后选择某些特殊的均衡。例如根据人们对类似“性别之争”博弈，有两个纯策略纳什均衡的博弈所进行的实验，发现大多数博弈方通常似乎知道在这样的博弈中该怎么选择，而且博弈方之间经常能够相互理解对方的行为，也发现博弈方往往会利用博弈规则以外的特定信息，如博弈方共同的文化背景中的习惯或规范，共同的知识，历史经验或者具有特定意义事物的特征，某些特殊的数量、位置关系等来进行选择。

例如在张维迎《博弈论与信息经济学》一书里所谓的“提名博弈”中，两个博弈方被要求同时报一个时间，所报时间相同各可获得一定的奖励，所报时间不同则不能获得奖励。很显然，这个博弈有无穷多个纳什均衡，双方选择任何相同的时间都是该博弈的纳什均衡，而且这些纳什均衡相互之间完全不存在效率意义上的优劣关系。但是我们不难发现，该博弈的两个博弈方选择类似“中午12点”、“0点”和“1点”的可能性比较大，双方同时选择这种时间的机会也较大，而选择类似“上午10点01分”、“下午3点46分”等时间的可能性就很小，更不大可能同时成为双方的选择。理由是前几个时间既是整点，而且又都有特殊意义（第一个代表上下午的分界点，第二个则是一天的开始），因此双方同时想到的希望较大。而后面两个时间则没有什么特殊的意义，即使某个博弈方想选择这样的时间，也不敢指望对方会作出这样的选择，而这就足以使该博弈方放弃这类打算了。因此，在上述博弈中两博弈方必然都会选择类似“中午12点”和“0点”等时间，虽然不能保证双方的选择一致，但至少大大提高了双方选择一致的概率。

我们称“中午12点”和“0点”这样的策略为上述博弈的“聚点”。在多重纳什均衡的博弈中，双方同时选择一个聚点构成的纳什均衡称为“聚点均衡”。当然聚点均衡首先是纳什均衡，是多重纳什均衡中比较容易被选择的纳什均衡。

其实“性别之争”博弈也是适用聚点均衡的博弈问题，夫妻双方的生日、双方的性格脾气等都可能作为聚点的根据。此外，现实中可以用聚点来分析和解释的博弈问题也是很多的。例如，在中国内地的交通规则中，所有的车辆都靠右行驶，而在香港，所有的车辆都靠左行驶就是一个“聚点”均衡。

从我们讨论的几个聚点均衡例子可以看出，聚点均衡确实反映了人们在多重纳什均衡选择中的某些规律性，但因为它们涉及的方面众多，因此虽然对每个具体的博弈问题可能可以找出聚点，但对一般的博弈却很难总结普通规律，只能具体问题具体分析。

四、防合谋均衡（Coalition Proof Equilibrium）

前面我们所介绍的帕累托上策均衡法，主要是用于两人静态博弈的情形。但是用帕累托上策均衡来预测多于两个博弈方参与的博弈结果时则会遇到巨大的困难。这是因为三个及三个以上的博弈方，就有可能部分合谋，结成联盟，在极大化联盟成员利益的同时损害了其他博弈方的利益，这样的结局显然有悖于帕累托上策均衡的要求。

考虑有甲、乙、丙三个人参与的博弈，得益矩阵如图2.32所示，其中从左到右依次的三个数分别表示甲、乙、丙在该博弈中的得益。

图2.32

尽管本博弈是有三个博弈方的两个得益矩阵，仍然可以通过划线法来求得纯策略均衡。例如，在同时固定乙选择L和丙选择A的条件下，比较甲选择U与D的盈利大小，显然0＞－5，则在0下面划一短线。在固定甲选择U且乙选择L的条件下，丙选择A的盈利为10，而选择策略B时的得益为0，于是我们就在10下划一短线，等等。我们得到那些三个元素均有短线的组合，易知（U，L，A）与（D，R，B）是纯策略纳什均衡。

令x表示甲选择U的概率，y表示乙选择L的概率，z表示丙选择A的概率。

甲选择U时的期望盈利为

0－5（1－y）z－2y（1－z）－5（1－y）（1－z）

甲选择D时的期望盈利为

－5yz＋（1－y）z－5y（1－z）－（1－y）（1－z）

则乙、丙分别选择y、z时的混合策略，应当使甲在选择U与选择D这两者之间的得益无差别，即上述两个期望得益必须相等，于是有

4yz－2z＋7y－4＝0

同理，考虑乙的期望得益可得

4xz－2z＋7y－4＝0

考虑丙的期望得益可得

xy＝（1－x）（1－y）

即1－x－y＝0，综合上面三个等式得x＝y＝z＝1/2。因此（1/2，1/2），（1/2，1/2），（1/2，1/2）是混合策略纳什均衡，相应的期望得益为（－3，－3，5/4）。

现在回到纯策略纳什均衡，显然（U，L，A）帕累托优于（D，R，B），也优于混合策略均衡。那么（U，L，A）是否可成为甲、乙、丙三个博弈者明显的聚点呢？不妨设想（U，L，A）就是博弈中各方一致预测的结果，此时我们使博弈者丙的选择固定于策略A，于是甲乙两人之间的博弈的得益矩阵如图2.33所示。

图2.33

该博弈的帕累托上策均衡是（D，R）。于是甲乙两人期望博弈者丙选择策略A，在这基础上甲与乙协调二人的行动，得到博弈的帕累托上策均衡。事实上，只要有可能，他们就会这样来协调自己的行动，其结果却推翻了原博弈的一个均衡（U，L，A）。

在这种情况下博弈方甲和乙相当于进行合谋，组成了一个联盟，在与丙的博弈中，联盟一方互相协调尽可能地极大化联盟各个成员的得益，而博弈方丙是理性的，他知道如果博弈三方在博弈过程中互相独立地行动，那么策略组合（U，L，A）与（D，R，B）是两个可能的“好”结局，相比较而言（U，L，A）也许对三方都更有利一些。但是如果根据这样的分析，他选择了策略A，有可能引起博弈方甲和乙两人结成联盟，而从预测结果来看不会是（U，L，A）。博弈方甲和乙协调于（D，R）的可能极大，于是丙为了保障自己的利益，将毫不犹豫地转向选择策略B。假如丙选择B，此时博弈方甲和乙两人博弈的纳什均衡仍为（D，R），于是博弈的合理预测结果看来应当是（D，R，B），它不是帕累托上策均衡。（D，R，B）有效地防止了博弈方甲和乙两人可能的合谋，从而避免了丙的损失。从预防合谋这一层意义上来说，（D，R，B）优于（U，L，A）。

如果我们先固定甲的策略选择为U，而由博弈方乙和丙合谋，则得益结果可能比上面的要差。此时，（U，L，A）是合理的一致预测。也就是说，对博弈方甲来说，他未必要防止乙与丙合谋，因为当博弈方甲固定策略选择U时，不管博弈方乙和丙是否合谋，他们的纳什均衡仍为（L，A），因而有背离的纳什均衡（U，L，A）。

博弈的预测需要从整体出发，因此预防合谋也应全面考虑。从预防合谋上看，应当在固定任何一个博弈方的策略选择时，其他两个博弈方将协调在此条件基础上博弈的帕累托上策均衡，如果这样协调的结果偏离了最初的纳什均衡，那么这个纳什均衡就不能成为合理的预测，如上面的（U，L，A）。假如协调并没有背离原来的纳什均衡，则该结果就可能成为一个合理的预测，本例中的（D，R，B）便是如此。

上述结论可以推广到n个博弈方的博弈问题。其可能的合理预测，首先要求所预测的结局是纳什均衡，在那里每一个博弈方都在其余（n－1）个博弈方策略选定的基础上由于已经极大化自己的得益而不愿偏离，即没有任何人会偏离纳什均衡策略。进一步固定任意（n－2）个局中人的策略，观察剩下的博弈方在给定的条件下，博弈中博弈的帕累托上策均衡是否偏离原博弈纳什均衡。即原始博弈的一个纳什均衡如果可能成为一个合理预测，我们要求不存在任何一个或两个博弈方愿意主动偏离它；类似地，我们要求任何一个三人联盟不偏离原博弈的纳什均衡……一直下去，直至任何一个（n－1）人联盟不会偏离原博弈的纳什均衡。总而言之，在多人博弈中，如果存在多重纯策略纳什均衡，哪一个可以作为合理预测呢？从防合谋思想出发，任何k（1≤k≤n－1）人合谋都不会发生背离现象的纳什均衡就是一个合理预测，符合这种推理的预测结局称做防合谋均衡，这一观点是由伯赫姆（Bernheim）等人于1987年提出的。

五、相关均衡（Correlated Equilibrium）

我们已经引进了纳什均衡这样一个在博弈中具有重要价值和意义的概念。在纳什均衡里，每个博弈方都是独立地行动，进行策略选择的。然而在现实中，当人们遇到多重均衡选择困难时，常会通过收集更多的信息，形成特定的机制和规则，依据某人或某些共同观测到的信息选择行动，设计某种形式的均衡选择机制，以解决多重纳什均衡选择问题，使所有博弈者受益，这时各博弈方的决策是相关的。如两家房地产公司进行市场竞争，假定市场出现某种信号，例如2005年上半年国家开始对房地产市场进行宏观调控，在双方观察到这个信号之后所进行的策略选择就是相关的。“相关均衡”就是这样的一种均衡选择机制。

为了说明相关均衡的概念，我们来分析下面由2005年诺贝尔经济学奖获得者奥曼（Aummann）曾经提出的博弈例子。设想一个图2.34中得益矩阵表示的博弈。

图2.34

显然，这个博弈有三个纳什均衡：在完全信息条件下，有（U，L）和（D，R）两个纯策略纳什均衡，另外有一个混合策略纳什均衡[（1/2，1/2），（1/2，1/2）]，即两博弈方都以1/2的概率在自己的两个纯策略中随机选择，它们的得益分别为（5，1），（1，5），（2.5，2.5）。虽然该博弈的两个纯策略纳什均衡，都能使两博弈方各得到0.5×5＋0.5×1＝3个单位的得益，但在这两个纳什均衡下双方的利益相差很大，因此很难在两博弈方之间形成自然的妥协，聚点均衡的概念不成立。如果采用混合策略纳什均衡，因为有1/4的可能性遇到最不理想的（U，R），因此双方的期望得益都只有2.5[]单位，显然也不理想。

由于避免出现（U，R），会使结果符合双方的利益，因此双方有可能通过协商约定采用如下的策略选择原则：如果明天是晴天，博弈方1选择U，博弈方2选择L；如果明天是阴天，A选D，B选择R。按照这样的规则选择，两个博弈者的选择就相关了，而且两个纯策略纳什均衡（U，L）和（D，R）各有1/2出现的可能，且可以保证排除采用混合策略可能出现的（U，R），双方的期望得益都是3，好于双方各自采用混合策略的期望得益，也解决了双方在两个纯策略纳什均衡选择方面的僵局。同样的相关选择也可以用到“性别之争”博弈中，就是双方可能形成这样的约定：“如果天气好一起去看足球赛，天气不好则一起看歌剧表演”。

进一步拓展上述思路，在该博弈中博弈方在收到不同但又相关的信号的情况下还可能实现更好的期望得益。该博弈有一个总得益更高的策略组合（D，L），由于它不是纳什均衡，因此除了混合策略纳什均衡中包含采用它的可能性以外，在一次性博弈中无法实现它。如果我们设计出一种能够包含这个策略组合，同时又能排除（U，R）的方法，就可以实现博弈方得益的改进，这种方法的关键是发出下列“相关信号”（Correlated Signals）就可以实现博弈得益的改进：（1）该机制以相同的可能性（各1/3）发出A、B、C三种信号；（2）博弈方1只能看到该信号是否为A，博弈方2只能看到该信号是否为C；（3）博弈方1看到A采用U，否则采用D，博弈方2看到C采用R，否则采用L。

不难发现该机制有下列重要性质：（1）保证U和R不会同时出现，即排除掉了（U，R）；（2）保证（U，L）、（U，D）和（D，R）各以1/3的概率出现，从而两博弈方的期望得益达到3＋1/3；（3）上述策略组合是一个纳什均衡；（4）上述相关机制并不影响双方各种策略组合下的得益，因此并不影响原来的均衡。即如果一个博弈方忽视信号，另一个博弈方也可以忽视信号，并不影响各博弈方原来可能实现的利益。我们称双方根据上述相关机制选择策略构成的纳什均衡为“相关均衡”。

思考题

1．什么是纳什均衡？为什么说纳什均衡是博弈分析中最重要的概念？

2．比较纳什均衡和上策均衡的异同，哪种均衡更稳定一些？

3．多重纳什均衡是否会影响纳什均衡的一致预测性质？

4．试问在下面的静态博弈中，其纯策略纳什均衡及博弈的结果是什么？

5．试求出下列静态博弈中的混合策略纳什均衡。

6．假设有A和B两个人就如何分配8000元进行讨价还价。假设双方确定了以下的分配规则：双方同时提出自己要求的数额s_1和s_2，0≤s_1，s_2≤8000。如果s_1＋s_2≤8000，则两人的要求都得到满足，即分别为s_1和s_2但如果s_1＋s_2＞8000，则该笔钱就被没收。试问该博弈的纯策略纳什均衡是什么？

第三章　完全且完美信息动态博弈

静态博弈只是博弈问题中的一种类型，现实中的许多决策活动是有先后顺序（Sequential-move）的，往往是依次选择行为而不是同时选择行为，而且后选择行为的博弈方能够看到先选择行为的博弈方的选择内容。

由于博弈中的博弈方依先后顺序行动，后选择行动的博弈方能够看到先行动的博弈方的决策行为，所以后面博弈方的决策要受到以前博弈方决策行为的影响，每一个博弈方都要根据在决策时所掌握的全部信息来作出自己的最优策略，即每个博弈方的策略是决策者在决策时所掌握全部信息的函数。换句话讲，博弈方在某一个阶段做出的决策，要受到前面一系列决策信息的影响，是前面一系列决策信息的函数。典型的例子就是对弈，我走一步，你走一步，你来我往，楚汉相争，不亦乐乎。双方相继行动，每个人在每一时刻的决策都是前面一系列决策所掌握信息的函数。再比如房地产开发选择，拍卖活动中的轮流竞价，资本市场上的收购兼并都是这样。依次选择与一次性同时选择有很大差异，因此这种决策问题构成的博弈与静态博弈有很大的不同，我们称它们为“动态博弈”（Dynamic Games）或“序贯博弈”（Sequential-move Game）。

第一节　动态博弈的扩展式表示法

我们知道，在静态博弈中，所有博弈方是同时选择行动（或虽行动有先后，但没有人在自己行动之前观测到其他博弈方的活动）。在动态博弈中，各博弈方不是同时而是先后选择行为，因此，每个博弈方必须考虑：如果我采用这个策略，对方会采取怎样的应对策略；我采取的这个策略将如何影响我自己及对手在将来的策略选择，这一特点使得动态博弈在表示方法上和静态博弈有较大的差别，也使得分析动态博弈的方法与静态博弈有很大不同，即采用扩展式方法（Extensive Form Representation）来描述和分析动态博弈。

一、动态博弈的扩展型表示（Extensive Form）

扩展型也称为“博弈树”，我们在第一章中已经介绍了这一概念。动态博弈各个博弈方的选择行为有先后次序，每个博弈方的选择行为会形成依次相连的时间阶段，因此动态博弈中一个博弈方的一次选择行为常称为一个“阶段”（Stage）。动态博弈中也可能存在几个博弈方同时选择的情况，这时这些博弈方的同时选择构成一个阶段。一个动态博弈至少有两个阶段，因此动态博弈有时也称为“多阶段博弈”（Multistage Games）。此外，也有称动态博弈为“序贯博弈”（Sequential-move Games）的，这也是由动态博弈中的顺序特征引发出来的。

同静态博弈的矩阵表示法相比，扩展型所“扩展”的主要是博弈方的策略空间，即某个博弈方在什么时候行动，每次行动时有哪些策略可以选择，以及知道哪些关于博弈的信息。由于扩展型可以反映动态博弈中博弈方的选择次序和博弈的阶段，因此是表示（阶段数和博弈方可选行为数量较少的）动态博弈的最佳方法。正因为动态博弈常用扩展型表示，因此有时也被称为“扩展博弈”（Extensive Form Game）。

下面我们用一个“仿冒和反仿冒”博弈的例子来详细揭示动态博弈的扩展形表示方法。

例1　“仿冒和反仿冒”博弈

设有一家企业的产品被另一家企业仿冒，如果被仿冒企业采取措施制止，仿冒企业就会停止仿冒，如果被仿冒企业不采取措施制止，那么仿冒企业就会继续仿冒。对被仿冒企业来说，产品被仿冒当然会造成经济损失，因此采取措施制止仿冒是符合自身利益的，但制止仿冒要付出代价，因此在遭仿冒时是否应该制止要斟情考虑。对于仿冒企业来说，仿冒不被制止能获得很大利益，但如果被制止、被处罚也会损失惨重，因此是否仿冒也要仔细分析。所以，这两个企业在仿冒和制止仿冒的问题上，存在着一个行为和利益相互依存的博弈问题，而且是一个动态博弈问题。

我们假设仿冒最多进行2次，再假设第一次不仿冒、仿冒被制止，以及在第一次仿冒没被制止的情况下，第二次不仿冒、仿冒被制止、仿冒不被制止这几种情况下，仿冒和被仿冒企业的得益分别为0和10、－2和5、5和5、2和2、10和4，并用A表示仿冒企业，B表示被仿冒企业，那么该动态博弈可以用图3.1中的扩展型表示。图中得益数组的第一个数字是仿冒企业的得益，第二个数字为被仿冒企业的得益。

图3.1

如果对“仿冒与反仿冒”博弈的特点进行一下总结，我们就可以发现扩展型表示包括以下要素：

1．参与人集合。即所谓的博弈方集合。

2．参与人的行为顺序。即什么时候行动。

3．参与人的行为（策略）空间。即博弈方在选择策略时，每次选择什么。

4．参与人的信息集。即参与人在选择时，都知道些什么信息。

5．参与人所采取行动的收益。

6．外生事件即自然选择的概率分布。

其实，也不是所有动态博弈都可以用扩展型表示。因为有些动态博弈的阶段很多，或者博弈方在一个阶段有许多可以选择的行为，这些时候用扩展型表示动态博弈就会很困难，或者根本就不可能。例如对弈是动态博弈，但因为它不仅博弈阶段很多，而且每个阶段的可能选择也很多，因此很难用扩展型加以表示。此外，两个寡头先后决定产量的博弈也是动态博弈，但因为每个寡头可以选择的产量都是无穷多种，因此也无法用只能描述有限种行为选择的扩展型表示。这时，动态博弈通常只能直接用文字描述和数学函数式表示。

二、动态博弈的主要特点

动态博弈在许多方面的特点和静态博弈相比是不同的，而且这些特点对于动态博弈的分析有相当重要的影响。这里对动态博弈的策略和结果，以及博弈方之间的不对称性等几个基本方面的特点作一些讨论。

1．动态博弈的策略和结果

我们知道，在静态博弈中，每个博弈方只有一次选择行动的机会，所以“策略”就是这个惟一的选择或行动，“策略”与“选择”及“行动”都是等价的。在动态博弈中，各个博弈方的选择和行为不仅有先后之分，而且一个博弈方的选择很可能不是只有一次，而是有几次甚至多次，并且在不同阶段的多次行为之间有内在联系，是不能分割的整体。因此在动态博弈中，研究某个博弈方某个阶段的行为，或者将各个阶段的行为割裂开来研究是没有意义的。动态博弈的博弈方决策的内容，不是博弈方在单个阶段的行为，而是各博弈方在整个博弈中轮到自己选择的每个阶段，针对前面阶段的各种情况作相应策略和行为选择的完整的行为策略安排，以及由不同博弈方的这种行动安排构成的策略组合。动态博弈的“策略”就是指这种整体的策略安排计划，因此在动态博弈中，“策略”与“选择”及“行动”是不等价的。

在“仿冒和反仿冒”博弈中，仿冒企业A“在第一阶段仿冒，如果第二阶段B制止，第三阶段就不仿冒，否则第三阶段继续仿冒”，被仿冒企业B“第一阶段A仿冒时第二阶段不制止，第三阶段A继续仿冒时第四阶段制止”，分别是该动态博弈中两博弈方的一个策略。在动态博弈中各博弈方的决策内容就是选择、确定这样的策略，这也就是前面所说的“扩展”的主要特点之一。当我们把动态博弈理解成各博弈方之间以这样的策略进行博弈对抗时，在形式上似乎与前一章讨论的静态博弈就一致起来了，此时，两博弈方之间的动态博弈也可以用得益矩阵表示，矩阵行、列分别代表两博弈方上述意义上的策略，称其为动态博弈的“得益矩阵”或“策略形”。不过，用得益矩阵表示动态博弈总体上还是非常困难的，不如扩展型好，因为得益矩阵无法反映动态博弈的次序关系，以及不同阶段之间的内在影响和联系。通过后面的分析我们对此会有更多的体会。

动态博弈的结果和静态博弈相比，有更丰富的内涵。首先动态博弈的结果是指各博弈方上述类型的策略构成的策略组合，并不是具体的得益。例如在仿冒和反仿冒博弈中，仿冒企业A与被仿冒企业B采用前述策略构成的策略组合。其次，动态博弈的结果是各博弈方的策略组合形成的一条连接各个阶段的“路径”（Path），即一连串在时间上有依次顺序的行为选择。在仿冒和反仿冒博弈中会看到“第一阶段A仿冒，第二阶段B不制止，第三阶段A仿冒，第四阶段B制止”，在该博弈的扩展型图上形成了一条连接每个阶段的路径。最后，动态博弈的结果是选择上述策略组合的最终结果，即具体的得益。落实到给A和B各带来2个单位的得益，就是上述路径终端处得益数组中的数字。因此，在一个动态博弈中，博弈的结果包括双方（或多方）采用的策略组合、实现的博弈路径和各博弈方的得益三个方面。

显然，动态博弈在策略和博弈结果方面的特点与静态博弈相比有很大的差异。

2．动态博弈的不对称性特征

在动态博弈中，由于各个博弈方的行为选择有先后次序，且后选择的博弈方能观察到此前先选择行为博弈方的选择行为，因此动态博弈中各博弈方在地位上具有不对称性，先选择的人可能得到的好处，比其他后选择的人得到的好处要多，我们把这种情况叫做“先动优势”（First Move Advantage）。这一点与所有博弈方一次性同时选择的静态博弈也明显不同。

此外，在动态博弈中，各个博弈方关于博弈的信息也是不对称的。一般来说，由于后选择的博弈方有更多的信息帮助自己选择行为，可减少他们决策的盲目性，有针对性地作选择，因此在信息方面处于较有利的地位，其所得到的好处，可能比其他先选择的人得到的好处要多，我们把这种情况叫做“后动优势”（Second Move Advantage）。不过，后行为和具有较多信息未必一定较先行动和具有较少信息的博弈方有利。对单人博弈，也即个人最优化决策问题来讲，占有信息越多对决策者来说越有利，但对两人以上的博弈问题来说，信息较多的博弈方有可能受损。事实上，也正是由于博弈论能够揭示现实中诸如“信息多反而得益少”，“后选择未必有后发优势”等表面上不合常规现象的存在及其根源，才使得博弈论成为一种得到广泛传播并为人们所喜欢的理论。

第二节　逆向归纳法

在分析逆向归纳法之前，我们先来分析动态博弈中的可信性问题。

一、动态博弈中的可信性（Credibility）问题

动态博弈的核心问题之一是可信性问题。我们知道动态博弈中博弈方的策略是他们自己预先设定的、在各个博弈阶段针对各种情况的相应行为选择的计划，这些策略实际上并没有强制力，而且实施起来有一个过程，因此只要有符合博弈方自己眼前利益的机会，他们完全可以在博弈过程中改变计划。这种情况叫做动态博弈中的“相机选择”（Contingent Play）问题。相机选择的存在使得博弈方的策略中，所设定的各个阶段、各种情况下可能会采取的行动或策略的“可信任”（Credibility）有了疑问。也就是说，各个博弈方是否会真正、始终按照自己的策略所设定的方案行动，还是可能临时改变自己的行动方案呢？这使得动态博弈分析比静态博弈分析要复杂得多。

例如，假设在可能的策略中包括具有“威胁”（Threat）性质与“承诺”（Promise）性质的策略，美国和中国在我国台湾问题上的博弈是具有“威胁”性质的策略；而在国际核武器问题上，一些国家承诺“不首先使用核武器”就是一种具有“承诺”性质的策略。

作为可信性问题的一个例子，我们考虑以下一个所谓的“手雷博弈”问题。

例1　“手雷博弈”

某投资人A投资一价值6万元的项目时缺少2万元资金，而某人B此时有2万元闲置资金可以投资。A希望B将2万元资金借给自己，并答应在年终赚到钱后和B对半分成，B是否该将钱借给A呢？假设投资该项目肯定可以赢利，则B最担心的就是A赚钱后是否会真的与自己平分利润，因为如果A赚钱后不仅不和B平分，而且还卷款潜逃，B就会连自己的本钱都收不回来。我们用图3.2中的扩展形表示这个博弈问题。

图3.2中最上方的圆圈表示B的选择信息集或称选择节点（Node），B在此处有“借”和“不借”两种可能的行为选择，“借”和“不借”就是B的策略集。如果B选择“不借”，则博弈结束，他可以无顾虑地继续拥有2万元本钱，而A则不能投资得到6万元的利润；如B选择“借”则博弈进行到A的选择信息集，轮到A开始选择。甲在选择节点也有两种可选择的行为，分别是“分”与“不分”，同样，“分”与“不分”就构成A的策略空间。不管A选择“分”还是“不分”博弈都自动结束。A选择“分”则两方获益，A得到3万元的投资利润，而B的2万元本钱也增值成了3万元。若A选择“不分”则独吞6万元，B一无所有。图3.2中三个终端处的数组，表示由各博弈方各阶段行为依次构成的，到达这些终端的“路径”所实现的各博弈方的得益，第一个数字是B的得益，第二个数字是A的得益。

图3.2

在该两阶段动态博弈中，B决策的关键是要判断A的许诺是否可信。根据前面所说的博弈方都是以自身得益最大化为目标的理性人准则，A在决策时的选择应该是“不分”，独吞6万元利润，实现自己的利益的最大化；B清楚自己借钱给A后所可能面临的风险，因此他不会被A的不可信的承诺所迷惑，知道一旦借钱给A，A在年终赚钱后不会跟自己平分，因此B最合理的选择是“不借”而不是“借”，保住自己的本钱，实现自己利益的最大化。此时对B来说，本博弈中A的许诺是不可信的。

显然有不可信的许诺，A、B的合作最终成为不可能，这时对A、B两方来说都不是最佳结果，那么，有没有办法使A的许诺变成可信的，从而使B愿意选择“借”，然后A遵守诺言选择“分”，最终实现双方的最佳利益呢？

在图3.2的博弈中，B威胁在A违约时，“打官司”保护自己的利益。由于打官司也要产生成本，因此我们假设打官司的结果是B能收回本钱2万元，而A则会失去全部收入。这样博弈就成为图3.3中扩展型所表示的两博弈方之间的三阶段动态博弈。

图3.3

有没有这个第三阶段，博弈的结果完全不同。当博弈进行到第三阶段，即A选择“不分”时，B可以选择“打”官司来讨回公道。如果B选择“不打”官司，则独吞6万元，B什么好处也没有。当B选择“打”官司时，则能收回自己的2万元本钱，B“打”官司的得益比“不打”官司的得益大，因此B的惟一选择是“打”官司。对A来说，他完全清楚B的上述思路，知道B“打”官司的威胁是可信的，因此A符合个体理性的选择是“分”而不是“不分”，双方共享利益，各得3万元。也就是说，这时A的“分”的许诺成了可信的诺言，即B在增加对A的一个法律约束条件之后，自身的利益受到法律保障，A的“分”钱许诺就变成可信的许诺。这时，B在第一阶段就可以放心大胆地选择“借”了。博弈结果是B在第一阶段选择“借”，A在第二阶段选择“分”，从而结束博弈，双方各得到得益3，皆大欢喜。此时B的完整策略是“第一阶段选择‘借’，若第二阶段A选择‘不分’，第三阶段选择‘打’，即打官司”，A的完整策略就是“第二阶段选择‘分’”。这就是这个三阶段动态博弈的解。

现在我们假设B威胁的不是“打官司”，而且威胁使用“手雷”炸死A，即B威胁在A选择“不分”时，将用“手雷”炸死A，此时得益图为图3.4所示的扩展型。图3.4中得益矩阵的意义是，在第三阶段B选择“炸”不仅不能收回自己的本钱，而且要付出10万元的损失，假如在爆炸中自己也受伤，要花费10万元的医疗费。当然A也受伤，付出同样的代价。

假如第三阶段B选择“炸”以后的得益，确实如图3.4所示，那么这时候B在第三个阶段“炸”的威胁对A来说，就不再是可信的了，是一种“不可信的”（Incredible）的“空头威胁”（Empty Threats）。因为这时候B“炸”虽然让A遭到了10万元的损失，但B自己也受到10万元的损失，而“不炸”只损失掉2万元本钱，理性的B此时是不可能选择“炸”的。如果A清楚B的这种心理，虽然他在第二阶段选择时会考虑如果第三阶段B“炸”对自己很不利，但对B第三阶段“炸”的威胁仍然会无所顾忌，最终他仍然会选择“不分”。因为他知道B第三阶段“炸”的威胁并不是可信的，这样他在第二阶段“分”钱的许诺自然也就不可信了。现在再回到第一阶段B的选择，B现在很清楚，只有选择“不借”才是保险的。因为一旦借给A，那么基本上可以肯定A不会遵守诺言，而且自己到时候还会落得个两败俱伤，名誉扫地。

图3.4

显然“手雷博弈”这一动态博弈可以表示为（两阶段）：

（1）博弈方B从可行策略集A中选择一个行动a_1，即从“借”和“不借”之中进行选择。

（2）博弈方A观察到a_1之后从可行策略集A_2中选择一个行为a_2，即从“分”与“不分”中进行选择。

（3）双方的收益分别为u_1（a_1，a_2）和u_2（a_1，a_2）。

通过上面的分析，我们知道了可信性问题在动态博弈问题中的重要性，虽然有时候一些博弈方声称将采取什么样特定的行动，以影响和制约其他博弈方的行为，但如果这些行动缺乏以经济利益为基础的可信性，那么这些想法或声明最终就是不可信的，不会有真正的效力。因此，可信性问题是动态博弈分析的一个中心问题，需要对它十分重视。

二、逆向归纳法（Backwards Induction Method）

1．纳什均衡的问题

在手雷博弈的例子中，我们发现动态博弈中的博弈过程是一个相机行事的过程，即在动态博弈中，各博弈方是在“等到”博弈到达自己的策略空间后再决定如何行动。这种相机选择引出了动态博弈中的一个中心问题，即可信性问题；而可信性问题最重要的意义，在于它对纳什均衡在动态博弈分析中的有效性提出了质疑。

我们知道，在静态博弈中，纳什均衡具有良好的稳定性，即各博弈方都没有动力去改变这一策略组合。由于纳什均衡具有稳定性，各博弈方能够一致预测到该均衡的最终形式，即各博弈方似乎是在博弈开始之前就制定出一个完全的行动选择计划。但在动态博弈中，由于相机行为的存在，并进而导致不可信问题，这样就使得动态博弈下的纳什均衡可能会缺乏稳定性。

纳什均衡在动态博弈中可能缺乏稳定性的根源，正是在于它不能排除博弈方策略中所包含的不可信的行为设定，不能解决动态博弈的相机选择引起的可信性问题。纳什均衡概念的这种缺陷，使得它在分析动态博弈时往往不能作出可靠的判断和预测，其作用和价值受到很大限制，也使得我们必须考虑引进更有效的分析动态博弈的概念和方法。这些概念和方法在动态博弈分析中除了要符合纳什均衡的基本要求以外，还必须满足另一个关键的要求，那就是必须能够排除博弈方策略中不可信的行为设定，也就是各种不可信的威胁和承诺，从而保留“合理”的或者稳定的纳什均衡，进而排除掉“不合理”或不稳定的纳什均衡。只有满足这样要求的均衡概念在动态博弈分析中才有真正的稳定性，才能对动态博弈作出有效的分析和预测。这就是我们下面及后面要介绍的逆向归纳法及子博弈纳什均衡理论。

2．逆向归纳法

在博弈论中，经常用“可置信”和“不可置信”来区分博弈者选择的策略。在对动态博弈的分析中，我们会分析什么样的策略是可置信的，什么样的策略是不可置信的，而分析“威胁”或“承诺”是可置信的还是不可置信的方法就是“逆向归纳法”（Backwards Induction）。

在“手雷博弈”中，我们采用了一种分析动态博弈的有效方法，即从动态博弈的最后一个阶段博弈方的行为开始分析，逐步倒推回前一个阶段相应博弈方的行为选择，一直到第一个阶段的分析方法，这种分析方法称为“逆向归纳法”，又称倒推法（Rollback Method），它是从博弈的最后一个决策阶段开始分析，确定该阶段局中人的策略选择；然后再确定前一阶段局中人的策略选择，一直倒推到起始点。

逆向归纳法的特征是：博弈行为是顺序发生的。先行动的理性的博弈方，在前面阶段选择行为时必然会先考虑后行动博弈方在后面阶段中将会怎样选择行为，只有在博弈的最后一个阶段选择的，不再有任何后续阶段影响的博弈方，才能直接作出明确选择；后面的行动者在进行行为选择前，所有以前的行为都可以被观察到，而当后面阶段博弈方的选择确定以后，前一阶段博弈方的行为也就容易确定了。

逆向归纳法的一般方法是这样的：博弈分析从动态博弈的最后一个阶段开始，每一次确定出所分析阶段博弈方的策略选择和路径，然后再确定前一个阶段的博弈方的策略选择和路径。当逆推归纳到某个阶段时，这个阶段及以后的博弈结果就可以肯定下来，该阶段的选择节点等于一个结束终端。不断重复上述逆向递推过程，直至第一阶段，最后得到各博弈方在不同阶段的策略选择及其行为路径组合。

逆向归纳法实质上就是各阶段动态规划的库恩算法。因此，了解运筹学中动态规划理论的人，再来了解这里的逆向归纳法的特征和方法步骤就非常容易了。

对于图3.4所示的“手雷博弈”来说的逆向归纳法的第一步是先分析第三阶段B是否“炸”的选择，由于“炸”比“不炸”损失更大，他必然会选择“不炸”。因此一旦博弈进行到这个阶段，结果必然是B选择“不炸”，双方得益为（0，4）。所以在分析前两个阶段的博弈时，上述三阶段博弈与图3.5中的两阶段博弈是完全等价的。

图3.5

如果我们对上述两阶段博弈继续运用逆向归纳法，则可知A在第二阶段的选择必然是“不分”，因此该博弈可进一步化为图3.6中的等价博弈。

最后得到的这个等价博弈已经只是一个单人博弈了，分析这个单人博弈非常简单，B“不借”的选择是很显然的（见图3.6）。

图3.6

我们知道，动态规划的库恩算法是通过逆向求解，把一个多阶段动态规划问题“分解”为一个个单阶段的优化问题，通过求解每一个单阶段的最优解，来得到整体规划的最优解。同样，在动态博弈中，逆向归纳法也就是把多阶段动态博弈化为一系列的单人博弈，通过对一系列单人博弈的分析，确定各博弈方在各自选择阶段的选择，最终对动态博弈结果，包括博弈的路径和各博弈方的得益等作出判断，归纳各个博弈方各阶段的选择则可得到各个博弈方在整个动态博弈中的策略。

例2　“使用核武器”博弈

上面我们通过“手雷博弈”分析了“威胁”策略是否可信，下面我们来看“承诺”策略的可信性问题。在国际核武器问题上，“不首先使用核武器”的承诺可信吗？如图3.7所示。

图3.7

显然，这个承诺可信的前提条件是战争只是针对常规战争而言，即：只要大家都运用常规武器进行战争，那么承诺者将不首先使用核武器。在常规战争下不涉及国家生死存亡的时候，这个承诺是可信的。因为如果承诺者首先使用核武器，将使他国也对它使用核武器，它会因首先使用核武器而带来更大的灾祸从而失败；不使用核武器，凭借自身的力量，最终还可能取得胜利。但是，如果在非常规战争中某国面临着被消灭的危险时，在这种情况下，使用核武器有可能挽救这个国家，取得胜利；而不使用，则该国肯定失败，即使用的好处大于不使用的好处，此时，这个承诺将是不可信的。

例3　“抓钱博弈”（Grab the Dollar）

现在我们来分析下面的“抓钱博弈”。这个例子说的是，桌子上放2块钱，桌子的两边坐着甲和乙两个博弈方，如果两人同时去抓钱，每人各得1块钱；如果只有一人去抓，抓的人全部得到2元钱；如果没有人去抓桌子上的钱，则还有其他的抓钱机会，抓钱博弈进入下一个阶段，直到进行四个阶段后结束。因此，每个博弈方有两个策略选择：（1）决定抓桌子上放的钱；（2）抓其他的钱。以下是两个博弈方进行的博弈，共有“利益一致”、“你死我活”和“温和对抗”三种情况，如图3.8所示。每个博弈方都有两种选择，第一个博弈方选择策略1的时候，第二个博弈方有两个选择。第一个博弈方选择策略2的时候，第二个博弈方也有两个选择。

（1）“利益一致”的“抓钱博弈”

在“利益一致”的博弈中，第4阶段由博弈方乙决策：乙如果拿，只能得到得益4，而如果不拿，则进入下一节点，得到得益5，所以博弈方乙的策略是选择不拿。

于是博弈推回到第3阶段，由博弈方甲来决策。同样，在第3阶段，博弈方甲的策略是选择“不拿”。所以，该博弈的均衡是：在前面几个阶段，博弈方甲和乙都选择“不拿”，直到进入最后的阶段，每人得到最佳的得益组合（5，5），该得益组合也是该博弈中最好的结果，因此，称为“利益一致”。

（2）“你死我活”的“抓钱博弈”

在“你死我活”的博弈中，在第4阶段，博弈方乙如果选择不拿，则进入最后的节点，得到0的支付；而如果选择拿，则得到8的支付，于是，选择拿，博弈结束。

于是博弈推回到第3阶段，博弈方甲知道乙会在下一阶段选择拿，因此，自己在本阶段的最优选择也是拿，一直倒推回到起点。本博弈的均衡是：博弈方甲一开始就选择拿，博弈结束，得益组合为（2，0）。在该种情况下，二者为了自身利益的最大化，进行着你死我活的斗争。

图3.8

（3）“温和对抗”的“抓钱博弈”

在“温和对抗”的博弈中，第4阶段由博弈方乙选择，若乙选择拿，则得到得益5；若选择不拿，则得到得益4，所以，博弈方乙的最优选择是拿，博弈结束。到第3阶段，博弈方甲知道博弈方乙在第4阶段会选择拿，甲若选择不拿，博弈进行到第四阶段，只能得到3，而选择拿，则得到4。所以，博弈方甲的最优选择也是拿，博弈结束。本博弈的均衡也是：甲一开始就选择拿，博弈结束，得益组合为（2，0）。

从上面几个例子的分析中，我们发现，由于逆向归纳法中的各个博弈方在各阶段选择时，是建立在后续阶段各个博弈方理性选择基础上的，排除了包含不可信的威胁或承诺的可能性，因此它得出的结论是比较可靠的，最后得到的各个博弈方的策略组合具有稳定性，这样就排除了“不合理”的纳什均衡。逆向归纳法是动态博弈分析中使用得最普遍的方法，在分析完全且完美信息动态博弈中非常有用。

第三节　子博弈和子博弈精炼纳什均衡

逆向归纳法解决了求解动态博弈方法上的问题，但并不是全部，后面还将讨论该方法。然而，要排除动态博弈中的“不合理”纳什均衡，静态博弈中的纳什均衡概念已经不能胜任动态博弈分析的要求。塞尔顿（Selten，1965）第一个论证了在一般的动态博弈中，某些纳什均衡比其他的纳什均衡更加合理，这就是“子博弈精炼纳什均衡”（Subgame Perfect Nash Equilibrium）。塞尔顿提出的“子博弈精炼纳什均衡”正是满足上述需要的博弈均衡概念。下面我们就来介绍这个均衡概念和以这个均衡概念为核心的动态博弈分析。

一、子博弈（Subgame）

由博弈中某一个阶段开始的后续博弈叫做一个子博弈。实际上，从一个博弈任何一个节点开始一直到博弈结束都可以看做一个子博弈。要了解子博弈精炼纳什均衡首先必须了解什么是“子博弈”（Subgame）。我们仍然用图3.9中的三阶段“手雷博弈”来说明什么是子博弈。

图3.9

在该博弈中，如果B在第一个阶段选择了“借”，意味着这个动态博弈进行到了A作选择的第二阶段。此时A面临的是一个在B已经借钱给他的前提下，自己选择是否分钱，然后再由B选择是否炸的两阶段动态博弈问题，很显然这本身也构成一个完整的动态博弈。我们称这个包含在原三阶段博弈中的两阶段动态博弈为原博弈的一个“子博弈”，它就是图3.9中虚线框中的部分。下面我们给出“子博弈”的定义。

子博弈定义：由一个动态博弈第一阶段以后的任一阶段开始的后续博弈阶段构成的，包含有初始信息集和进行博弈所需要的全部信息，能够自成一个博弈的原博弈的一部分，称为原动态博弈的一个“子博弈”。

也就是说，一个“子博弈”必须拥有第一章所介绍的博弈构成要素中的所有要素，即博弈方、策略、行动、顺序、得益、信息等。其关系如同集合中的集与子集的关系。

显然，图3.9中虚线框中的部分完全满足这个定义，是这个三阶段博弈的一个子博弈。

按照子博弈的定义，我们还可以进一步讨论这个子博弈的子博弈问题。在“手雷博弈”的子博弈中，当A选择不分，轮到B选择“炸”还是“不炸”的第三阶段，就是这个子博弈的子博弈，我们称后面这个子博弈为原博弈的“二级子博弈”。图3.10中外、内两层虚线框分别表示手雷博弈的两级子博弈。此时这个两级子博弈已经是一个单人博弈，不可能再有子博弈了。

图3.10

子博弈在动态博弈中是很普遍的，完美信息多阶段动态博弈基本上都有一级或多级子博弈。例如图3.1的仿冒和反仿冒博弈中，A第一阶段选择仿冒以后，接着B选择是否制止，以及双方的后续反应，也构成一个子博弈。由于这个子博弈本身是一个三阶段动态博弈，因此它还有子博弈，分别是B选择不制止后A选择是否继续仿冒及B是否制止的第二级子博弈，以及第三阶段A选择继续仿冒以及B选择是否制止的第三级子博弈。

不过，并不是动态博弈的任何部分都能构成子博弈，也不是所有多阶段动态博弈都有子博弈。首先子博弈不能包括原博弈的第一个阶段，这也意味着动态博弈本身不会是它自己的子博弈。这与集合的特点是不一样的。其次子博弈必须有一个明确的初始信息集，以及必须包含初始阶段之后的所有博弈阶段，这意味着子博弈不能分割任何信息集，也意味着在有多节点信息集的不完美信息博弈中可能不存在子博弈等。

二、子博弈精炼纳什均衡（Subgame Perfectness）

在动态博弈中，博弈者的行动有先后顺序，后行动的博弈者在自己行动之前就可以观察到先行动者（博弈者）的行为，并在此基础上选择相应的策略。而且，由于先行动的博弈者拥有后行动的博弈者可能选择策略的完全信息，因而先行动者在选择自己的策略时，就可以预先考虑自己的选择对后行动者选择的影响，并采取相应的对策。有了子博弈概念，下面我们就介绍动态博弈的“子博弈精炼纳什均衡”概念。这里先给出“子博弈精炼纳什均衡”的定义。

子博弈精炼纳什均衡定义：如果在一个具有完美信息的动态博弈中，各博弈方的策略构成的一个策略组合在整个动态博弈及它的所有子博弈中都构成纳什均衡，那么这个策略组合称为该动态博弈的一个“子博弈精炼纳什均衡”。

对于子博弈精炼纳什均衡的这一特点，我们可以用一个形象化的比喻来加以说明。某一个人500年前的祖宗（子博弈精炼纳什均衡），是从500年以来到他本人（子博弈之一）为止的前面任何一代人（子博弈之一）的祖宗，而不只是其中某几代人（子博弈之一）的祖宗。他本人又成为他后面任何一代人（子博弈之一）的祖宗。

因为任何博弈都可能有它自身的一个子博弈，因而一个子博弈精炼纳什均衡的策略组合肯定是纳什均衡。如果某博弈的惟一子博弈就是其本身，那么子博弈精炼纳什均衡和纳什均衡就是一样的。如果还有其他子博弈，则说明有些纳什均衡并不是子博弈精炼纳什均衡。子博弈精炼纳什均衡与纳什均衡的根本不同之处，就是子博弈精炼纳什均衡能够排除均衡策略中不可信的威胁或承诺，排除“不合理”、不稳定的纳什均衡，只留下真正稳定的纳什均衡，即子博弈精炼纳什均衡。这正是我们引进子博弈精炼纳什均衡概念的原因。子博弈精炼纳什均衡之所以能排除动态博弈相机选择策略组合中的不可信行为，是因为它要求该行为下的策略选择所形成的均衡必须在所有子博弈中都是纳什均衡，这就排除了其中存在不可信行为选择的可能性，从而使留下的均衡策略在动态博弈分析中具有真正的稳定性。

还是以图3.4的“手雷博弈”为例，我们看这样一个策略组合：B在第一阶段选择“借”，在第三阶段选择“炸”；而A在第二阶段选择“分”。虽然该策略是整个博弈的一个纳什均衡，但这个策略组合中B的策略要求B在第三阶段单人子博弈中选择的“炸”策略不是该单人子博弈的一个纳什均衡，因为该单人子博弈的最优解，应该是“不炸”，否则B就是非理性的。因此根据子博弈精炼纳什均衡的定义，这个策略组合就不是一个子博弈精炼纳什均衡。这也正是我们在前面分析该纳什均衡策略组合是不稳定的均衡的根本原因。

看另一个策略组合：B在第一阶段选择“不借”，如果有第三阶段选择则选“不炸”；甲如果有第二阶段选择则选“不分”。该策略组合显然就是该博弈的子博弈精炼纳什均衡。因为该策略组合的双方策略不仅在整个博弈中构成纳什均衡，而且在两级子博弈中也都构成纳什均衡，从而不存在任何不可信的威胁或承诺，子博弈中也都构成纳什均衡，从而不存在任何不可信的威胁或承诺，根据子博弈精炼纳什均衡的定义，该策略组合构成这个动态博弈的一个子博弈精炼纳什均衡。这是该动态博弈惟一的子博弈精炼纳什均衡，因此也是这个博弈的真正稳定的均衡。

其实在图3.4所示的“手雷博弈”中，当两个博弈方按照上述子博弈精炼纳什均衡策略组合行动时，根本不会进行到博弈的第二、第三阶段，两个博弈方在第二、第三阶段的行为实际上不会发生。

我们继续以房地产开发的例子，来讨论子博弈精炼纳什均衡。图3.11给出了静态条件下双方参与人的得益情况。

图3.11

从图3.11可以知道，该博弈有2个纳什均衡，即（A开发，B不开发）和（A不开发，B开发），我们无法确定是开发商A选择开发，开发商B选择不开发，还是恰恰相反的结果。

现在，我们讨论动态博弈。假定房地产开发商A是先行动者。在行动之前，开发商A对对手开发商B的策略进行了预测。在行动开始之前的A看来，如果不计得失，B有四种策略可供选择：

策略1：无论A是否选择开发，B选择开发。

策略2：若A选择开发，B也选择开发；若A选择不开发，B也选择不开发。

策略3：若A选择开发，B就选择不开发；若A选择不开发，B就选择开发。

策略4：无论A是否选择开发，B都选择不开发。

在图3.12的基础上，结合A先行动，B可能选择的4种策略，不难得出下面的得益矩阵。

图3.12

由图3.12可以看出，在开发商A先行动的情况下，开发商B可供选择的策略中，策略1只包括了上述两个纳什均衡中的后一种均衡，即（A不开发，B开发），而没有包括前一种纳什均衡，即（A开发，B不开发）；在策略2中，上述两种纳什均衡都没有包括；策略4只包括了上述两种纳什均衡中的前一种均衡，即（A开发，B不开发），而未包括后一种纳什均衡，即（A不开发，B开发）；只有策略3既包括了上述两种纳什均衡中的前一种均衡，又包括了后一种均衡。也就是说，如果B选择策略3，那么，无论A作出什么选择，B的回应都能达到纳什均衡。反过来，在给定B会选择策略3来回应A的选择的前提下，开发是A的占优选择。因此，A一定会选择开发。

以上的分析，就是子博弈精炼纳什均衡解的过程。策略（A开发，B不开发）就是上述子博弈精炼纳什均衡解。

从上面的分析中我们可以看到，子博弈精炼纳什均衡本身也是纳什均衡，只是比纳什均衡更强的均衡概念。而且，子博弈精炼纳什均衡在动态博弈分析中的地位与纳什均衡在静态博弈分析中一样，是最核心的分析概念和基本着眼点。对动态博弈进行有效分析时，首先必须找出它们的子博弈精炼纳什均衡，必须判断一个策略组合是不是子博弈精炼纳什均衡。求完美信息动态博弈子博弈精炼纳什均衡最基本的方法，正是前面介绍的逆向归纳法。有了子博弈和子博弈精炼纳什均衡概念，以及逆向归纳法，我们就可以对一个动态博弈进行有效的分析。逆向归纳法事实上可以理解为，博弈是从动态博弈的最后一级子博弈开始的。

为了加深大家对子博弈精炼纳什均衡概念的理解，这里我们再来看一个关于猴子和窃贼的寓言故事。

一个笼子里关着一群猴子，主人每隔一天就要打开笼子抓一只猴子去杀掉。每次当主人来到笼子面前时，猴子们都很紧张，它们不敢有任何举动，怕因此引起主人的注意而被主人选中杀掉。当主人把目光落在其中一只猴子身上时，其余的猴子就希望主人赶快决定。当主人最终作出决定时，没有被选中的猴子非常高兴。那个被选中的猴子拼命反抗，其余猴子在一旁幸灾乐祸地观看，这只猴子被杀掉了。这样的过程日复一日地进行着，最终猴子全部被宰杀掉了。如果这群猴子群起而攻之，有可能会逃掉，但每只猴子不知道其余的猴子是否会和它一起反抗，它怕自己的反抗会引起主人的注意而被主人选中宰杀掉。

在现实社会中，窃贼在公共场所（比如公共汽车上）偷东西时，车上的乘客看到了，但不敢吭声。没有被偷的人想，反正被偷的人不是我，我反抗了，我得不到任何好处，反而遭到伤害；而不反抗虽没有得益，但也没有损失，我何必要反抗呢？这就是众目睽睽之下的偷窃行为为什么总能成功的原因。

窃贼在偷东西时发出这样的信号：如果谁反抗，将殴打谁。乘客想，窃贼的威胁是可信的：因为如果个别乘客反抗，而窃贼不殴打该乘客的话，就会有更多的乘客抓窃贼，窃贼将有可能被抓，因此窃贼必然殴打反抗的乘客。乘客的策略及可能的支付为：反抗，有可能被殴打甚至受伤；不反抗，无所得也无所失。这一博弈过程为：对于乘客来说，窃贼的威胁是可信的，因而乘客的最优策略是“不反抗”；而对于窃贼来说，乘客“不反抗”下的“不殴打”策略为最优。这一博弈的结果是，窃贼偷东西时“乘客不反抗，窃贼不敢打”，这是一个“子博弈精炼纳什均衡”。

第四节　动态博弈模型

下面我们介绍几类有代表性的动态博弈模型。

例1　斯塔克博格（Stackelberg）双寡头模型

斯塔克博格（Stackelberg）模型是一个双寡头动态模型，我们在第二章中已经介绍过。该模型假设寡头市场上有两个企业，与古诺模型一样，这两个企业的决策内容也是产量。在这两个企业中，其中一个企业处于支配地位，先行动进行产量选择，另一个企业处于从属地位，在支配企业选择产量之后再进行选择，因此这是一个动态博弈问题。我们再假设博弈结构的其他方面，如策略空间、得益函数和信息结构等，与两寡头连续产量的古诺模型也都一样，因此这个斯塔克博格模型是一个完全且完美信息的动态博弈。与古诺模型的惟一区别只是两博弈方的选择现在是先后进行的而不是同时进行。

斯塔克博格双寡头博弈的顺序如下：企业1首先选择产量q_1≥0，企业2观察到q_2≥0，于是企业i（i＝1，2）的收益由下面的得益函数给出：ui（qi，qj）＝qi[p（Q）－c]，其中p（Q）＝a－Q为市场出清时的价格。Q＝q_1＋q_2，c为企业i的边际成本，为一常数，设企业的固定成本均为零。

我们考虑用逆向归纳法，寻找它的子博弈精炼纳什均衡，为求解出这一精炼纳什均衡，我们首先计算企业2对企业1任意产量的最优反应。设企业1、2的最优产量分别为，，于是有：

由该式关于q_2求导，并令其为0可得：。R_2（q_1）是企业2对企业1已观测到的产量的现实反应。

由于企业1同样能够像企业2一样解出企业2的最优反应，企业1就可以预测到他如果选择q_1，企业2将根据R_2（q_1）选择产量。企业1在开始选择时（博弈的第一阶段），企业1要考虑的问题就可表示为：

求极值得：

即为该博弈的子博弈精炼纳什均衡解。

为了便于大家理解，设价格函数为P＝P（Q）＝8－Q，两企业的边际生产成本为c_1＝c_2＝2，没有固定成本。

根据上述假设，两企业的得益函数分别为：

和

它们和相应的古诺模型的得益函数完全相同。

根据逆向归纳法，先分析第二个阶段企业2的决策。在第二阶段企业2决策时，企业1选择的q_1实际上已经决定了，并且企业2知道q_1，因此对厂商2来说，相当于是在给定q_1的情况下求使u_2实现最大值的q_2。对

关于q_2求导并令导数等于0得：

6－2q_2－q_1＝0

即

此即q_2应该满足的条件。企业1知道企业2的这种决策思路，因此在选择q_1时就知道企业2的产量会根据公式（3.1）确定，所以可以直接将（3.1）式代入自己的得益函数，这样企业1的得益函数实际上转化成了他关于自己产量的函数：

令q_1＝，对（3.2）式关于q_1求导，并令导数等于0，可得

即企业1的最佳产量是生产3单位。此时企业2的最佳产量是＝3－1.5＝1.5个单位。此时市场价格为3.5，双方的得益（利润）分别为4.5和2.25个单位。

企业1在第一阶段选择3个单位产量，企业2在第二阶段选择1.5个单位产量，就是运用逆向归纳法分析得出的策略组合，也就是这个动态博弈的惟一的子博弈精炼纳什均衡。

将上述结果与两寡头同时选择产量的古诺模型的结果进行比较，发现斯塔克博格模型除了博弈方的选择次序以外，其他方面都与古诺模型完全相同，但斯塔克博格模型的总产量大于古诺模型，从而市场出清价格低于古诺模型中的市场出清价格。总利润也小于古诺模型，不过其中企业1的得益却大于古诺模型中两个企业的得益，更大于本模型中企业2的得益，而企业2的利润水平却比古诺模型中的要低。最后这一点反映了该模型中两企业所处地位的不对称性的作用，因为企业1具有先行动的主动，且他又了解了理性的企业2必然会根据自己的选择进行理性选择这一特点，从而能通过选择较大的产量得到较多的利益。

例2　企业中的劳资博弈

下面我们再来分析一个里昂惕夫（Leontief）1946年提出的，代表劳资双方的工会和企业之间的博弈模型。该博弈模型假设工资完全由工会决定，但企业却可以根据工会要求的工资高低决定就业的人数，即企业和企业工会之间就工资水平讨价还价，企业自主决定就业水平。

显然，工会是在工资水平与就业数量上与企业进行博弈，不会只追求较高的工资这一目标，而牺牲就业数量，因此，工会代表的劳方效用应该是工资水平和雇用数两者的函数，即u＝u（W，L），其中W和L分别表示工资水平和企业雇用的工人数。

企业的效用以利润来表示，利润是收益和成本之差，这样企业的利润函数为π＝π（W，L）＝R（L）－W×L，也是工资水平和劳动雇用数两者的函数。其中R（L）为企业雇用L名工人可以取得的收入，WL为雇用L名工人所必须支付的总成本，即工资。这里假设生产成本为零。

假设工会和企业之间的博弈顺序为：工会先决定工资水平，企业根据工会提出的工资水平决定雇用人数。为了简便起见，假设工资水平和雇用数都是连续可分的，工会和企业的得益分别是效用函数u（W，L）和利润π（W，L）。

我们用逆向归纳法分析这个博弈。首先分析第二阶段的企业对第一阶段工会选择的工资水平W的反应函数L（W）。设工会提出的工资水平为W，那么企业选择L*（ω）以实现自己的最大得益，就是求解最大值问题：

其一阶条件为R′（L）－W＝0。因此对具体的问题，只要从R′（L）－W＝0中解出L，就是在给定工会选择工资水平W时企业的最优雇用数量。为保证上述一阶条件有解，假定R′（0）＝∞，R′（∞）＝0。

R′（L）－W＝0的经济意义是企业增加雇用人数时的边际收益，也就是企业雇用的最后一个单位劳动力所能增加的收益，恰好等于雇用一单位劳动的边际成本，即支付给工人的工资水平。在收益函数R（L）的图形上反映出来，就是企业取得最大利润的雇佣数L*（W）对应的R（L）曲线上的点的切线斜率一定等于工资率，如图3.13所示。

图3.13

然后回到第一阶段工会的选择。由于工会了解企业的决策方法，因此工会完全会预测对于自己选择的每种工资水平W，企业将选择的雇用数一定是L*（W）。因此，工会需要解决的决策问题变成选择W*，使它满足最大值问题

的解。如果我们给出了工会效用函数的具体形式，就可以通过解这个最大值问题，求出符合工会最大利益的工资率W*。

在经济学中，有关于产量和效用水平的无差异曲线理论。现在，如果我们有对应工会效用函数u（W，L）的W和L之间的无差异曲线，如图3.14所示，若令L不变，当W提高时工会的福利就会增加，于是位置越高的无差异曲线表示工会的效用越高，那么，我们可以通过将企业的反应函数L*（W）画在图3.14上，得出W*的一个图解。显然，与企业的反应函数相切的那条无差异曲线对应的效用，就是工会能实现的最大效用，切点的纵坐标W*正是工会实现这个最大效用必须选择的工资水平，横坐标则是企业对工会W*的最佳反应L*（W*）。因此这个博弈的均衡解就是［W*，L*（W）］，而且是一个子博弈精炼纳什均衡。

图3.14

如果我们对（W*，L*（W*））的效率进行分析，我们将发现它是低效率的，不是帕累托最优点，如图3.15所示。显然，如果W和L处于图中阴影部分以内，企业和工会的效用水平都会提高，一个帕累托最优解满足以下条件：，即企业的等利润曲线的斜率等于工会无差异曲线的斜率。

图3.15

例3　轮流出价博弈（Alternation Offers）

讨价还价（Bargaining）在博弈论中是典型的序贯博弈，是一个不断的“出价”（Offer）和“还价”（Counteroffer）过程，因而是一类典型的动态博弈问题，也是博弈论最早研究的一种博弈问题。下面我们对鲁宾斯泰英（Rubinstein）的轮流出价博弈问题进行分析。

1．三阶段谈判博弈

首先讨论一个三回合谈判博弈。假设有两个人继承了一笔遗产，现在两个人就如何分享这K万元遗产进行谈判。再假设两个人已经定下了这样的谈判规则：首先由甲提出一个分割比例，乙可以接受也可以拒绝；如果乙拒绝则他自己应提出另一个方案，让甲选择接受或拒绝。如此一直进行下去。一个条件一旦被拒绝，它就不再有约束力，并和后面的博弈不再相关。在上述循环过程中，只要任何一方接受对方的方案，博弈就告结束。再设每一次一方提出一个方案和另一方选择是否接受为一个回合，由于谈判费用和利息损失等，双方的利益都要打一个折扣δ（0＜δ＜1），我们称δ为“贴现因子”。如果进一步假设讨价还价最多只能进行三个回合，到第三回合乙必须接受甲的方案，则这个三回合讨价还价博弈可用下述方式清楚地加以描述：

第一回合：甲的方案是自己得S_1，乙得K－S_1，乙可以选择接受或不接受，接受则双方得益分别为S_1和K－S_1，谈判结束，如果乙不接受，则开始下一回合；

第二回合：乙的方案是甲得S_2，自己得K－S_2，由甲选择是否接受，接受则双方得益分别为δS_2和δ（K－S_2），谈判结束，如甲方不接受则进行下一回合；

第三回合：甲提出自己得S，乙得K－S，这时乙必须接受，双方实际得益分别为δ^2S和δ^2（K－S）。

由于上述三回合中双方提出的S_1、S_2和S都可以是0到K之间的任意金额，因此，我们可以认为这个三回合讨价还价博弈中，两博弈方可提出的S_1、S_2和S都有无限多种，是一个无限策略的动态博弈，如果用一个扩展型表示这个博弈，如图3.16所示。

图3.16

下面用逆向归纳法来求解这个博弈。首先分析博弈的第三个回合。在第三回合，因为甲的出价S乙必须接受，根据理性人条件，甲可以选择S＝1，自己独得这笔钱，使自己的利益最大化。不过我们这里排除这一极端情况，仍然把S作为甲在该回合的一般出价。这样当博弈进行到第三回合时，我们知道双方的得益分别为δ^2S和δ^2（K－S）。

现在倒推回到第二回合乙的选择。乙知道一旦博弈进行到第三回合，甲将出S，自己将得δ^2（K－S）而甲得δ^2S。如果乙已经拒绝了第一回合甲的方案，此时他该怎样出价才能使自己的得益最大化呢？显然只有乙出的S_2让甲接受时的收益与拒绝这一出价进入下一阶段时甲的收益无差别（或者不小于第三阶段的收益）时，甲才会接受乙的出价S_2，而这时乙又能使自己的得益比第三回合的得益大，那么这样的S_2就是最符合乙的利益的。也就是当S_2满足δS_2＝δ^2S，即S_2＝δS时，此时乙的得益为δ（K－δS）＝δK－δ^2S。因为0＜δ＜1，因此该得益与进行到第三回合的得益δ^2（K－δS）相比要大一些，这是乙可能得到的最大得益。

最后再回到第一回合甲的考虑。甲一开始就知道第三回合自己的得益是δ^2S，也知道乙会在第二回合出价S_2＝δS，因此进行到第二回合自己的得益也是δ^2S，而乙则会满足于得到δK－δ^2S。因此，如果甲在第一回合的出价S_1使得乙的收益不小于δK－δ^2S，则乙就会接受甲的出价，而这时甲又能得到比δ^2S更大的利益，这样的出价就是甲此时所希望的了。因此只要令K－S_1＝δK－δ^2S，即S_1＝K－δK＋δ^2S时即可实现上述目的。此时乙的得益与到第二回合的利益相同，还是δK－δ^2S，而甲的得益K－δK＋δ^2S则比进行到第二、第三回合的得益δ^2S更大。因此这个博弈在甲第三回合会出S，而且对方必须接受的情况下，甲第一回合出价S_1＝K－δK＋δ^2S，乙方接受，甲、乙双方得益K－δK＋δ^2S和δK－δ^2S，是这个博弈的子博弈精炼纳什均衡解。

注意在本博弈中，上述结论得出的前提是甲在第三回合的出价S必须是双方都预先知道的，也就是说（S，K－S）是外生给定的。如果因为甲在第三回合的方案乙必须接受，因此甲提出S＝1，那么博弈的解就是甲在第一回合出价S_1＝K（1－δ＋δ^2），乙接受，双方的得益为［K（1－δ＋δ^2），K（δ－δ^2）］，在这种情况下，双方获得利益的比例取决于δK－δ^2的大小。δK－δ^2越大，甲的比例越小，乙的比例越大。当δ＝0.5，K＝1时，δK－δ^2有最大值0.25；当0.5＜δ＜1时，δ越大，δK－δ^2越小，甲的得益越大，乙的得益越小；当0＜δ＜0.5时，δ越大，δ－δ^2越大，甲的得益越小，乙的得益越大。这种结果反映了解此博弈时，乙借以讨价还价的筹码就是可以跟甲拖延时间。因为虽然最终甲可以争得全部利益，但拖延时间是会给甲造成损失的，拖延时间对甲造成的损失越大，甲愿意分给乙以求早日结束讨价还价的利益就越大。一般来说，如果0＜δ＜1，均衡结果不仅依赖于贴现因子的相对比率，而且依赖于T的长度和谁在最后出价。因此，该博弈对我们现实经济生活中的谈判具有很好的启发意义。

2．无限期谈判博弈

虽然我们在三回合谈判博弈分析中谈到乙可以采取拖延战术来获取较多的利益，但博弈一旦真的被拖入无限期阶段，其最终的结果会变得非常复杂。下面我们就来分析无限期的谈判博弈。无限期谈判博弈在第三回合并不会强制结束，只要双方互不接受对方的出价方案，则博弈就要不断进行下去，奇数期由甲出价，偶数期由乙出价，无限期谈判博弈中同样有一个消耗系数δ。

我们仍然希望能够用逆向归纳法来分析这一无限期谈判动态博弈，然而由于无限期谈判博弈没有一个可以借以分析的最后期，因此逆向归纳法无法直接应用。1984年夏克德（Shaked）和萨顿（Sutton）提出了一种解决这类博弈问题的思路。对一个无限期回合博弈，从第三阶段开始（如果能到达第三阶段的话）与从第一阶段开始的整个过程的博弈，其结果都是一样的。这样我们就可以把无限期博弈变成一个有限期博弈，并应用对有限期博弈分析的思路和方法进行分析。在无限期谈判博弈中，不管是从第一阶段开始还是从第三阶段开始，都是先由甲出价，然后双方交替出价，直到一方接受为止。

依据上述分析，我们可以先假设整个博弈有一个逆向归纳的解，甲和乙的得益分别为S和1－S，即甲在第一阶段出价S，乙接受时双方的得益。根据夏克德和萨顿的结论，从第三阶段开始这个无限期博弈，与从第一期阶段开始应该得到一样的结果，因此上述逆向归纳的解也应该是从第三期阶段开始的博弈的结果。也就是说，第三阶段也应该是甲出S，乙接受，双方得益S和1－S，而且这个结果是最终结果。

设S*为甲在无限期谈判博弈中可能得到的逆向归纳解下的最大收益。依据夏克德和萨顿的结论，可以设想S*也是甲在第三阶段的收益，则如前所述，这将产生一个新的逆向归纳解。根据前面对三阶段谈判博弈的逆向归纳法的结论可知，甲在第一阶段的收益为S_1。由于S_1＝1－δ＋δ^2S，乙方接受，双方得益（1－δ＋δ^2S，δ－δ^2S）。由于S*是第三阶段可能达到的最大收益，S_1也就是第一阶段可能达到的最大收益，但同时S*又是第一阶段可能达到的最大收益，于是有S*＝S_1，亦即有S*＝S_1＝1－δ＋δ^2S*，从这个方程中可解得S*＝，即在这个无限期谈判博弈中，均衡的结果是甲在第一阶段出价S*＝，乙接受并获得1－S*＝。也就是该无限期谈判博弈的子博弈精炼纳什均衡解。

第五节　动态博弈中的同时选择行为

到目前为止，我们讨论的都是纯粹的静态博弈和纯粹的动态博弈，但是有一些博弈，它们在总体上表现为动态博弈，然而在博弈模型的某个或某些阶段又存在博弈方的同时选择行为。这种类型的博弈问题在现实经济中是很多的，例如在伯特兰德寡头竞争模型中有2个或更多追随厂商，同时决定产量的情况以及下面将要介绍的对银行的挤提、关税和国际市场竞争等都是这一类博弈中典型的例子。现在我们就来考虑在动态博弈模型有同时选择行为的问题，这里主要讨论较为简单的有同时选择的两阶段动态博弈模型。

一、模型表示

我们先给出此类博弈的模型表示方式，它包括以下几个方面的假设：

1．博弈中有四个博弈方，分别称为博弈方1、博弈方2、博弈方3和博弈方4。

2．第一阶段是博弈方1和博弈方2同时在各自的可选策略（行为）集合A_1和A_2中分别选择策略或行动a_1和a_2。

3．第二阶段是博弈方3和博弈方4在看到博弈方1和博弈方2的选择a_1和a_2以后，同时在各自的可选策略（行为）集合A_1和A_2中分别选择策略或行动a_3和a_4。

4．各博弈方的得益都取决于所有博弈方的策略a_1、a_2、a_3和a_4，即博弈方i的得益是各个博弈方所选择策略的多元函数ui＝ui（a_1，a_2，a_3，a_4）。

两阶段有同时选择的博弈仍然是动态博弈，而且仍然有完全和完美信息的特征，因此我们解决此类博弈问题的基本方法仍然是逆向归纳法，核心均衡概念仍然是子博弈精炼纳什均衡。由于存在同时选择，此时从博弈的最后阶段进行逆向归纳的第一步就是求解一个真正的博弈问题，即求解一个静态博弈。此外，子博弈的含义在这里也有所变化，这种模型的子博弈就是第二阶段两博弈方的同时选择，本身就是一个静态博弈。

二、经典模型

例1　银行挤兑模型

银行是现代经济生活中不可或缺的重要组成部分。银行信贷对社会经济发展具有重要的价值，但银行经营又时刻面临着各种巨大的风险，尤其是挤兑风险。这里用一个有同时选择的两阶段博弈模型，对银行信贷业务的本质特征和潜在风险作一些讨论。

设一银行为了投资一项2万元的长期项目，以10％的年利率吸引储户的存款，设项目的投资期为3年，若两个客户各有1万元资金，如果他们把资金作为5年期定期存款存入该银行，那么银行就可以投资长期项目。如果两客户都愿将存款存入该银行，那么银行就可以投资长期项目。如果两客户都不愿存款或只有一个储户存款，那么银行就无法进行投资，此时储户都可以得到自己的本金。

如果两储户都存款，银行能开展上述长期投资项目的情况下，储户在满3年时收回存款，那么银行就能完成此项投资，银行可收回投资的本金和利润率，支付储户的存款本息。但如果在不满3年的时候，一个储户单独或两个储户同时要求提前取出存款，银行就不得不提前收回贷款，因为投资项目无法完成，但此时银行只能收回70％的本钱。若是一个储户要求提前取款，则银行会偿还该储户全部本金，余款则用于偿还另一储户，若两储户同时要求提前取款，则平分收回的资金。

根据上述假设，该银行投资问题可以用一个发生在两个储户之间的，第一阶段同时选择是否存款，第二阶段同时选择是否提前取款的两阶段博弈表示。如图3.17的两个得益矩阵表示。

图3.17

我们用逆向归纳法从后往前来分析这个博弈，首先分析第二阶段两个博弈方的选择。这是一个真正的静态博弈，显然该博弈有两个纯策略纳什均衡：（提前，提前）和（到期，到期）。分别对应得益为（0.7，0.7）和（1.1，1.1），后一个均衡明显优于前一个。根据帕累托上策均衡，我们会判断该博弈的结果是（到期，到期），双方得益为（1.1，1.1），也就是两储户都在到期时去取款，收回本金并获得利息。但若根据风险上策均衡的分析，这种博弈并不能保证实现这种理想的结果。因为只要有一个储户认为另一个储户有提前取款的可能性，那么前者的合理选择就不再是到期取款，而是提前取款，此时就会导致前一个低效率的风险上策纳什均衡。

再回到第一阶段两储户对是否存款进行选择。如果第二阶段的博弈结果是比较理想的（到期，到期）帕累托上策纳什均衡，那么这时候第一阶段的博弈相当于图3.18得益矩阵所示。

图3.18

在这种情况下，第一阶段也有两个纯策略纳什均衡，一个是（不存，不存），另一个是（存款，存款）。这两个纳什均衡中也是后一个帕累托优于前一个，而且后一个还是风险上策均衡，因此显然两储户都会选择后一个均衡，也就是都会选择存款给银行。

如果第二阶段的博弈结果是不理想的（提前，提前）风险上策均衡，意味着出现了储户对银行的挤兑现象。此时，第一阶段的博弈如图3.19的得益矩阵所示。

图3.19

此时，（不存，不存）是两储户的纳什均衡，也是上策均衡，因此两储户都会选择“不存”。这相当于储户不再信任银行，银行系统处于崩溃的情况。但这种情况本身却不会引起银行挤兑的风潮和金融危机，因为在这种情况下客户根本就没有把资金存入银行。

事实上，之所以会出现银行挤兑的可能性，是因为对于客户来说，由于上述两阶段博弈的第二阶段的结果其实是有不确定性的，即他们不能确定在第二阶段的（提前，提前）和（到期，到期）两个均衡中将会确定性地出现哪一个，因此他们在作第一阶段选择的时候，可能以第二阶段将是（到期，到期）纳什均衡为基础，因而选择（存款，存款），但如果第二阶段由于某种谣传引起储户的恐慌，则最终出现的就是（提前，提前）的纳什均衡，即出现了储户挤提存款的情况。

银行挤兑博弈虽然在效率方面也存在一类低效率均衡的状况，不过上述博弈与囚徒的困境还是有差异的，在银行挤兑中还存在一种有效率的均衡结果：第一阶段均选择“存款”，而第二阶段均选择“到期”。而在囚徒困境博弈中，（坦白，坦白）这一低效率的均衡是惟一的，并且是严格占优策略。因此，银行挤兑模型本身还不能预测何时会发生对银行的挤兑，只是显示了挤兑发生的可能。因此，在银行挤兑问题上，只要有权威的政府机构能够保证储户资金的安全或澄清谣言，就可避免严重的银行挤兑风潮的发生及造成严重后果。这也是为什么各国政府要建立信贷保证、保险制度，对存款进行保护、保险的原因。该模型也从另一个方面揭示了银行及社会诚信制度的重要价值。

例2　国际关税竞争模型

现在讨论一个在国际贸易活动中，贸易国之间最优关税的选择问题。设有两个不同的国家，分别称为国家1和国家2，两个国家的政府在本博弈中作为博弈方决定本国进口商品的关税税率。假设两国各有一个企业生产同一种商品供本国市场消费和出口，称为企业1和企业2，可以消费国货，也可以购买进口货。

用Qi表示在国家i市场上的商品总量，则该国内市场的市场出清价格Pi为Pi＝Pi（Qi）＝a－Qi，i＝1，2。设企业i生产的商品中hi供内销，ei供出口，则Qi＝hi＋ej，i，j＝1，2，当i＝1时，j＝2，当i＝2时，j＝1。同古诺模型一样，这里也假设两企业的边际生产成本同为常数c，且无固定成本，则企业i的生产总成本为c（hi＋ei）。当企业出口时，进口国征收的关税就成为它的生产成本，如果国家j的关税率为tj，则企业i的出口总成本为cei＋tjei，国内销售成本为chi。

博弈的先后顺序如下：首先由两国政府同时制定关税率t_1和t_2，然后企业1和企业2根据t_1和t_2同时决定各自用于内销和出口的产量h_1，e_1和h_2，e_2。这就是一个两阶段都有同时选择的四方动态博弈。其中在第一阶段决定关税的两个国家相当于标准模型中的博弈方1和博弈方2，在第二阶段决定内销和出口产量的两国企业相当于标准模型中的博弈方3和博弈方4。

其中，企业作为博弈方的得益是它们的利润额：

国家作为博弈方的得益则是它们所关心的社会总福利，包括消费者剩余、企业利润和国家关税收入三部分：

其中i＝1，2；是国家i国内居民作为消费者的消费者剩余（根据消费者剩余的定义，如果消费者用价格P购买了一件他愿意出价为V的商品，则他得到了（V－P）的剩余。给定反需求函数Pi＝Pi（Qi）＝a－Qi，i＝1，2，如果市场i的销售总产量为Qi＝hi＋ej，i，j＝1，2，则总的消费者剩余为，是根据市场出清价格对应的需求函数导出来的。

我们还是要用逆向归纳法来分析这个博弈，先从第二阶段企业的选择开始。假设两国已选择关税率分别为t_1和t_2，如果（，，，）是在设定t_1和t_2的情况下两企业之间的一个纳什均衡，那么对每一个企业ei和，上述企业i在两个市场上的最大值问题可分为下列一对问题中的两个最大值问题（注意：进行这样分解的前提条件是企业的生产没有固定成本以及边际成本为常数）：

和

假设，由（3.6）式可得

假设，由（3.7）式可得

显然（3.8）式和（3.9）式都是对i＝1，2和j＝2，1成立的，从而我们可得到四个方程的联立方程组。解之可得：

其中i＝1，2和j＝2，1。这就是在设定t_1和t_2的情况下，两企业第二阶段静态博弈的纳什均衡。

在分析第一个阶段博弈之前，我们先对上述结果与古诺模型作一些比较。如果没有关税，本博弈就相当于是国内国外两个市场的古诺模型，两企业在两市场的均衡产量确实都为（a－c）/3，与古诺模型的均衡产量完全一样，该结果是基于两个企业的边际成本相等的条件而得出的。在国际关税竞争模型中，关税的存在使得两企业的边际成本发生了变化。在i国市场上，企业i的边际成本为c而企业j的边际成本为c＋ti。因为企业j的边际成本高于古诺模型的边际成本，因此它必然会少生产一些商品，而企业j少生产市场出清价格又有可能提高，于是企业i可能多生产一些商品。因此，是ti的增函数，而则是ti的减函数，这一关系从方程（3.10）中可以明显看出。这一关系说明一国的关税具有保护本国企业，提高本国企业国内市场占有率，打击外国企业的作用。这也是世界各国普遍设置关税，倾向于提高进口关税的主要原因。

现在我们回到第一阶段两个国家之间的博弈，即两国同时选择t_1和t_2。此时国家1和国家2都清楚两国的企业在两个政府确定t_1和t_2以后，会根据（3.10）式决定均衡产量（），因此两国的得益将为ωi＝ωi（t_1，t_2，）。为了简便起见，我们简单地用ωi（t_1，t_2），i＝1，2来表示上述两国的得益。

对国家i来说，必须满足：

我们把（3.10）式决定的均衡产量（）代入国家i的福利函数，可得：

因此我们令上式对ti的导数在ti＝时为0，可得两方程联立的方程组。解之得：

把该结果代入（3.10）式得：

这就是两企业在第二阶段，已知关税都为（a－c）/3以后的最佳内销和出口产量选择。两企业的总产量都是。因为上面推导出的两个阶段的选择都是纳什均衡，因此肯定不存在任何不可信的承诺或威胁，这是一个子博弈精炼纳什均衡解。

例3　工作竞争模型

工作中如何有效地激励员工在现代市场经济中是一个重要的课题。这方面业已形成的模型也比较多，如著名的委托—代理模型。1981年拉齐尔（Lazear）和罗森（Rosen）提出的一种可称为“工作竞争”的模型，就是在存在相互竞争雇员的前提下，雇主通过让雇员进行竞赛的方法实现有效激励的博弈模型。下面我们介绍这个博弈模型，其基本假设为：

1．一个企业有两个雇员。雇员i（i＝1，2）的产出函数为yi＝ei＋εi，其中ei为雇员i的努力水平，而εi则是随机扰动项。假设雇员付出努力可能产生负效用，如因劳动而生病、受伤等。负效用是e的递增的凸函数g（e），因此g（e）满足g′（e）＞0和g″（e）＞0，即g（e）是上升的凸曲线，其经济意义是负效用随努力程度提高而增大，并且增大的速度不断加快，这是符合实际的心理效用规律的。扰动项ε_1和ε_2相互独立，并服从分布密度为f（ε），期望值为0的概率分布。

2．雇员的产出可以观察到而他们的努力水平却无法观测，因此只能根据雇员的产量来支付其报酬。假设企业为了激励雇员努力工作，而在他们中间开展工作竞争，宣布产量高、业绩好的雇员，将得到较高的工资ωh，而产量低的工人只能得到较低的工资ωl。

3．假设两雇员在已知企业宣布的工资奖金制度的情况下，同时独立选择各自的工作努力程度ei，ei≥0。

很显然，这个博弈模型是一个两阶段有同时选择的动态博弈模型，企业选定ωh和ωl是这个博弈的第一阶段，两雇员在观测到企业选定的工资标准以后同时选择努力程度ei是第二阶段。这个博弈中两雇员得到工资资金并付出努力程度e时的收益函数为u（ω，e）＝ω－g（e）其中g（e）＞0为付出努力时产生的负效用，企业是追求利润最大化的，因此企业的得益函数就是产出减去成本。假设企业的成本就是工资成本，因此企业的得益函数为y_1＋y_2－ωh－ωl。这个模型与前一个问题的主要不同之处是各博弈方的得益有不确定性。但该博弈并不是不完全信息博弈，因为各博弈方不只是相互对其他博弈方的得益不清楚，而是对自己的得益同样也不能确定，因此与博弈方有私人信息，或者故意对其他博弈方隐瞒信息的不完全信息博弈是不同的。在这样的博弈中，只要已知不确定性的概率分布，设定各个博弈方的风险偏好类型，根据期望得益决策，就与一般完全信息的两阶段有同时选择博弈没有区别。

我们同样用逆向归纳法分析这个博弈。假设企业已经选定了ωh和ωl，两个雇员在观测到ωh和ωl后，同时选择自己的努力程度。此时，两雇员面临的是他们之间通过选择努力程度（e_1，e_2）相互竞争的一个静态博弈问题，努力水平（）构成一个纳什均衡。假设两个雇员都是风险中性的，那么每个雇员的纳什均衡策略，也就是给定对方的选择，自己选择的努力程度一定要使自己的期望收益最大化，即必须是下列最大值问题的解：

其中yi＝ei＋εi，i＝1，2，P｛…｝表示括号中不等式成立的概率。该式最大化问题的一阶条件为：

即雇员i所选择的努力程度ei使得其付出努力的边际收入必须等于付出努力的边际负效用数值，其中ωh－ωl是对竞赛中优胜者的奖励工资。

为了根据上述关系式进一步确定两雇员对努力程度的具体选择，我们先把模型假设的产出函数及随机扰动的概率分布代入上述最大值问题中的概率公式，再利用条件概率的贝叶斯法则得：

把该概率公式代入（3.11）式，可得：

由于本博弈中的两个雇员的情况是一样的，因此我们可以假设他们对努力程度的选择也相同，即，这样就得到

这就是两雇员之间在第二阶段静态博弈的纳什均衡，也就是他们在给定工资、奖金水平下的最优努力水平决定公式。

由于g（e）是凸的增函数，g′（e*）＞0，因此（3.12）式说明奖励力度（即ωh－ωl）较大，就会激发雇员更大的努力程度e*。另一方面，如果奖励不变，即ωh－ωl固定，而对产出的扰动因素的影响扩大，也就是竞赛的结果更多地取决于“运气”而不是雇员的努力，那么雇员就会觉得努力是不值得的，就会选择较小的e*。例如当εi服从方差为σ^2的正态分布时，则有

把上式代入（3.12）式，则明显有当σ增大时，e*将减小的结论。

不过，雇员有其他工作机会的情况下，雇员实际选择的努力也可能是角解e_1＝e_2＝0，而不是由一阶条件（3.11）式决定。也就是说，如果工资、奖金水平太低，而付出努力的负效用又很大（工作很辛苦），或者其他地方能找到更好工作的情况下，雇员有可能会不接受这个工作。对此我们在雇主的第一阶段工资水平选择中必须加以考虑。

现在我们再分析博弈的第一阶段。假定雇员们都同意参加工作竞争，而不愿去另谋高就，我们首先分析企业的选择是保证两雇员都接受工作机会，愿意参加上述竞赛的条件。

由于上述雇员之间博弈的均衡是对称均衡，双方的策略选择相同，因此双方赢得竞赛的机会都是1/2。这样，雇员愿意接受该工作参与竞赛的基本条件是该工作提供的期望得益至少不低于替代工作机会能提供的得益。假设两个雇员能得到的其他工作机会提供的得益是Ua，那么保证雇员接受工作和参与竞赛的基本条件是：

我们称该条件为雇员的“参与约束”。参与约束是激励机制设计中不能忽视的一个很重要的方面。由于从接受工作和参与竞赛的角度，在能保证雇员接受工作和参加竞赛的前提下，雇主必然会尽可能压低工资奖金，因此参与约束条件可进一步理解为

这样可得到

现在设上述参与约束条件已经满足，因此两雇员都愿意参加竞赛而不是寻找其他的工作。这时候根据对第二阶段两雇员静态博弈的分析已知，两雇员在工资水平为ωh和ωl时，所选择的努力程度是相同的e*，而且都满足（3.12）式。因此，企业的利润函数为

由于ε_1和ε_2都是均值为0的随机变量，因此企业的期望利润为2e*－ωh－ωl。企业主要考虑的问题，就是如何选择工资水平ωh和ωl以实现期望利润最大化，即

应用（3.13）式，上述雇主的决策可以转化为促使雇员的努力程度满足

由于Ua是外生确定的常数，因此雇主利润最大化要求的雇员努力程度的一阶条件为

1－g′（e*）＝0　　（3.14）

如果给出g（e）的具体函数形式，就可以解出满足雇主利润最大化要求的e*，然后代入上述参与约束等式和两雇员的均衡方程（3.12）式，求出最优的工资水平和。

如果把（3.14）式代入（3.12）式，得到

此式说明对雇员的最优激励水平（ωh－ωl），只与工作成绩的不确定性有关，与产出函数随机因素概率分布的方差正相关。

第六节　逆向归纳法的局限性和颤抖手均衡

为了克服动态博弈中相机选择所带来的不可信问题，我们引进了子博弈精炼纳什均衡和逆向归纳法，尽管这些概念在前面介绍的动态博弈模型中很有价值，但我们如果对这些概念和分析方法作进一步的分析，我们不难发现问题还没有解决。如果在动态博弈中有多个博弈者或每一个博弈者有多次行动，子博弈精炼纳什均衡和逆向归纳法并不能有效地解决这些问题，原因是子博弈精炼纳什均衡和逆向归纳法对博弈方的理性和分析能力要求很高，从而使以它们为核心的动态博弈分析的基础受到影响。这里我们对逆向归纳法和子博弈精炼纳什均衡在动态博弈分析中的局限性作一些分析。

一、逆向归纳法的局限性

我们已经知道，动态博弈分析的中心内容是子博弈精炼纳什均衡分析，子博弈精炼纳什均衡分析的核心方法是逆向归纳法，但逆向归纳法也有较明显的局限性。

首先是逆向归纳法要求博弈的结构，包括次序、规则和得益情况等都是博弈方的共同知识（Common Knowledge），各个博弈方了解博弈结构，相互知道对方了解博弈结构。即“博弈人1知道博弈人2知道博弈人3知道……得益函数。”显然，博弈方越多，逆向递推的链条就越长，博弈方共同知识的要求就越难满足。现实经济中的博弈问题常常设有明确的设定，要求各博弈方都完全清楚问题背景，且相互有完全的信任更不容易，因此往往不能运用逆向归纳法。其次是逆向归纳法不能分析比较复杂的动态博弈。由于逆向归纳法的推理方法是从动态博弈的最后阶段开始对每种可能路径进行比较，这对博弈者的理性提出了很高的要求，博弈者不能有哪怕是丝毫的对理性偏离的行为，博弈者必须有能力比较判断的选择路径数量，包括数量不很大的离散策略，或者有连续得益函数的连续分布策略，而这往往是不可能的。例如下棋博弈虽然是一种完全信息的动态博弈，而且博弈阶段和路径数量是有限的，但因为下棋博弈的路径数量很大，即使最先进的电子计算机也无法在短时间内找出每步的最优决策，因此下棋比赛中不可能有人一开始就用逆向归纳法下棋。此外，在遇到不同的路径有相同利益的情况时逆向归纳法也会发生选择困难。因为此时博弈方遇到了无差异的行为，无法确定惟一的最优路径，逆向归纳法适用性会在这里失效。

此外，当某个博弈方由于非完全理性而犯错误，偏离子博弈精炼纳什均衡路径时，其他的博弈方应该怎样进行后面的博弈，此时运用逆向归纳法是无效的，考虑下面的例子。

图3.20是一个三阶段动态博弈。用逆向归纳法可以得到这个博弈的子博弈精炼纳什均衡策略组合和相应的博弈路径，子博弈精炼纳什均衡是“博弈方1在第一阶段选择L，第三阶段选择T；博弈方2在第二阶段选择N”，相应博弈路径是博弈方1第一阶段选择L，博弈结束。现在假设博弈方1在第一阶段的行为选择中犯错误，采用R而不是L的可能性。这时候如果博弈方2是理性的，他的选择就成了问题。

图3.20

按照逆向归纳法和子博弈精炼纳什均衡的概念，此时博弈方2应该选择N，从而把下一步的选择权利交给博弈方1，因为理性的博弈方1在第三阶段会选择T，这样博弈方2可以得到3单位得益，比第二阶段选择M的得益更多。但问题是博弈方1在第一阶段犯错误之后，博弈方2很难相信博弈方1仍然是理性的博弈者，因此，博弈方2在第二阶段仍然以博弈方1的理性为基础的选择N是没有充分根据的。

这种情况下博弈方2要做的是首先确定博弈方1在第一阶段犯错误的性质，即博弈方1第一阶段所犯错误只是一种偶然的错误，还是一种倾向性的错误。偶然的错误，则意味着下一阶段博弈方1不会再犯错误，可以认为博弈方1在后面的选择中仍然是理性的，否则就应该认为下一阶段博弈方继续犯错误的可能性仍然非常大。

二、子博弈精炼纳什均衡的局限性

由于“子博弈精炼纳什均衡”是基于逆向归纳法得到的，正如逆向归纳法存在较大的问题一样，“子博弈精炼纳什均衡”也同样受到许多质疑，比如“子博弈精炼纳什均衡”要求所有的博弈方在子博弈行动中达成一致预测，即要求所有的博弈方在子博弈行动中都得到纳什均衡，而且还要求所有的博弈方都会预测到同一个纳什均衡，而这在逆向归纳法中经常会成为不可能。不过尽管如此，“子博弈精炼纳什均衡”仍然是分析动态博弈的重要方法。

三、颤抖手均衡（Trembling-hand Perfect Equilibrium）

很显然，应该怎样理解博弈方的错误，或者说博弈方相互之间怎样理解对方的错误，在动态博弈中是一个非常重要的问题。下面我们介绍逆向归纳法不能解决的一类动态博弈问题，这类博弈也同时告诉了我们博弈方理解对方“犯错误”性质的一种主要方法，即颤抖手均衡。

颤抖手均衡是泽尔腾（Selten）1975年提出的。泽尔腾将博弈方在博弈中犯的错误，认为是对子博弈精炼纳什均衡的“颤抖”（Trembles），是一种偶然性的行为，即如果一个博弈方突然发现另一个博弈方发生了理性博弈者不该发生的错误（博弈偏离均衡路径），认为该错误只是偶然性行为。如果博弈方在每个信息集上犯错误的概率是独立的，那么，无论过去的行为与逆向归纳法预测的如何不同，参与人应该继续使用逆向归纳法预测从现在开始的子博弈中的行为。颤抖手均衡是理解有限理性的博弈方在动态博弈中偏离子博弈精炼纳什均衡行为最重要的思想之一，也是进一步精炼子博弈精炼纳什均衡的一种均衡概念。

以图3.21中的博弈为例。在这个博弈中（D，L）和（U，R）都是纳什均衡，其中（D，L）对博弈方1较为有利，（U，R）对博弈方2较为有利。在不考虑博弈方的选择和行为偏差的情况下，这两个纳什均衡都是稳定的，都是该博弈可能的结果。

图3.21

现在考虑博弈方的选择和行为可能出现偏差时，（D，L）的稳定情况。假设博弈方2有可能采用R，此时，不管这种可能性多么小，博弈方1的最佳选择应该是U而不是D，此时（D，L）不再是一个具有稳定性的均衡。下面再来考虑（U，R）的稳定情况。对于（U，R）来说，不管博弈方2是否有偏离R的可能，博弈方1都没有必要偏离U；对博弈方2来说，虽然博弈方1从U偏离到D对他的利益有不利影响，但只要博弈方1偏离的可能性不超过2/3，那么自己改变策略并不合理。因此（U，R）对于概率较小的偶然偏差来说具有稳定性，我们称具有这样性质的策略组合为“颤抖手均衡”，而（D，L）就不是一个颤抖手均衡。

从上面的分析中，我们可以概括出颤抖手均衡的基本思想为：在任何一个博弈中，每一个博弈方都有一定的概率出现错误，恰如一个人在抓一个杯子时，由于手突然颤抖一下，可能就没有抓住杯子。一个策略组合，只有当其在允许所有的博弈方都可能犯错误时，仍然是每一个博弈方的最优策略时，才是一个颤抖手均衡。

下面把该博弈中博弈方1的得益情况改成如图3.22中得益矩阵的情况。此时，在前一个博弈中非颤抖手均衡的（D，L），变成了颤抖手均衡。因为现在即使博弈方1仍然会考虑博弈方2偏离L错误选择R的可能性，但只要这种可能性确实很小（如不超过20％），那么博弈方1“坚持选择D，而不是转向U”是其最佳策略。因此现在（D，L）也是一个颤抖手均衡，该博弈此时有两个颤抖手均衡。

图3.22

通过这两个例子的对比实际上我们不难看出，一个策略组合要是一个颤抖手均衡，首先必须是一个纳什均衡，其次是不能包含任何“弱劣策略”，也就是偏离对偏离者没有损失的策略。包含弱劣策略的纳什均衡不可能是颤抖手均衡，因为它们经不起任何非完全理性的“扰动”，缺乏在有限理性条件下的稳定性。

现在我们回到扩展型表示的动态博弈的情况。首先看图3.23中的博弈。在这个博弈中有两条子博弈精炼纳什均衡的路径。一条是博弈方A在第一阶段选择L结束博弈，另一条是R—N—T—V。但第二条不是颤抖手均衡路径，因为只要博弈方A考虑到博弈方B在第二阶段有任何一点偏离N的可能性，第一阶段就不可能坚持R策略，因此后一条路径对应的子博弈精炼纳什均衡是不稳定的。

如果把这个博弈中的得益改变成图3.24中情况，情况也会发生变化。此时该博弈中的路径R—N—T—V既是该博弈惟一的子博弈精炼纳什均衡路径，同时也是颤抖手均衡。因为只要每个博弈方犯错误，偏离该路径的概率比较小，那么在后面阶段的选择中博弈方仍然会认为这种偏离只是一种“颤抖”，都坚持它的选择，最终到达（3，3）。

图3.23

图3.24

从上面的分析可以看出，颤抖手均衡就是一种子博弈精炼纳什均衡的概念。能够通过颤抖手均衡检验的子博弈纳什均衡，一定是子博弈精炼纳什均衡，在动态博弈中的稳定性更强，预测也更加可靠。

现在，我们再回到图3.20中的动态博弈问题。根据颤抖手均衡的思想，该博弈中博弈方A在第一阶段选择L结束博弈，是该博弈惟一的子博弈精炼纳什均衡路径，也是该博弈惟一的颤抖手均衡。如果在实际进行这个博弈时，博弈方A在第一阶段选择了R而不是L，此时博弈方B如果根据颤抖手均衡的思想来考虑，在第二阶段就还是会选择N而不是M，因为在从第二阶段博弈方的选择开始的子博弈中，M—T既是子博弈精炼纳什均衡路径，也是颤抖手均衡路径，根据泽尔腾的思想，颤抖手均衡是把博弈方在各个阶段的错误看做是互不相关的小概率事件，因此博弈方A在第一阶段的错误不会使博弈方B不敢选择N。

在上面分析的基础上，现在我们给出颤抖手均衡的正式定义：

颤抖手均衡定义：在由n个人参与的博弈中，纳什均衡（δ_1，…，δn）是一个颤抖手均衡，如果对于每一个博弈者i，存在一个严格混合策略序列｛｝，使得下列条件满足：

1．对于每一个i，；

2．对于每一个i和m＝1，2，…，δi是对策略组合）的最优反应，即：对任何可选择的混合策略δi′∈∑i（∑i为博弈者i的混合策略空间）

可以理解为δi的颤抖。

上述定义中关键的一点是必须是严格混合策略（即选择每一个纯策略的概率严格为正）。每一个博弈者i打算选择δi，并且假定其他博弈方打算选择δ－i；但每一个博弈方i怀疑其他博弈方可能错误地选择。条件1说的是，尽管每一个博弈方i都可能犯错误，但错误收敛于0（比如你要将每一个篮球投入1个篮框之中，你的手不停地颤抖，你不大可能一下子就把球投入篮框之中，但如果努力的次数足够大，你总能把球投入篮框，最终取得胜利）；条件2说的是，每一个博弈方i打算选择的策略δi不仅在其他博弈方不犯错误时是最优的（纳什均衡），而且在其他博弈方错误地选择了时也是最优的（仍然以投篮为例，假定纳什均衡是每一个博弈方都把球投入篮框，条件2意味着，一个博弈方不能因为其他博弈方可能投不进篮框就故意不把球投进篮框）。

在上述定义中，我们隐含地假定任何一个博弈方犯错误的机会与其他博弈方犯错误的机会无关（或者说，颤抖在博弈方之间是独立发生的）。在这个假设下，根据条件2，任何包含弱劣策略的纳什均衡都不可能是颤抖手均衡。但是，如上定义的颤抖手均衡并不排除在重复剔除弱策略过程中被剔除的策略。

四、蜈蚣博弈问题（Centipede Game）

前面讨论的主要问题是由于博弈方理性的局限性对逆向归纳法和子博弈精炼纳什均衡分析预测能力的影响。其实即使博弈方都满足完全理性的要求，博弈的结果也不一定可以运用逆向归纳法和子博弈精炼纳什均衡来进行分析预测。我们用下面的“蜈蚣博弈”（Centipede Game）来分析这类博弈。

“蜈蚣博弈”是罗森泰尔Rosenthal（1981）提出的一个动态博弈问题。之所以称为“蜈蚣博弈”是因为它的扩展形很像一条蜈蚣。如图3.25给出“蜈蚣博弈”是由A和B两个博弈方轮流选择的多阶段动态博弈，共有198个阶段，每一个得益数组中第一个数字是博弈方A的得益，第二个数字是博弈方B的得益。

图3.25

这是一个两个博弈方之间的完全且完美信息的动态博弈，可以运用逆向归纳法进行分析。首先从最后一个阶段博弈方B的选择开始，不难发现d是博弈方B的最佳选择，此时，博弈方A和博弈方B的得益分别为98和101，然后将博弈推回到倒数第二阶段博弈方A的选择，此时博弈方A也是选择D，博弈方A和博弈方B各得99，再将博弈推回到倒数第三阶段博弈方B的选择，不难发现博弈方B还是会选择d。依此类推，我们一直可逆推到博弈方A在第一阶段直接选择D，结束博弈，双方得益都是1。这就是运用逆向归纳法得到的本博弈的惟一的子博弈精炼纳什均衡解及其路径。

显然，上述均衡解是极为不理想的，而且与人们的直觉和实际也不吻合。从上述博弈的过程来看，该子博弈精炼纳什均衡解显然从效率上讲是极差的，除了第二阶段的（0，3）组合外，任意一个其他阶段的选择都比（1，1）好，显然，这是一个从个体理性出发的最优选择最终导致的极差结果。

下面我们分析上述理论与实际不一致的原因。对于博弈方A来说，“1元的损失并不是一个很大的风险，即使博弈方B第一次选择时选择了d，自己得益为0，损失1元也不要紧，自己在第一次选择时选D虽然肯定能得到1元，但同选择R之后，可能获得99元的潜在得益相比，前者显然并不是好的选择”。因此至少在该博弈的初始阶段，博弈方A选择R让博弈延续下去，对双方都是有很大潜在利益的投机，因此出现不符合理性预测结果（即博弈方在一开始就选择D，结束博弈）的可能性很大。这时，对博弈方1来说，只要感觉博弈方B有很小的合作精神，那么在第一阶段选择R而不是D就是真正理性的选择，采用R而不是D是他发现博弈方B是否有合作精神的惟一方法。

在博弈方A在第一阶段确实选择了R的情况下，博弈方B认为博弈方1对D的偏离只是一种“颤抖”，归根结底博弈方还是理性的，而且博弈方B还能够理解博弈方A在第一阶段选择中包含的合作信号，那么他也会选择让博弈延续到下一个阶段而不是结束博弈。这种初步的合作对进一步的合作精神和相互的信心有明显的加强作用，因此该博弈中一旦出现合作的良好开端，合作就会持续下去，从而进一步否定逆向归纳分析得出的结论。

但是，这种合作未必能够一直持续到最后一个阶段。因为随着结束阶段的临近，双方进一步合作的潜在利益越来越小，停止合作的可能性会越来越大，只要博弈方都是理性经济人，那么合作持续到最后一刻的可能性是不存在的，逆向归纳法的逻辑肯定会在某个时刻起作用。在本例中，如果不增加进一步的假设或信息，依据现有的每一个阶段的得益组合，合作有可能随时在某一个阶段结束，但逆向归纳法究竟在什么时候起作用，也就是双方的合作究竟在什么时候停止，难以确定。

很显然，在蜈蚣博弈中，由于博弈的阶段很长，在博弈中作为“共同知识”的“博弈方知道博弈方j知道博弈方k知道”的条件是很难满足的，即逆向归纳法得以采用的条件很难保证，这时用逆向归纳法得到的结论与实际情况有很大距离。

这就是蜈蚣博弈产生的悖论。所谓悖论（Paradox）是指，本来看起来可以相信的事物不能相信，而有的东西看起来不可信的事物反而是正确的。或者悖论是指，由肯定某结论是真的命题出发，最后却推出它是假的命题，由肯定某结论是假的命题出发，最后却推出它是真的命题。在数学上有许多悖论，如“一个克里特人说‘所有克里特人都说谎’”的说谎者悖论，“一个理发师说：‘我给所有不给自己理发的人理发’”的理发师悖论或罗素悖论，等等。这些悖论在历史上对于逻辑和数学的发展起了巨大的作用。

对于蜈蚣悖论，许多博弈研究者都在寻求它的解答。在西方有研究博弈论的专家做过实验，实验发现，不会出现一开始选择“不合作”策略而双方获得利益1的情况。双方会自动选择合作性策略，从而走向合作，这种做法违反逆向归纳法理性人的假设。但实际上双方这样做，要好于一开始博弈方1就采取不合作的策略。

逆向归纳法似乎是不正确的。然而，我们会发现，即使双方开始能走向合作，即双方均采取合作策略，这种合作也不会坚持到最后一步。理性的人出于自身利益的考虑，肯定在某一步采取不合作策略。逆向归纳法肯定在某一步要起作用。只要逆向归纳法在起作用，合作便不能进行下去。这个悖论在现实中的表现是，博弈者不会在开始时确定他的策略为“不合作”，但他难以确定在何处采取“不合作”策略。

蜈蚣博弈产生的悖论引发了经济学家们的深入思考，并形成这样的共识，那就是经济学中的“理性行为”假设，或者说“经济人”假设，实际上是“彻底理性”假设，即每个人都会斤斤计较眼前的每一个得失。蜈蚣博弈就是建立在“彻底理性”假设基础上应用逆向归纳法得到的结果。对蜈蚣博弈悖论的思考进一步导致了经济学中“有限理性”（Bounded Rationality）思想和“行为经济学”（Behavioral Ecomomics）的诞生。

思考题

1．为什么在动态博弈分析中要引进子博弈精炼纳什均衡，其与纳什均衡关系怎样？

2．在动态博弈分析中，博弈方的理性问题对动态博弈分析的影响为什么比对静态博弈分析的影响要大得多？

3．设有一动态博弈如图3.26所示。试给出其全部子博弈，讨论该博弈中的可信性问题，并求其子博弈精炼纳什均衡策略组合及其结果。

4．某寡头市场上有三个寡头，其需求函数均为P＝150－Q，其中Q是三个寡头的产量之和，并且已知三个寡头的边际成本为2，无固定成本。如果寡头1和寡头2先同时决定产量，寡头3根据寡头1和寡头2的产量再作决策，问三个寡头各自的产量和利润是多少？

5．试求下列博弈的颤抖手均衡，见图3.26。

图3.26

图3.27

第四章　不完美信息动态博弈

第一节　不完美信息动态博弈的表示

一、不完美信息动态博弈的概念（Imperfect Information Dynamic Game）

动态博弈的基本特征是各个博弈方的行为有先后次序。既然各个博弈方都不在同一个时刻进行策略（行动）选择，那么在多数情况下，后选择的博弈方在自己实际选择之前都可以观察到先于自己选择的其他博弈方的行为，也即后面阶段选择的博弈方有关于前面阶段博弈进程的充分信息。我们把这种完全了解自己行动之前博弈进程信息的博弈方称为“有完美信息（Perfect Information）的博弈方”。如果一个动态博弈中的所有博弈方都是有完美信息的，我们就称这种博弈为“完美信息的动态博弈”。

上述完美信息动态博弈在现实生活中常常是难以实现的，经常的情况是，由于博弈方保密、信息传递不畅或信息的非对称等原因，在一个动态博弈中可能存在少数后选择的博弈方，无法全部了解自己选择之前已经发生的博弈方行动的信息。如果是各博弈方只进行一次选择，且所有后行动的博弈方都无法看到自己选择之前所有其他博弈方的行为选择，那么我们可以将这种博弈当做静态博弈来处理，因为这时各博弈方在信息方面的机会是相同的，可以看做是所有博弈方同时选择的静态博弈。如果后行动的博弈者中只有部分博弈方无法看到自己选择之前的博弈过程，或者各博弈方对博弈进程信息的掌握不均衡，或者各博弈方虽然有多次行为选择，但却无法观察到前面的博弈进程的任何信息，那么这种博弈就不是静态博弈，而是动态博弈，是没有关于博弈进程完美信息的动态博弈，我们称其为“不完美信息的动态博弈”。

不完美信息动态博弈的基本特征之一是博弈方之间在信息方面的不对称性。以阿卡洛夫（Akerlof）提出的著名旧车市场博弈为例。假如某人在旧车市场上购买了一辆旧车，在使用时这个人也许会发觉这一购买是合算或不合算。之所以会有这种感觉，主要是他作为买方在旧车交易中所掌握的关于车的信息太少。也许他可以通过诸如品牌、型号、出厂日期等比较容易确定的因素，以及车的外观等方面来判断旧车的质量和价值，但许多内部的毛病却不容易直观地判断出来。如果恰好是一部质量还不错的旧车，而当买车人支付的成本与他对车的期望值比较接近时，买车的人可能就会觉得合算了。如果由于不了解关于车的真实信息，花大价钱买了一部没有多少价值的旧车可能就会觉得非常不合算。

为了分析方便起见，我们假设旧车有好、差两种方式，分别对应旧车市场上质量好、质量差两种情况的旧车，这样我们可以把这个旧车交易活动抽象成这样一个博弈问题：首先是卖方选择如何使用车子；然后是作为卖方的原车主决定是否卖掉旧车，卖价可以只有一种，也可以有高低两种或更多种情况，当然价格越多分析也就越复杂；最后是买方决定是否买下，我们假设买方要么接受卖方价格，要么不买，不能够讨价还价。由于在这个动态博弈中，买方作为一个博弈方对第一阶段卖方行为不了解，即买方具有不完美信息，这是一个不完美信息的动态博弈。

二、不完美信息动态博弈的扩展型

不完美信息动态博弈的表示方法，也就是如何去反映动态博弈方信息不完美的问题，我们仍然可以采用完美信息动态博弈的扩展型表示法。

以旧车交易为例，根据前面的介绍可用图4.1来表示这个不完美信息博弈问题。图4.1中最上面一个节点表示第一阶段卖方（博弈方1）对所卖汽车状况的选择，设汽车有“好”和“差”两种可能的选择。卖方对自己的这个选择是清楚的，因此第二阶段他选择“卖”还是“不卖”时，是根据汽车是“好”和“差”的状况来做针对性的选择。在第一阶段为“好”的情况下，卖方第二阶段可以选择“卖”或“不卖”，在第一阶段为“差”的情况下，也可以选择“卖”或“不卖”。如果他选择的是“卖”，则显然不管第一阶段是“好”还是“差”，博弈都立即结束。如果卖方选择是“卖”，则博弈进行到第三阶段，轮到买方进行选择。我们已经假设买方（博弈方2）无法知道第一阶段的卖方选择，因此在第二阶段卖方选择卖的情况下，买方无法知道卖方前两阶段的路径究竟是“好”而“卖”还是“差”而“卖”，显然他无法做出准确的选择。我们把两个代表前面阶段博弈不同路径的节点放在一个信息集中，表示买方在该阶段的信息具有不完美性。这同样意味着虽然买方在此处只有“买”、“不买”两种选择，但可能的结果却有四种，包括“买”到好车、差车，“不买”好车、差车。前两种结果对买方、卖方都有差异，而后两种结果则最多只对卖方有差异。

图4.1

设车况好时对买方来说该车值3000元，车况差时值1000元，卖方要价2000元。再假设车况差时卖方需要花费1000元才能将车伪装成状况良好的车。如果用净收益作为卖方的得益，用消费者剩余（价值减价格）作为买方的得益，则该博弈的双方得益如图4.2中所示。各个得益数组的第一个数字为卖方的得益。显然当卖方在第二阶段选择卖而买方在第三阶段选择不买时，车况好、差对买方利益毫无影响，都是既没有收益也无损失，但对卖方来讲则影响巨大，因为当车况差时卖方想卖必须先花代价装扮，卖不出去就会白白损失这笔费用，即1000元的损失。

图4.2

根据上述得益情况，可见在卖方选择卖时，买方选择买既有赚钱的可能，也有亏损的可能，因为车况有好有差，选择不买当然肯定不会吃亏，但也放弃了获得利益的机会，因此在各种选择中，没有一个选择绝对是比另一个好的。对卖方来说，车况好时卖不卖得出去都无损失，只有赢利的可能，因此选择卖肯定比不卖要好，但当车况差时能否卖得出去结果却完全不一样。卖得出会有利所得，卖不出却要亏损。因此要让买方下决心是否购买，买方还必须要有进一步的信息或判断，这些信息和判断就是在卖方选择的前提下车况好、车况差各自的概率。要让卖方在车况差时下决心是否卖也必须要有进一步的信息或判断，即买方会买下的概率究竟有多大。有了这些信息或判断，买方或卖方就能对自己获利的机会、损失风险的大小程度心中有数，从而作出正确的判断和选择。在这个博弈中双方决策需要的信息或判断与双方的选择有关，两个博弈方的选择、信息和判断之间形成了一种复杂的交互决定关系。

第二节　精炼贝叶斯均衡

在一个博弈问题中，寻找均衡策略组合是一个很关键的问题，对不完美信息动态博弈也不例外。我们知道，可信性问题始终是动态博弈策略均衡的一个中心问题，理想的均衡必须能够排除任何不可信的威胁或承诺。在完全且完美信息动态博弈中，我们通过要求均衡策略组合在每个子博弈中都构成一个纳什均衡，来促进均衡策略中没有任何不可信的威胁或承诺，其核心均衡概念就是子博弈精炼纳什均衡。但是，在完全但不完美信息的动态博弈中，因为存在多节点信息集，一些重要的选择及其后续阶段不构成子博弈，因此要求满足子博弈精炼性就无法完全排除不可信的威胁或承诺，无法保证均衡策略中所有选择的可信性，无法检验后续阶段的策略是否为一个纳什均衡，此时子博弈精炼性对于完全但不完美信息的动态博弈是不起作用的，为此我们必须提出新的均衡概念，这就是精炼贝叶斯均衡（Perfect Bayesian Equilibrium）。

一、精炼贝叶斯均衡的定义

根据前面对完全但不完美信息动态博弈的基本讨论，借鉴子博弈精炼纳什均衡的思想，我们提出精炼贝叶斯均衡概念必须满足的一些要求：

要求1：在每一个信息集中，轮到选择的博弈方必须具有一个关于博弈达到该信息集中每个节点可能性的“推断”（Belief）。对非单节点信息集，一个“推断”就是博弈达到该信息集中各个节点可能性的概率分布，对单节点信息集，博弈方的推断可理解为达到该节点的概率为1。

图4.3是一个两博弈方各进行一次选择的动态博弈。博弈方在R、L、M 3个行为中进行选择。因为在第一个阶段博弈方1选择不是R的情况下，博弈方2虽然知道博弈方1没有选R，但无法看到博弈方1究竟选择的是L还是M，因此博弈方2具有不完美信息，这是一个不完美信息的动态博弈。从本博弈的得益情况容易看出，如果博弈方2在轮到选择时（博弈方1第一阶段没选R），不但看不到博弈方1的实际选择，而且对博弈方1选L还是M的可能性大小毫无推断，则他就不知该选U和D中哪一个才算合理。因为如果博弈方1选择L，那么博弈方2选U得益较大，如果博弈方1选择是M，博弈方2选D的得益较大，如果博弈方1的选择是M，博弈方2选D的得益较大。因此，博弈方2在博弈方1没有选R的情况下对具体到达L、M哪一个节点有一个具体的推断，这样的推断就是到达两个节点的概率p和1－p。这说明了要求1的必要性。

图4.3

要求2：给定各博弈方的“推断”，他们的策略必须是满足“序列理性”（Sequentially Rational）的要求，即在每个信息集中，如果给定轮到选择博弈方的推断和其他博弈方的“随后的策略”，该博弈方的行为及以后阶段的“随后的策略”，必须使自己的得益或期望得益最大。这里所谓的“随后的策略”是指相应的博弈方在达到给定的信息集以后的阶段中，对所有可能的情况如何行动的完整计划。

要求3：在均衡路径上的信息集处，“推断”由贝叶斯法则和各博弈方的均衡策略决定。

要求4：对不处于均衡路径上的信息集，“推断”由贝叶斯法则和各博弈方在此处可能有的均衡策略决定。

当一个策略组合及相应的判断满足上面四个要求时，称其为“精炼贝叶斯均衡”。之所以称这种均衡为精炼贝叶斯均衡，首先是因为它的第二个要求“序列理性”，与子博弈精炼纳什均衡中的子博弈精炼性要求相似；其次是因为要求3和要求4中规定“推断”的形成必须符合贝叶斯法则。

到现在为止，我们就有了三个均衡概念：完全信息静态博弈中的纳什均衡、完全信息动态博弈中的子博弈精炼纳什均衡、不完全信息静态博弈中的贝叶斯纳什均衡（在第六章中介绍）以及不完美信息动态博弈中的精炼贝叶斯均衡。

从上述定义我们可以看出，精炼贝叶斯均衡是完全信息动态博弈的子博弈精炼纳什均衡与不完全信息静态博弈的贝叶斯纳什均衡的结合。贝叶斯方法是概率统计中的一种分析方法。它是指根据所观察到现象的有关特征，并对有关特征的概率分布的主观判断（即先验概率）进行修正的标准方法。子博弈精炼纳什均衡是精炼贝叶斯均衡在完全且完美信息动态博弈中的特例，即在完全且完美信息博弈中精炼贝叶斯均衡就是子博弈精炼纳什均衡。实际上，序列理性在子博弈中就是子博弈的精炼性，在整个博弈中就是纳什均衡，而在完全且完美信息动态博弈中，所有轮到选择博弈方的信息集都是单节点的，他们对博弈达到该节点的“推断”都是概率等于1。这些判断当然都是满足贝叶斯法则和以其他博弈方随后的策略为基础的。而且，精炼贝叶斯均衡在静态博弈中就是纳什均衡。

这里用成语故事“黔驴技穷”，对贝叶斯方法进行一下简单的说明。

一头驴子被一个好事者运到黔（贵州省），扔在了森林里，生长在黔的老虎从来没有见过驴子，不知道驴子到底有多大本领。老虎采取不断接近驴子的方法进行试探。通过试探，修正自己关于驴子的信息，从而选择自己对付的驴子策略。一开始，老虎见驴子没什么反应，认为驴子本领不大；当看见驴子大叫时，又以为驴子的本领非常大；然而，经过进一步试探，老虎却发现驴子的最大本领只是甩甩蹄子而已；最后，通过不断试探，老虎逐步得到关于驴子的准确信息，确认驴子没有什么本领，就选择了冲上去把驴子吃掉的策略。这显然是老虎的最优策略选择。

再比如前面提到的“市场进入”博弈。进入企业B不知道在位企业A属于高成本阻止类型，还是低成本阻止类型。但是B知道，如果A属于高成本阻止类型，B选择进入时，A选择阻止的概率为30％；如果A属于低成本阻止类型，B选择进入时，A选择阻止的概率为100％。一开始，B假定A属于高成本阻止企业的概率为70％，属于低成本阻止企业的概率为30％。因此，根据贝叶斯法则，企业B在进入时，受到企业A阻止的先验概率为：

0.7×0.3＋0.3×1＝0.51

0.51是给定企业A所属类型的先验概率下，企业A可能选择阻止的概率。

当企业B实际进入市场时，如果企业A确实进行了阻止。根据贝叶斯法则，结合A阻止这一实际观察到的行为，B认为A属于高成本阻止企业的概率变为

（0.7×0.3）÷0.51≈0.41

依据这一新的概率，企业B预测自己选择进入时，受到A的阻止的概率变为：

0.41×0.3＋0.59×1≈0.71

如果企业B再一次进入又受到企业A的阻止，再次运用贝叶斯法则，B认为A属于高成本阻止企业的概率变为

（0.41×0.3）÷0.71≈0.17

如此循环，企业B一次次进入，都遭到企业A的阻止，B对企业A所属类型的判断不断得到修正，越来越倾向于判断企业A属于低成本阻止企业。这时候，企业B选择停止进入市场是其最优策略。

引入精炼贝叶斯均衡的目地是为了进一步强化贝叶斯纳什均衡，这和子博弈纳什均衡强化了纳什均衡是相同的，因为纳什均衡无法包含威胁和承诺都是可信的这一思想。

二、关于精炼贝叶斯均衡条件的分析

完全但不完美信息动态博弈的均衡概念为什么需要那么多条件呢？

实际上，要求1就是前面已提到的解决完全但不完美信息动态博弈的基本前提，在多节点信息集处轮到选择的博弈方，至少必须对其中每个节点达到的可能性大小有一个基本判断，否则其决策就会失去根据，从而也不可能存在策略的稳定性，更谈不上均衡。

要求2的序列理性相当于子博弈精炼纳什均衡中的子博弈精炼性的要求，实际上在子博弈中（不完美信息动态博弈中也可能有子博弈）就是子博弈精炼性，而在多节点信息集开始的不构成子博弈的部分中，序列理性通过要求各博弈方遵守最大利益原则而排除博弈方策略中不可信的威胁或承诺。

在图4.3所示的例子中，如果没有要求2，只要求满足纳什均衡和子博弈精炼性，那么博弈方2可以威胁在轮到自己选择时将惟一地只选D，这样可为自己争取到最大利益3，但这个均衡策略是不可信的威胁，因为如果博弈方2真的采取这个策略，那么博弈方1的最佳策略就是第一阶段直接选择策略R，结束博弈，双方的得益是（1，3）。上述策略组合显然是一个纳什均衡，由于本博弈没有子博弈，因此子博弈精炼性要求就自动满足，它也是一个子博弈精炼纳什均衡。然而，如果我们认真分析就会发现，在博弈方1不选策略R，而选择L，且选择L的概率很大时，博弈方2只选D的策略明显是一个不可置信的威胁，因为这时博弈方2选D的期望得益为0，比选U的得益要小，选D显然不符合其最大利益原则。可见，要求2对于保证在不完美信息动态博弈的均衡策略中，没有不可信的威胁或承诺具有关键作用。因此，要求2保证了各个博弈方在单节点信息集和多节点信息集处进行策略选择时，都会按照最大利益原则来进行，就是当博弈方2在博弈方1第一阶段没有选R的情况下，如果“推断”博弈方1选L的概率p大于选M的概率1－p，他就应该选择U而不是D。而博弈方1在第一阶段的选择就应该是L而不是M，也不是R，这样博弈方1在第一阶段选L，博弈方2在博弈方1第一阶段未选R的情况下选择U，加上博弈方2对博弈方1选L、M的概率判断p和1－p（p≥1－p），构成一个满足序列理性要求的策略组合。

此外，在要求3和要求4中提到了“均衡路径上”和“非均衡路径上”两个概念。在完全且完美信息动态博弈中，所谓在均衡路径上（On the Equilibrium Path）的信息集是指如果博弈按照均衡策略进行，则该信息集一定会以正的概率达到，不在均衡路径上（Off the Equilibrium Path）的信息集则肯定不会达到，或者达到的概率为0。其中均衡可以是纳什均衡，子博弈精炼纳什均衡，贝叶斯以及精炼贝叶斯纳什均衡。在图4.3中，对于博弈方2的信息集而言，当博弈方1第一阶段的均衡策略选择是R时，其不在均衡路径上，而当不是R时，则就在均衡路径上。

我们仍然用图4.3中的博弈来分析一下要求3和要求4。首先讨论要求3。为此，我们先假设均衡策略组合就是上面提到的“博弈方1在第一阶段选择L，博弈方2在第二阶段选择U”。

因为该博弈中只有博弈方2有一个两节点信息集，因此要求3实际上针对的就是博弈方2在其两节点信息处做什么“推断”。由于博弈方1的均衡策略为在第一阶段选择策略L，因此博弈方2的“推断”只能是“博弈方1以概率p＝1选择L”，这样才与博弈方1的策略选择相符合，同时这种推断也与博弈方2自己在第二阶段选择U的行为相符合，该“推断”正是博弈方2的决策和双方策略均衡的稳定基础。如果博弈方2“推断”博弈方1选择L的概率p＝0.85而不是1，那么与博弈方1的选择是不相符的，而且这种判断对博弈方2选U的信心有不良影响，使得均衡也不稳定。如果博弈方2进而“推断”p＝0.20，则与“博弈方1选L，博弈方2选择U”的均衡策略完全矛盾，因为如果是这样的话，博弈方2的最佳选择不是U而是D，而博弈方1也就不会选L而会选R，这时候上述策略组合根本不可能是真正的均衡，因此该“推断”与策略之间的矛盾会完全破坏策略的均衡。另外，我们假设该博弈存在一个混合策略均衡，其中博弈方1选择L的概率为q_1，选择M的概率为q_2，选择R的概率为1－q_1－q_2，则要求3强制性地要求博弈方2此时的推断为p＝q_1/（q_1＋q_2）。

现在我们讨论要求4。对于均衡策略组合“博弈方1在第一阶段选择L，博弈方2在第二阶段选择U”而言，因为博弈方2的多节点信息集在均衡路径上，不存在不在均衡路径上的需要“推断”的信息点信息集，因此要求4自动满足，不用再作讨论。

为了进一步帮助大家理解上述4个要求的内涵，我们再分析一个三人博弈例子。图4.4是一个有三个博弈方的三阶段不完全信息动态博弈。显然，在第一阶段博弈方1有A和D两种选择，对于博弈方1的具体选择，博弈方2和博弈方3也都能了解。在第二阶段博弈方2有L和R两种选择，但博弈方3看不见其选择。博弈方3在第三阶段有L′、R′两种选择，这是一个两节点信息集，反映出博弈方3所观察到的博弈方2的选择信息具有不完美性。假设博弈方3“推断”博弈方2选L和R的概率分别是p和1－p。如果博弈方1在第一阶段选择策略A，直接结束博弈，此时三博弈方的得益分别为（4，0，0），如果博弈方1在第一阶段选择策略D，那么博弈将继续进行下去，进入第二阶段，博弈方2以概率p和1－p分别选择策略L和R，于是博弈进入第三阶段。

下面我们采用逆向归纳法考虑博弈方3的选择，此时博弈方3若选L′，期望得益为

图4.4

p·2＋（1－p）·3＝3－p，若选R′，期望得益为p·5＋（1－p）·2＝2＋3p，显然当3－p＞2＋3p，即p＜1/4时，博弈方3应该选L′，当p＞1/4时博弈方该选R′，当p＝1/4时，选L′，R′或者混合策略无差异。我们现在先假设博弈方3“推断”p＞1/3，那么他的选择应该是R′。下面把博弈倒推回到第二阶段，我们再来看博弈方2的选择。此时博弈方2的选择实际上只有L一种，因为L是博弈方2相对于R的严格占优策略，在选择L时得益均高于选择策略R时的得益，因此他无需考虑博弈方3在第三阶段的具体选择。再进一步推回到第一阶段，看博弈方1的选择。显然博弈方1知道从博弈方2的选择开始的子博弈的均衡必然为（L，R′），意味着自己选择D可以获得5单位得益，比选A的得益4要好，因此D是他的均衡策略。这样我们找到一个均衡策略组合（D，L，R′）。

根据上面的分析我们发现，上述策略组合及相应判断完全符合精炼贝叶斯均衡要求1至3，并且由于在上述策略组合下不存在不在均衡路径上的需要“推断”的信息集，因此要求4自动满足，这是一个精炼贝叶斯均衡。

为了进一步说明要求4的必要性，我们考察下面的策略组合（A，L，L′），显然该策略是一个纳什均衡，没有哪个博弈方指望可以通过单独改变自己的策略来改善自身的得益。此时，博弈方3“推断”博弈方2的选择是p＝0，因为博弈方1在第一阶段选择A，结束博弈。如果博弈方3“推断”博弈方2的选择p≠0就是一种不合实际的选择，此时（A，L，L′）是序列理性的。因此策略组合（A，L，L′）和博弈方3的“推断”p＝0是满足精炼贝叶斯的要求1至3的。如果没有要求4，我们可以判定其构成一个精炼贝叶斯均衡，此时各方面得益为（4，0，0），显然是很不理想的均衡结果。

然而由于要求4的存在，博弈方3必须使其在不均衡路径上的信息集处的“推断”也必须符合各方的均衡策略，在此均衡策略组合下博弈方3的信息集正是不在均衡路径上的信息集，但博弈方3在此处的“推断”p＝0，显然与博弈方2的策略L不相符合，因此上述策略组合和“推断”不能构成精炼贝叶斯均衡。这就把（A，L，L′）从精炼贝叶斯均衡的范畴中排除出去了，使得精炼贝叶斯均衡更加稳定可靠。

第三节　旧货市场博弈模型

前面提到的旧车市场交易模型代表的是一类典型的交易市场：旧货市场，由此产生的博弈叫做旧货市场博弈或柠檬博弈（Lemons Game），它是不完美信息动态博弈的典型代表。搞清了旧车市场交易中的博弈关系及其各种均衡，就会对此类博弈问题有更深刻的理解。下面我们结合旧货市场模型对不完美信息动态博弈进行进一步的讨论分析。

一、市场精炼贝叶斯均衡的类型

1．市场类型

在分析旧车市场交易的效率之前，我们首先根据效率差异将市场交易的精炼贝叶斯均衡分为下面四种不同的类型。

（1）市场完全失败型。如果商品市场上所有的卖方（包括质量“好”的商品的卖方），因为担心商品卖不出去而不敢将商品投入市场，从而使得市场交易不可能实现，那么我们就称这种旧车市场交易为“市场完全失败”型，在这种市场类型下，任何市场行为都不可能发生。

（2）市场完全成功型。如果只有质量好的商品投放市场，我们称这种交易情况为“市场完全成功”型，由于此时市场上的商品都是货真价实的，买方因为完全了解市场上商品的真实信息会买下市场上的所有商品，因此，买方实现的得益是最大的。

（3）市场部分成功型。如果所有卖方（包括有好商品的和有差商品的）都将商品投放市场，而买方也不管商品好坏全部买下。这种市场状况我们称为“市场部分成功”型，因为这种情形下能够进行交易，潜在的交易利益能够实现，但同时也会存在部分“不良交易”，即买方买进质量差的商品时蒙受的损失，因此，从效率的角度讲，最多只是部分成功的。

（4）市场接近失败型。假如卖方将所有质量好的商品都投入市场，将质量“差”的商品的一部分投入市场，买方不是买下市场上的全部商品，而是以一定的概率随机决定购买行为，即双方都采用混合策略，这样的市场我们称为“市场接近失败”型。之所以称这种市场为“接近失败型”是因为这种市场的总体效率低于市场成功和市场部分成功，但比市场完全失败要强。从表面上看，市场接近失败型似乎比市场部分成功更好，因为只有部分而不是全部差商品进入市场，但这种市场上差商品的总体比重或质量差的商品所造成的危害其实更大，会出现我们后面将要介绍的“逆向选择”问题，结果使市场很容易变成完全失败的类型。

在具体的市场交易中，最终出现上述哪一种市场结构，主要取决于模型中买卖双方的利益与风险的对比，取决于质量好和差的商品的价值V和W、交易价格P、旧货的装饰费用C及商品好、差的比例pg和pb。显然，通过改变V、W、P和C，及pg、pb，我们可以将市场从一种类型的均衡转变为另一种类型的均衡。

2．混同均衡（Pooling Equilibrium）

在上述四类市场交易均衡中，如果所有的卖方（即具有完美信息的博弈方）采用同样的交易策略，而不管他们商品的类型是好还是差，如市场完全失败中所有卖方都选择不卖，市场部分成功中所有卖方都选择卖，这种不同商品类型下，博弈方采取相同行为的市场均衡，称为“混合均衡”（Pooling Equilibrium），即不同类型的卖方选择相同的市场行为，或者说没有任何类型选择与其他类型不同的行为。由于混同均衡中完美信息博弈方类型的不同，并不会导致他们行为的不同，那么他们的行为也就不会给不完美信息的博弈方发出任何有价值的信息，不完美信息的博弈方也就不用修正自己关于完美信息博弈方的先验概率（判断），即不完美信息博弈方形成关于完美信息博弈方的“判断”时可以忽略完美信息博弈方的行为。

3．分离均衡（Separating Equilibrium）

如果一些市场均衡中，拥有不同商品质量类型的卖方会采取完全不同的策略，即不同类型的卖方以概率1选择不同的行为，或者说没有任何类型选择与其他类型相同的行为，这种不同情况的完美信息博弈方采取完全不同策略时的市场均衡，我们称为“分离均衡”（Separating Equilibrium）。如在市场完全成功类型的均衡中，商品质量好的卖方将商品投放市场，而商品质量差的卖方则不敢将商品投入市场，这时卖方的行为完全反映他销售商品的质量，这种均衡能把不同类型的卖方完全区分开来。在分离均衡中完美信息博弈方的行为准确地揭示了他的类型，因此能给不完美信息博弈方的“判断”提供充分信息和依据。

4．准分离均衡（Semi-Separating Equilibrium）

如果在一些市场均衡中，一些拥有不同商品类型的卖方随机地选择不同的交易策略，而另一些卖方以概率1选择某一特定的交易策略，这种市场均衡，我们称为“准分离均衡”（Semi-Separating Equilibrium），也称做部分混同均衡（Partially Pooling Equilibrium）。

当所有好商品的卖方都选择同样的行为，而商品质量差的卖方随机地选择市场行为时，这时的接近失败均衡类型就是“准分离均衡”。在这种均衡中，卖方的行为会给买方提供一定信息，但这些信息又不足以让买方根据卖方的情况得出肯定的“判断”，只能得到一个概率分布的“判断”。

为了使我们更准确地理解上述三类均衡的概念，我们再来看图4.5所示的博弈。

这是一个简单的抽象信号博弈（关于信号博弈，我们在后面将会专题介绍），其中N表示自然，信号发送方有两个类型t_1和t_2，其可行的策略选择也有两种，分别为S_1和S_2，信号接收者可行的策略选择为a_1和a_2。

图4.5

图中P和1－P表示自然随机地选择发送方的类型的概率分布。在该信号博弈中，信号的发送者和接收者都有四个纯策略。

（1）信号发送方的纯策略

策略1：如果自然随机抽取t_1，选择s_1；若自然随机抽取t_2，则取s_1。

策略2：如果自然随机抽取t_1，选择s_1；若自然随机抽取t_2，则取s_2。

策略3：如果自然随机抽取t_1，选择s_2；若自然随机抽取t_2，则取s_1。

策略4：如果自然随机抽取t_1，选择s_2；若自然随机抽取t_2，则取s_2。

（2）信号接收方的纯策略

策略1：如果发送方选择s_1，选择行为a_1；如果发送者选择s_2，选择行为a_1。

策略2：如果发送方选择s_1，选择行为a_1；如果发送者选择s_2，选择行为a_2。

策略3：如果发送方选择s_1，选择行为a_2；如果发送者选择s_2，选择行为a_1。

策略4：如果发送方选择s_1，选择行为a_2；如果发送者选择s_2，选择行为a_2。

显然信号发送者的第1、4策略为混同策略；第2、3策略则为分离策略。

二、交易价格惟一的旧车交易博弈模型

下面我们就依据上述四种市场类型和混同均衡、分离均衡和准均衡概念来更加清楚和准确地分析完全但不完美信息条件下的旧货市场交易。

首先讨论交易价格惟一的旧车交易问题。假设旧车有好、差两种情况，对买方来讲价值分别为V和W，再假设买方希望买到的都是好车，因此卖方不管车况好坏要想卖出车子，必须把车都当做好车卖，此时车的交易价格只有一种类型P。对于车况差的旧车，卖方必须花一定的费用对其进行装修，假设装修的费用为K。这时旧车交易可用图4.6中的扩展形表示。由于V、W、P和K的具体数值可以有各种不同的具体表现情况，因此该模型其实可代表多种具体模型。

图4.6

依据图中的得益关系，我们通过分析可以发现，如果P＞C，V＞P＞W，即车的交易价格大于装修费用，此时，对买方来说，车的状况较好时，车的价值大于交易价格，而车况较差时，车的价值小于交易价格，显然车况好时成交对买卖双方都有利；而车的状况较差时成交，对卖方有利而买方遭受损失；车况较好时，成交未实现，买卖双方虽没有直接的损失，但也丧失了得益的机会，有机会成本发生；车况较差时如果卖方想卖而又没有卖出去，则卖方就将损失一笔用于车的装修的费用，买方不会有任何损失。

当旧车交易满足上述关于旧车价值、价格和费用的条件时，买卖双方都有积极的选择，但这些选择对自己可能有一定的风险，如果选择比较保守则又可能丧失获得潜在交易利益的机会。因此，当买方无法通过比较多的信息来确定车况好坏的情况下，买方的任何策略选择都不可能是绝对的上策，卖方也可能遭受因为需要花费一定的金钱去装修车况较差的车，但仍卖不出去而受到损失的危险，其卖或不卖两种选择也没有绝对的优劣，可见，买卖双方的决策和博弈结果具有不确定性。

三、旧车市场交易模型的精炼贝叶斯均衡

如果我们假设旧车市场上质量差的旧车出现的概率pb很小，买方也相信市场上还是好车占绝大多数，同时卖方用来装修差车的费用K相对于价格P而言是很小的，那么下列策略组合和判断构成一个市场部分成功的精炼贝叶斯均衡：

（1）不管旧车质量好坏，卖方都选择卖

（2）只要卖方愿意卖，买方就选择买

（3）买方关于旧车质量状况的推断是p（g｜s）＝pg，p（b｜s）＝pb

下面我们用动态博弈分析中的逆向归纳法来证明上述策略组合是一个精炼贝叶斯均衡。显然买方在自己的决策信息集处选择买时的期望得益为pg（V－P）＋pb（W－P）。根据前面的假设V＞P＞W及pb很小的条件，显然该期望得益是一个正值，因此买方选择买能实现较大的期望得益。如果买方选择不买，他的得益为0，因此只要卖方选择卖，轮到买方选择时必然会选择买。

对于卖方而言，卖方清楚买方上述推断和决策思路，只要自己选择卖就一定能卖得出去。如果卖方的旧车是部质量还不错的好车，则选择卖的得益（P）大于选择不卖的得益（0），肯定会选择卖；如果车的质量较差，那么卖方仍然选择卖的得益为P－K，为正值，因此卖方肯定选择卖。所以，无论卖方的商品是好还是差，卖都是他惟一合理的选择。卖方的这种均衡策略正好与买方关于旧车质量的推断p（g｜s）＝pg和p（b｜s）＝pb相符合，因此上述策略组合推断满足精炼贝叶斯均衡1至3的要求。在上述均衡策略下，本博弈不存在不在均衡路径上的信息集，要求4是自动满足的。这就证明了上述策略组合及推断是一个精炼贝叶斯均衡，而且是该博弈在上述假定条件下惟一的精炼贝叶斯均衡。

根据前面介绍的市场实现精炼贝叶斯均衡类型的分类方法，上述均衡属于市场部分成功的均衡类型，也是一个混同均衡。在该均衡中，卖方的行为完全不能传递商品质量的真实信息。在这样的市场中，虽然大多数情况下商品都是好的，买卖双方能分享到贸易的利益，但也有少数时候买方受骗上当蒙受损失。

在该交易模型中，精炼贝叶斯均衡存在两个关键条件P＞K和pg（V－P）＋pb（W－P）＞0。不能忽视的是，前者使得拥有差车的卖方有出售的意愿，后者使得买方在信息不完美的情况下仍然有信心购买，这两个条件使得信息不完美的市场得以运作，尽管有时也会有些问题存在。

如果我们设P＜K，即将差车装修成好车的费用比较高，则该博弈的精炼贝叶斯均衡将会发生很大的变化。当P＜K时，若车况差，即使交易成功，卖方仍然要亏损，若卖方卖不出去则要净亏K，因此他的惟一选择是不卖。假设其他条件都没有变，则车况好时卖方仍会选择卖。这时下列策略组合就构成一个贝叶斯均衡，而且是一个市场完全成功的分离均衡：

（1）卖方在车况好时选择卖，车况差时选择不卖

（2）只要卖方愿意卖，买方就选择买

（3）买方关于旧车质量的推断为p（g｜s）＝1，p（b｜s）＝0

此时，买方完全拥有关于旧车质量的完全信息，包括对卖方装修差车所需费用等信息都是了解的，了解不同车况条件下卖方的行为选择：若卖方卖车时，车况肯定是好的，若不卖则表明车况很差。这样卖方的行为选择就给买方提供了进行准确决策的信息，即推断p（g｜s）＝1和p（b｜s）＝0。

在上述判断下，我们就可以用逆向归纳法来论证上述策略组合和推断是一个精炼贝叶斯均衡。买方在轮到自己选择时，买下旧车的期望得益为1×（V－P）＋0×（W－P）＝V－P＞0，不买的得益为0，因此买是他的惟一选择。现在再看卖方的选择，给定买方的策略，如果车况较好，那么卖车时的可能得益为P＞0，不卖则得益为0，不卖比卖好，显然卖方应该选择卖；如果车况较差，那么卖方选择卖时的得益P－K＜0，不卖得益为0，他只能选择不卖。因此卖方的最佳策略是在好、差两种车况下分别选择卖和不卖。

此时我们可以看出买方在均衡路径上信息的判断符合双方的均衡策略和贝叶斯法则，该均衡策略组合下也不存在不在均衡路径上的信息集，这就证明了上述策略组合是精炼贝叶斯均衡。根据市场实现精炼贝叶斯均衡类型的分类方法，可以看出这是一个市场完全成功类型的分离均衡。

上述两种均衡中的推断是依据得益而作出的。如果关于某个节点将以何种概率大小达到的判断，不是从得益中直接得到，而是需要买方根据以往的经验或其他信息推断出来，甚至买方根据以往的经验，推断当卖方选择卖时车况一定是很差的，即p（g｜s）＝0和p（b｜s）＝1，那么下列策略组合和该推断一起构成一个最不理想的市场完全失败的精炼贝叶斯均衡：

（1）卖方选择不卖

（2）买方选择不买

（3）p（g｜s）＝0和p（b｜s）＝1

这是一个买方的推断信息集根本不会达到的策略组合，即买方的推断是不在均衡路径上的信息集处的推断，因此满足精炼贝叶斯均衡的要求4。该推断可以理解为：如果卖方决定卖车，那么该车一定是差的。在这样悲观判断下，市场完全失败当然不足为怪。

在该推断下，买方选择买的期望得益0×（V－P）＋1×（W－P）＝W－P＜0，“1”改为0显然买方的策略选择是不买。此时得益至多为0，而不会是一个负数。若给定买方不买，则卖主选择卖时对应车况好、差的得益分别为0，－K，都比不卖差，因此不卖是他的合理选择。这说明上述策略组合推断满足序列理性要求，而且判断已经满足精炼贝叶斯均衡的要求4，这说明上述策略构成一个市场完全失败类型的精炼贝叶斯均衡，而且是一个混同均衡。

四、旧货交易模型的混合策略精炼贝叶斯均衡

我们已经讨论了四种市场类型中的三种市场类型的精炼贝叶斯均衡，而且是纯策略精炼贝叶斯均衡，但还是没有对市场接近失败的均衡类型进行讨论，下面我们就对其进行分析。

我们知道，市场接近失败类型的均衡市场的特征是，其精炼贝叶斯均衡必须满足两个条件：P＞K，即价格高于差车装修的费用，此时差车的拥有者愿意卖车，以及p（g｜s）（V－P）＋p（b｜s）（W－P）＜0，即如果买方买下所有卖方出售的车子，他的期望得益小于0。在这种情况下，如果双方采用纯策略，买方只能选择不买，而卖方也只好选择不卖，市场完全失败。下面我们采用混合策略进行分析。所谓混合策略即拥有差车的卖方以一定概率随机选择卖还是不卖，而买方也以一定的概率随机选择买还是不买。如果它是一个均衡，则正是前面所说的市场接近失败类型的均衡。

为了方便分析，我们用一个数值例子来说明。如果V＝6000，W＝0，P＝4000，k＝2000，如果和差车的概率均为pg＝pb＝0.5，由于P＝4000＞k＝2000，因此拥有差车的卖主有卖的愿望。并且，当买方不管车况好坏全都选择购买，而卖方一定会选择卖时，买方的期望得益为

因此买方不顾车况好坏全部购买的选择不是好的策略，如果限于纯策略，结果必然是市场完全失败。

如果博弈方使用混合策略，情况又会是怎样的呢？我们可以证明下述策略组合及推断构成一个市场接近失败（而不是市场失败类型）的精炼贝叶斯均衡，即把一个市场完全失败类型，转化为了市场接近失败的类型。

（1）卖方在车况好时选择卖，在车况差时以0.5的概率随机选择卖或不卖

（2）买方以0.5的概率随机选择买或不买

（3）买方关于旧车质量的推断为p（g｜s）＝2/3，p（b｜s）＝1/3

由于pg＝pb＝0.5，根据卖方的策略可知p（s｜g）＝1，p（s｜b）＝0.5。因此根据贝叶斯法则，卖方选择卖的情况下车况好的条件概率为

显然同买方的推断完全一致，二者的推断均符合贝叶斯法则。

我们再来看双方的策略是否满足序列理性的要求。在上述推断下，买方选择买的期望得益为

这与选择不买时的得益相同，因此买方的混合策略满足了序列理性的要求。

在交易的旧车车况好时，如果买方以0.5的概率随机选择买和不买的策略，则车况好的卖方选择卖的期望得益为

0.5×4000＋0.5×0＝2000＞0

比不卖时的期望得益大，卖是卖方此时惟一的选择。

在交易的旧车车况较差时，卖方装修旧车之后卖掉车时的期望得益为

0.5×2000＋0.5×（－2000）＝0

与选择不卖的得益是相同的，因此卖方的混合策略也满足序列理性的要求。

上述分析表明，买卖双方的上述混合策略组合和买方的推断构成一个精炼贝叶斯均衡，而且是一种市场接近失败类型的均衡。

五、有两种价格的旧货交易模型

下面我们讨论旧车价格分有高、低两种情况的旧车交易模型，这比单一价格的旧车市场交易模型要更接近现实。

设旧车有好、差两种类型，显然卖方的选择除了卖或不卖之外，还有卖高价还是卖低价两种选择。我们设卖方在车况好和差时都可选择卖高价或低价。用Ph和Pl分别表示高价和低价。再假设只有车况差而卖方又想卖高价时才需要对车子进行装修，设费用仍为K。其他假设和单一价格模型相同。该两种价格的旧车交易模型可用图4.7表示，显然应有V＞W和Ph＞Pl。

图4.7

进一步作如下合理性假设：

V－Ph＞W－Pl＞0＞W－Ph

该不等式意味着用高价买好车比用低价买差车要合算，而用低价买差车还不至于亏本，但如果用高价买到一辆差车则要吃亏。不过对于买方来说，如果能用低价买到好车，这时他的得益比用高价买到好车还要大（V－Pl＞V－Ph），这当然是最好不过的了，不过这种机会一般只会是小概率事件。

在上述模型中，由于卖方在车况好和车况差时都有选择高、低两种价格的可能性，此时买方并不能简单地根据价格的高低判断车况的好差。买方要作出“推断”必须根据对方策略、自己的经验和贝叶斯法则才能实现。

下面我们再来分析具有两种价格的旧车交易模型的策略均衡问题。我们首先证明当K＞Ph时，该博弈模型出现市场完全成功的精炼贝叶斯均衡。假设车的价格能完全反映车况的好差，车况好时卖方会卖高价，车况差时卖方会卖低价，而买方全部购买卖方所出售的车子。该精炼贝叶斯均衡的双方策略组合和相应的推断为：

（1）卖方在车况好时卖高价，车况差时卖低价

（2）买方全部买下卖方出售的旧车

（3）买方关于旧车质量的推断是p（g｜h）＝1，p（b｜h）＝0，p（g｜l）＝0，p（b｜l）＝1

其中四个条件概率依次为卖方卖高价时车况好、卖高价时车况差、卖低价时车况好、卖低价时车况差的条件概率。

我们仍然用逆向归纳法来论证上述策略组合和推断确实构成精炼贝叶斯均衡。对买方来说，给定自己的上述判断，如果卖方索要的是高价，则选择买的期望得益为

p（g｜h）（V－Ph）＋p（b｜h）（W－Ph）＝V－Ph＞0

两种情况下选不买的得益都是0，因此对买方来说买是相对于不买的绝对上策。

对于卖方来说，在买方的上述推断和策略下，当车况较好时，即有Ph＞Pl时，应当索要高价，当车况较差时，由于Pl＞0＞Ph－K，因此卖低价才是合理的，所以车况好时卖高价，车况差时卖低价确实是卖方惟一的符合序列理性的策略。

当卖方采取上述策略时，再看前面买方的推断显然是完全合理的。这样上述策略组合及相关的推断就通过了精炼贝叶斯均衡的各个要求的检验，是一个精炼贝叶斯均衡。根据前面关于市场和均衡类型的分析方法，该精炼贝叶斯均衡也是一个市场完全成功类型的分离均衡，显然这是市场均衡中最有效率的一种。

第四节　逆向选择与道德风险

一、逆向选择（Adverse Selection）

上述有关两种价格旧车交易的较为理想的市场均衡状态，在现实的旧车交易中并不普遍，因为在某些情况下，特别是K的大小比较不利的情况下，常常会导致较差的市场均衡情况，包括市场完全失败的情况。一种极端的情况是K＝0，即以次充好完全不需要装修成本的情况。在这种情况下只有傻瓜才会卖低价，高价已完全不能够证明车况的好坏，如果这时再满足

pg（V－Ph）＋pb（W－Ph）＜0

即买方选择购买的期望得益小于0，则买方的选择必然是不买。这时旧车根本卖不出去，这样的市场实际上就是无效市场，根本无法进行任何市场交易活动，卖方最后只好全部退出市场，即使是质量好的旧车，也不再有人购买。上述这种在信息不完美情况下，劣质品赶走优质品，搞垮整个市场的现象称为“逆向选择”（Adverse Selection）问题，它最先是由乔治·阿克洛夫（George Akerlof）在讨论柠檬市场交易问题时提出的，因此又称为“柠檬原理”（Lemons Theory）。逆向选择是指信息不对称的市场会把优秀的资源赶出局，而不是把低劣的资源淘汰掉的现象。

下面我们来分析逆向选择这一现象是如何发生的。

在一般情况下，由于不完美信息，旧车市场上的卖方了解每部旧车的真实信息，但买方不完全了解这些信息，因此，买方要想确切地辨认出旧车市场上哪些是好车，哪些是差车是困难的。所以，对于那些希望购买旧车的买主来说，在购买旧车之前就能了解哪辆旧车属于好车，或哪辆旧车属于差车是难以办到的，最多只能了解好车和差车的概率分布。假设有一个买主购买了一辆新车，在使用过一段时期后，买方逐渐了解了这辆新车的质量状态。我们假定这辆车的质量是“好”的，然而，当这辆车被放在旧汽车市场出售时，它并不一定能够按照卖主预期的“高价”卖出。原因在于，由于旧车市场中同时也存在一定比例的低质量差车，而且这些低质量差车表面上与这些要出手的车没有什么差别，因此，任何旧车的交易价格取决于那些低质量差车的交易价格。然而，因为买方事先不能区别所购买的旧车之间质量的高低，所以，所有外表相同的旧车都以同样的价格交易。这样，高质量旧车的存在使那些拥有低质量旧车的卖主不愿意以较低的价格卖出旧车，他们更愿意将旧车保留到它们的低质量性质将要显示出来为止。在这种情况下，拥有好车的卖主往往将他们的旧车撤出市场。简单地说，那些低质量的旧车将高质量的旧车排挤到市场之外。很显然，这是一个逆向选择问题。由此，阿克洛夫解释了为什么即使是只使用过一次的“新”车，在旧车市场上也难以卖到高价钱。

下面通过一个简单例子进一步说明逆向选择问题。假设存在这样一个市场，有100人希望出售他们的旧汽车，同时又有100人想买旧汽车，买主和卖主都了解这些旧汽车中高质量与低质量的汽车各占50％。并且，拥有高质量和低质量旧汽车的卖主的预期售价分别为2000美元和1000美元，而高质量和低质量旧汽车的潜在买主的预期支付价格则分别为2400美元和1200美元。

如果买卖双方关于旧汽车的信息是完美的，那么买主很容易确定旧汽车质量状态，该市场交易不存在什么问题。低质量旧汽车按1000～1200美元之间的某个价格出售，高质量旧汽车按2000～2400美元之间的某个价格交易。然而，由于信息的不完美，买主不能掌握某辆旧汽车的具体质量状态，在这种情况下，买主不得不对每辆旧汽车的质量进行推断。假定如果某辆旧汽车属于高质量或低质量汽车的概率相等，那么，典型的买主将愿意以预期值购买这辆旧汽车，即愿意支付1/2×1200美元＋1/2×2400美元＝1800美元购买旧汽车。但是，哪些卖主愿意以该价格出售他们的旧汽车呢？拥有低质量旧汽车的卖主当然愿意以该价格出售他们的商品，而拥有高质量旧汽车的卖主则不愿意以此价格出售旧汽车——他们出售旧汽车的最低预期价格为2000美元。结果，买主希望以平均质量购买旧汽车，而这个预期价格一般低于高质量旧汽车的最低预期售价，故旧汽车市场上只有低质量旧汽车可供出售。

如果买主确信他们将只能购买到低质量的旧汽车，那么，他们将不愿意再以原有市场的平均质量的预期值1800美元购买旧汽车。因此，该市场的均衡价格必然在1000～1200美元之间。在该价格范畴内，只有低质量的旧汽车出售，而没有高质量的旧汽车交易。这时，由于买不到所期望的高质量的旧汽车，买方就会做出相应对策，将他们愿意购买的旧车价格下调，如价格调至800～1000美元，这样价格高于1000～1200美元的旧车又将撤出市场，如此循环，最后，市场均衡的结果就是没有任何旧车交易发生，市场出现失灵，成为一个完全失败的市场。

逆向选择的例子很多，比如保险市场、劳动力市场、货币及资本市场上都存在这一问题。

在保险市场中，保险合同的缔约双方之间存在着不容忽视的信息差别，这个事实已经并且将继续妨碍着某些高效合同的签订。例如，假定参加人寿保险的社会成员根据意外事件的不同概率被划分为不同的风险类别，保险公司仅仅知道投保人在某类意外事件的平均风险。又假设每个希望保险的社会成员都知道他属于哪个风险类别的成员，因而也了解其承担风险的概率。但是，保险公司不能准确地按照投保人的真实风险水平区分投保人。由于受到这种约束，保险公司只能向所有投保人提出大致相同的保险费用。因此，在保险公司任何指定的价格水平上，高风险的社会成员将购买更多保险，而低风险的个人必然购买更少的保险。结果，保险统计的预期与所有参加保险者同等参与的结果相比，或者与不同风险水平支付不同保险费用这样一种理想模式的结果相比，保险公司所处的选择境况更为不利。在实际操作中，保险公司为了避免这种窘境不得不投入大量人力、物力和财力收集投保人私人信息，然而，这样做只能降低或减缓保险公司的不利选择程度，风险并没有由此得到有效分担。再比如愿意参加保险的人很可能是身体有问题的人。身体是否有问题，投保人比保险公司更清楚，也就是说，投保人具有私人信息。保险公司知道这点，就把保险费定得很高，这样，身体好的人就更不愿参加保险，这部分人就退出了市场。所以，热衷于买保险的人往往是身体不好或年龄较大的人。因此，保险公司不能从根本上消除逆向选择境况，社会风险承担的均衡配置将是低效率的。

保险公司为社会提供两种保险合同。一是总体保险合同，即保险公司对于不同风险个人都按同样方式收取同样保险费，这样，投保人在发生意外时也将得到同样的赔偿。显然，采用统一合同的保险公司的收益取决于具有不同风险类别的投保人的比例，如果高风险个人在投保人中所占比例较高，那么，保险公司有可能收益较小或者亏损。为了避免高风险个人“搭便车”的情况发生，保险公司又提供另外一种保险合同，即差别保险合同。它根据投保人不同风险类别收取不同保险费用，并以此给予不同的损失补偿。这样，低风险的个人就被这类保险合同吸引了，在总体保险合同市场只剩下高风险的个人，从而提高了提供这类保险的保险公司的经营风险，因此，几乎所有的保险公司都不愿意向社会提供总体保险合同。然而，当保险公司不向社会提供总体保险合同时，高风险的个人将转移到提供差别保险合同的市场中，使差别保险合同的市场既存在高风险个人，也存在低风险个人。但是，保险公司不能准确地将这两类投保者区分开来，只能设计出一套不完备的保险体系，使高风险个人与低风险个人能够分别购买不同的保险合同。当然，如果人们能够找到这样一种保险体系，由此达到的均衡就是所谓的差别保险的纳什均衡。由于作为委托人的保险公司难以有效识别出作为代理人的投保者的风险类别，保险合同所发挥的市场效用将变得较低，由此出现的市场效率也是低下的。

在劳动力市场上，劳动者的能力是劳动者的私人信息。所以，企业愿意出的工资是一个平均数，这样，能力特别强的人就会退出这个市场。所以，在一般劳动力市场上的往往是能力中等或能力差的人。但企业又需要能力强的人，于是就有了猎头市场。企业把识别劳动者能力的任务交给猎头公司，并且猎头公司要承担风险。

在货币市场上，项目是否有风险是借款人的私人信息。所以，贷款人对贷款利率的出价是一个平均风险水平的价格，这样，风险低、收益低的稳定型借款者就会退出市场。所以，银行的坏账一天天增加。在资本市场上，每个借贷者要求同样数目的贷款条件下，银行不能对借款者按照回报率的大小给予不同的利息率。银行能否收回贷款并获得利润，既取决于借款者的经济效益，也取决于银行所处环境状态的各种不确定性。具体地说，当银行以借款者的经济收益作为利息率标准，那么，借款者就会利用银行难以观察或不可能观察到的信息对之做出对策，如虚报利润额，由此在一定程度上使银行承担的风险减少以利于银行。但是，银行借贷的预期仍然存在着许多不确定结果，如借款者难以抗拒的风险力量，借款者破产或携款逃亡等。因此，所有的信贷活动都涉及到借款者因主观或客观原因丧失清偿能力的违约风险。显然，正是银行与借款者之间信息的非对称，才出现了使作为委托人的银行不利的市场选择境况。

为了避免不利选择的结果，市场参加者都试图明确产品或服务价格与质量之间的关系。斯彭斯（Spence）将这种关系用“市场信号”（Market Information）的概念来描述。阿罗则认为，通过有效的信息收集，人们能够直接认识到不利选择的内容，并相应地限制这类现象的出现。保险公司也发现，从事信息收集和建立高效率的信息系统以减少不利选择的范围是一项有利可图的工作。在资本市场上，银行系统活动中的相当部分就是准确地收集有关潜在债务人的信息，并对借款者进行间接的信息控制，从而限制不利选择的范围。

二、道德风险（Moral Hazard）

上述旧车交易市场还给我们揭示了交易博弈中的另一个问题：道德风险。

道德风险是指占有信息优势的一方在最大化自己利益的同时采取不利于他人利益的策略。道德风险存在于信息不对称、合同不完备、合同实施成本过大等情况之中。

信息不对称：由于一个人拥有私人信息，就占有信息优势，从而可以找机会偷懒或不负责任。在委托—代理问题中，代理人具有委托人不知道的私人信息。

合同不完备：由于人们的知识和预测能力是有限的，不可能把所有可能发生的情况都写进合同中。合同实施成本过大，即便能够把所有可能情况都写进合同中，由于实施成本过大，往往也难以完全实施。

总之，由于信息不对称、合同不完备、合同实施成本等原因，人们往往宁愿接受由于道德风险所带来的损失。因为搜寻信息需要成本、制订完备合同需要成本、完美实施合同需要成本，当这些成本高于因道德风险造成的损失时，就选择任由道德风险的存在。所以，在委托人—代理人之间，往往寻求的是一种均衡，当监督和签订、实施合同的边际成本等于道德风险的边际成本时，均衡就形成了。

三、委托—代理理论（Principal-Agent Theory）与道德风险

在第二章中，我们介绍了一个“监察博弈”模型，当时我们说过这是一个“委托人—代理人”模型。其实委托人（Principle）和代理人（Agents）之间的博弈关系是现代经济学研究的重要内容，通常称为“委托人—代理人理论”。在委托人—代理人关系中，存在着信息的不对称。掌握信息多的市场参加者为代理人，掌握信息少的市场参加者为委托人。由于代理人掌握委托人不了解的市场信息和个人信息，如企业的实际经营情况，代理人个人的能力和工作的努力程度，外部环境对企业的影响等，因此可能存在着较大的代理人道德风险，这里以一个委托人—代理人模型为例，来分析一下其中可能产生的道德风险问题。

1．委托—代理关系（Principal-Agent Relationship）：生产博弈

在市场经济活动中，由于所有权和经营权的分离，经常有大量的所有权一方委托另一经营方完成某些特定的企业生产经营活动。如企业主聘用员工进行生产，董事会聘请职业经理管理企业等。最典型的委托人—代理人关系就是上市公司的股东和公司管理层之间的关系。这些活动的共同特征是委托方的行为依赖于代理人的私人信息，委托方对代理人的行为具有不完全信息。即委托方的利益直接取决于与被委托方的行为，被委托方行为效率的高低在一定程度上直接决定了委托方利益的好坏，比如政府对被管制垄断企业（代理人）的成本结构具有不完全信息，政府只能依据这些不完全信息来设计激励方案，以便根据垄断企业的成本来确定对它的转移收益。然而在委托人—代理人关系中，委托方却不能直接控制被委托方的行为，有时对被委托方工作的监督也非常困难，除非被委托方直接将其私人信息告诉委托方，然而被委托方一般是不会讲实话的，委托方只能通过薪酬及其他福利等条件来间接影响被委托方的行为。如政府和被管制垄断企业之间、基金购买者与基金管理者之间、股民与上市公司之间等就是如此，所有这些关系在经济学中都称为“委托—代理关系”，其中委托方称为“委托人”，被委托方称为“代理人”。

虽然书面合同、协议，或口头委托等委托协议有明显的委托内容和委托关系，但这些委托协议没有也不可能考虑到所有经济社会关系的影响，没有也不可能考虑到工作中所有可能的状态，这些影响或状态是没有明显的委托关系的，但这样的委托协议对委托方的利益却会产生直接的影响。

委托人—代理人关系有多种不同的表现形式，其中最主要的区别是监督的难易及由此而产生的代理人道德风险。例如在车间里工作的工人，其工作是比较容易监督的，但奔波在外的采购员的工作却很难监督，你不能准确地了解他们工作的状况和工作业绩之间的关系。如果采购员的工作状况能够完全反映其工作成果，也就是说其工作业绩完全取决于其工作情况，那么就不存在监督问题，此时根据工作业绩完全可断定采购员的工作情况。然而工作成果往往不完全取决于代理人的工作情况，如律师努力工作并不能保证打赢官司，销售员非常努力，但工作业绩（销售额）仍然很差，在这种情况下由于监督问题而产生的代理人道德风险就可能无法避免。

正是因为监督困难及代理人道德风险的存在，因此委托人如何通过委托合同的设计等“机制设计”来激励代理人的有德行为，并使其符合委托人的利益，就是委托人—代理人理论中非常最重要的一个问题。这样上述委托—代理问题就转化为有效的“激励机制设计”或“机制设计”问题，如委托合同中的核心条款常常设计的主要是工资、奖金或股权等薪酬制度内容等问题，因此委托人—代理人关系常常就是工资制度等激励机制选择的博弈。

下一章我们将要介绍的“效率工资”（Efficiency Wages）博弈模型也是一个很好的委托—代理关系问题。该模型的设计是这样的：企业首先给出一个工资水平，然后员工考虑是接受还是拒绝。如果员工拒绝，则他只能自雇；如果员工接受，则员工进而选择是努力工作（此时有负效用）还是偷懒（此时无负效用）。假设企业无法看出员工工作是否努力，只能看到产量的高低（产量有高低两种情况）。下面我们对“效率工资博弈”模型的假设条件进行一下修改，把它改造成一个委托—代理关系模型，并分别就几种委托—代理关系中的激励机制设计问题进行分析。

2．基于确定性工作成果时的生产博弈激励机制设计

机制设计的特点是假设委托人选择一种能给自己带来最大期望值的机制，而不是由于历史或制度的原因来选择一种特定的机制。委托—代理关系中的激励机制设计也是如此，它是一个典型的三阶段不完全信息博弈。在第一阶段，委托人设计一种“机制”、“契约”或“激励方案”，委托人发出无成本的信息，该信息“配置”的结果取决于某些可观察的变量以及委托人向代理人转移的得益（可以为正值，也可以为负值）；在第二阶段，代理人接受或拒绝该机制，拒绝的代理人得到某种外生的保留得益；在第三阶段，接受该机制的代理人在该机制下选择自己的博弈行为。关于机制设计我们在下一章将会专门阐述。

我们首先分析委托人—代理人激励机制设计中具有完全工作成果（产出）信息时的激励机制设计，此时委托人关于代理人的工作成果是确定的。根据“效率工资博弈”模型，我们假设某企业（上市公司），其经理层（代理人）的工作成果和工作状况之间具有确定性，即经理层的工作成果是工作努力程度的确定性函数，这样企业的股东（委托人）就可以根据经理层的工作成果掌握其工作情况，不需要任何监督。此外，假设委托关系是基于标准的合同委托，股东的策略选择是提供或不提供委托合同给经理层，即是否选择这样一个独立的经理层来帮助经营企业，经理层的策略选择是是否接受合同，以及接受合同后是否努力工作，也就是经理层只有“努力”或“偷懒”两种选择。这构成一个三阶段的有不完全信息的动态博弈，每阶段博弈双方都有两种选择，如图4.8所示。

在该博弈中，博弈方1代表股东，博弈方2代表经理层。首先是股东进行选择，选择是否给予经理层以委托，即是否给予经理层委托合同。如果股东不委托，股东自己既是企业的所有者，又是企业的经理者，此时他得不到外聘经理层的服务，我们用R（0）表示没有经理层的服务时股东的利益，其取值可能是正值、0，甚至负值。当股东选择不委托时，经理层就没有收益，得益数为0（这里不考虑经理层自雇或接受其他的委托）。如果委托人选择接受委托，则转入由经理层进行选择的第二阶段。

图4.8

在第二阶段经理层先选择是否接受股东的委托。若经理层选择不接受委托，双方得益与第一阶段股东不委托完全相同。如果经理层选择接受委托，则他还需要在第三阶段选择是“努力”还是“偷懒”。如果经理层在第三阶段选择“努力”，那么股东得到的产出R（E）将较高，不过股东要给经理层支付的报酬ω（E）也较高，此时经理层有较高的负效用－E（如休息时间的减少，损害身体健康等），因此股东和经理层的得益分别是R（E）－ω（E）和ω（E）－E。如果经理层在第二阶段选择“偷懒”，股东得到的产出R（S）肯定较低，股东给经理层支付的报酬ω（S）也较低，但经理层此时只有较低的负效用－S，这时双方得益分别为R（S）－ω（S）和ω（S）－S。

由于经理层的工作成果具有确定性，股东和经理层双方都清楚自己和对方的得益情况，都能观察到对方的选择，显然这是一个完全且完美信息的动态博弈，我们仍然用逆向归纳法来分析该博弈。

首先分析股东在第一阶段选择了委托，经理层在第二阶段选择接受委托的情况下，第三阶段经理层是选择“努力”还是“偷懒”的情况。显然当

ω（E）－E＞ω（S）－S

ω（E）＞ω（S）＋E－S

时，即当经理层努力工作时得到的报酬，大于偷懒时得到的报酬，以及至少还有一个不低于能补偿其努力工作时的负效用后的增加额时，经理层才可能自觉选择努力工作。我们称上述不等式为经理层“努力”的“激励相容约束”（Incentive Compatibility Constraint，简写成IC），或“刺激一致性”，即给定股东提出委托和经理层接受委托的前提下，经理层在所设计的机制内努力工作，不会产生经理层道德风险时必须满足的条件。如果

ω（S）－S＞ω（E）－E

经理层一定会选择懒惰，经理层的道德风险肯定产生。此时偷懒的负效用肯定小于努力工作的负效用，因此如果懒惰和努力得到的报酬相同，即ω（S）＝ω（E），经理层必然选择偷懒。

倒推回到第二阶段，经理层对是否接受委托进行选择。由于第三阶段经理层的选择有努力和懒惰两种可能，经理层在第二阶段的选择对应着努力和懒惰两种情况下的得益，因此我们必须分两种情况讨论第二阶段的选择，如图4.9所示，其中图4.9（a）是经理层在第三阶段选择“努力”的情况，（b）反映的则是经理层第三阶段选择“偷懒”的情况。

图4.9

根据图4.9可以看出，当ω（E）－E＞0和ω（S）－S＞0时，经理层选择接受委托而不是拒绝委托。这两个关系式分别称为两种情况下的“参与约束”（Participation Constraint，简写成PC），即经理层愿意接受股东委托的基本条件，此时，经理层接受委托所得到的好处，至少比不接受时要好。

最后再倒推回到第一阶段股东的选择。如果经理层在第二阶段的选择是拒绝，那么股东委托不委托结果都一样。如果经理层第二阶段选择接受，那么又有两种不同的情况，即分别对应经理层第三阶段选择努力和懒惰时的两种情况。其面临的两种选择如图4.10所示，其中（a）为第三阶段经理层选择努力的情况，（b）为第三阶段经理层选择偷懒的情况。

图4.10

在（a）的情况下，股东选择委托的“参与约束”为：R（E）－ω（E）＞R（0），当R（S）－ω（E）＜R（0）时，股东会选择不委托。在（b）的情况下，股东选择委托的条件是R（S）－ω（S）＞R（0），当ω（S）－S＜R（0）时股东选择不委托。综合上述三个阶段两博弈方的选择，就可以得到本博弈的子博弈精炼纳什均衡。下面我们用一个数值来做进一步说明。设经理层努力工作时的投入产出函数为R（e）＝10e－e^2，E＝3，S＝2。因此R（0）＝0，R（E）＝21，R（S）＝16。再假设ω（E）＝4，ω（S）＝2，显然，ω（E）－E＝1＞ω（S）－S＝0，满足促使经理层努力的激励相容约束，ω（E）－E＝1＞0，满足经理层接受委托的参与约束，R（E）－ω（E）＝15＞R（0）＝0也满足股东提出委托的条件，此时，博弈具体的子博弈精炼纳什均衡是：股东选择委托，经理层接受委托并努力工作。

以上“激励相容约束”和“参与约束”条件就是在该生产博弈具有确定性工作成果时进行激励机制设计的具体依据。

3．基于不确定工作成果时的生产博弈激励机制设计

具有不确定性工作成果的激励机制设计问题要复杂许多，它又可以分为以下两种情况：

（1）具有不确定工作成果但可观察时的激励机制

假设在该生产博弈中，关于经理层的工作成果的信息具有不完全性，即股东对经理层的工作成果具有不确定性，但股东对经理层有完全监督的能力。此时经理层的努力水平和其工作成果之间不再完全一致，因此股东必须对是根据经理层的工作情况还是其工作成果来对经理层实施报酬激励进行选择。当股东对经理层的工作可完全观察或监督时，股东可根据经理层的工作情况而不是工作成果来支付其报酬。股东根据经理层的工作情况而不是工作成果支付报酬，意味着经理层工作成果的不确定性直接影响的只有股东的选择，不会影响经理层的选择，但会通过股东的选择对经理层的利益产生间接影响。

假设模型中的不确定性表现为：产出水平分别有30和15单位两种不同的状态，经理层选择努力工作时有0.8的可能得到30的产出水平，有0.2的可能得到15的产出水平；经理层选择偷懒时有0.2的可能得到30的产出水平，有0.8的可能得到15的产出水平。再假设R（0）＝0，其他条件则与上面模型一样，则博弈可用图4.11来表示该博弈。

我们仍然用逆向归纳法进行分析。由于博弈方0，也就是“自然”是按照概率分布随机选择，因此不需要对它进行分析，我们的分析从代理人第三阶段的选择开始。

图4.11

不难发现对于经理层的选择来说，该模型与前一个模型其实没有差别。由于经理层的报酬和“努力”时的负效用都与工作成果没有关系，“自然”对产出高低的选择并不直接影响经理层的利益，因此，经理层在本模型中努力或偷懒的激励相容约束和参与约束条件为：当ω（E）－E＞ω（S）－S时选择“努力”，当ω（E）－E＞0和ω（S）－S＞0会接受“委托”，与前面模型的激励相容约束和参与约束条件完全相同。

最后再来分析股东在第一阶段的选择。由于股东对经理层的工作状况有完全的监督，也完全清楚经理层的选择，因此股东对经理层的工作信息的掌握是全面的，不过股东仍需根据“懒惰”和“努力”两种不同的情况来分别进行选择。

如果经理层选择接受股东的委托并选择“努力”工作，那么股东有0.8的可能性获得高产出的得益，有0.2的可能性获得低产出的得益。对股东来说，如果他是风险中性的，当他选择委托的期望得益大于不委托，即有下式成立时

0.8×［30－ω（E）］＋0.2×［15－ω（E）］＞0

他应该选择委托，如果选择委托的期望得益小于不委托，即

0.8×［30－ω（E）］＋0.2×［15－ω（E）］＜0

他应该拒绝委托。

如果经理层选择接受股东的委托但选择“偷懒”，则股东有0.2的可能性获得高产出的得益，有0.8的可能性得到低产出的得益。同样，如果股东是风险中性的，且

0.2×［30－ω（S）］＋0.8×［15－ω（S）］＞0

即他选择委托的期望得益大于不委托时，他应该选择委托，如果

0.2×［30－ω（S）］＋0.8×［15－ω（S）］＜0

即他选择委托的期望得益小于不委托时，则他应该选择不委托。上述双方的选择都是对应两种不同情况的子博弈精炼纳什均衡。

（2）具有不确定工作成果但可观察时的激励机制

假设在该生产博弈中，关于经理层的工作成果的信息具有不完全性，即经理层的工作成果具有不确定性，而且股东无法监督经理层的工作情况。此时股东只能根据经理层的工作成果支付报酬。和上一个模型相比，假设除了股东对经理层的监督从可以监督改为无法监督，以及股东只能根据经理层的工作成果而不是工作情况支付报酬以外，模型的其他方面都完全一致，则我们可以用图4.12来表示该博弈。

此时，博弈双方的策略选择及最后的均衡与前面的模型有较大的区别。最大的不同是，现在经理层的利益也直接受到了不确定性的影响。在这种情况下，股东核心的问题是如何设计有效的机制来激励经理层努力工作，而不是偷懒。下面我们就来分析促使经理层选择“努力”的激励相容约束、参与约束条件，以及股东相应选择委托的条件。

首先假设在第三阶段经理层选择努力工作，此时，只要风险中性的经理层选择努力工作的期望得益大于选择偷懒的期望得益，即“激励相容约束条件”IC为

图4.12

时，经理层就会选择努力工作。

倒推回第二阶段，当经理层选择接受的期望得益大于不接受的得益值0时，即“参与约束”PC为

0.8×［ω（30）－E］＋0.2×［ω（15）－E］＞0

时，经理层会选择接受委托。

再倒推回第一阶段。此时，股东肯定无法看到经理层在第三阶段的选择，但他非常了解经理层的决策思路，只要给定模型中的E、S及ω（20）、ω（10），股东就可以知道经理层是否会选择努力。假设经理层选择努力，则股东选择委托的基本条件为

0.8×［30－ω（30）］＋0.2×［15－ω（15）］＞0

在上述几个约束条件满足的情况下，双方的上述选择构成该模型的子博弈精炼纳什均衡。显然，此时股东应该根据上述激励相容约束和参与约束条件，以及E和S的数值，确定出ω（30）和ω（15）的数值，来设计相应的激励机制以激励经理层努力工作。

4．一个一般性的生产博弈激励机制设计模型

前面讨论的生产博弈激励机制设计模型在条件上或多或少都带有一些特殊性，现在我们讨论一个一般性的激励机制设计模型。

假设不仅经理层努力的成果不确定且不可监督，而且股东可以选择不同的薪酬制度（也就是薪酬函数），经理层选择努力水平e，并假设e分布在某个连续区间，其产出R是e的随机函数R＝R（e）。同时，我们还假设经理层在不接受该委托而接受其他委托时可能得到的利益为，并假设努力的负效用是努力水平的单调递增的凸函数C＝C（e）。由于股东不可以完全监督经理层，因此股东并不知道e，他只能根据R支付薪酬，即ω＝ω（R）。然而由于R＝R（e），因此ω也是关于e的复合函数ω＝ω（R）＝ω［R（e）］。显然，股东的得益函数为R－ω＝R（e）－ω［R（e）］，经理层的得益函数为ω－C＝ω［R（e）］－C（e）。

我们仍然利用参与约束和激励相容约束的思路，来讨论本模型的激励机制设计问题。

（1）PC约束条件

根据前面模型分析的结论，经理层只有在接受委托得到的利益不小于机会成本，即

时才愿意接受委托，因此该不等式就是本模型的参与约束。从参与约束的角度考虑，在经理层接受委托的前提下，股东当然希望付出的报酬越少越好，因此实际的参与约束是ω［R（e）］＝C（e）＋。这样股东的得益函数就是R（e）－ω［R（e）］＝R（e）－C（e）－。

依据上述得益函数，根据求极值原理，股东可以求出最符合自身利益的经理层努力水平e*。由于R（e）是通常的凹函数，而C（e）是单调递增的凸函数，因此e*就是使R（e）曲线的切线与C（e）＋曲线的切线平行的努力水平。

（2）IC约束条件

在满足参与约束IC的条件下，经理层可能愿意接受委托，但工作的努力水平却不一定是e*。只有当e*也符合经理层自己的最大利益时，经理层才会自觉选择e*，即对经理层的其他任何努力水平e，都有下列关系存在

这就是该模型的激励相容约束。在激励相容约束条件下，经理层的利益与股东的利益是完全一致的，此时经理层的行为一定是努力水平e*，这正是股东所需要的。

由于利润（产出）不仅取决于经理层的努力程度，还取决于市场情况等外部环境因素等，因此R是e的随机函数，我们假设二者是一个线性随机函数R＝R（e）＝4e＋η，其中η是均值为0的随机扰动项。再假设经理层的负效用函数为C＝C（e）＝e^2，经理层接受该工作的机会成本＝1。

由于股东无法掌握经理层的努力与否的真实信息，因此只能根据利润水平来支付薪酬。假设股东选择的薪酬模式为S＝A＋B［R（e）］＝A＋B［4e＋η］，其中A和B为待确定的常数。该薪酬模式意味着经理层的工资由固定工资A和利润分成B［4e＋η］两部分组成。股东的得益函数为

4e＋η－A－B［4e＋η］＝4（1－B）e＋（1－B）η－A

由于η是均值为0的随机变量，因此期望得益为4（1－B）e－A。经理层的得益函数为

A＋B［4e＋η］－e^2

期望得益为

A＋4Be－e^2

在上述假设下，参与约束条件为

A＋B［4e＋η］－e^2≥1

当经理层的期望得益为

A＋4Be－e^2≥1

时，他就愿意接受该工作。

假设经理层已经接受了股东的委托，由于经理层的得益为A＋B［4e＋η］－e^2，期望得益为A＋4Be－e^2，因此，当e*＝2B时，薪酬制度符合经理层的最大利益。显然当B＝0时e*＝0，经理层是没有努力的愿望的，当B较大时，经理层的努力愿望e*也随之增大，当B＝0.5，即提成比例为50％时，经理层愿意付出的努力e*＝1。

对于股东的选择而言，股东的选择首先必须满足经理层参与约束条件的下限，即

A＋B［4e＋η］＝e^2＋1

此时股东的得益为4e＋η－e^2－1，期望得益为4e－e^2－1。其极值一阶条件为4－2e＝0，即当e**＝2时，股东的期望得益等于3，为最大值，经理层的最佳努力水平e**＝2符合股东的最大利益。令e*＝e**＝2，代入经理层的最优选择e*＝2B，可得B＝1，再将e*＝e**＝2代入参与约束条件A＋B［4e＋η］＝e^2＋1，得A＋B（8＋η）＝5。对其取数学期望得A＋8B＝5，由此可以解得B＝1，A＝－3。即股东的最优激励薪酬计算公式是ω＝A＋B（R）＝－3＋R。这个工资激励模式的经济意义是，企业全部的经济利润都成为经理层薪酬的提成，股东不发给经理层任何的固定工资，而且还向经理层收取3单位的代理费用，如保证金、抵押金等。

综合上面的分析，在委托—代理关系中，如果委托人依照上述参与约束和激励相容约束条件来设计激励机制，以此来激励和约束代理人的行为，就能使代理人的行为符合委托人自己的利益，避免代理人可能产生的各种道德风险。

思考题

1．什么是子博弈？什么是子博弈精炼纳什均衡？

2．有限次重复博弈与无限次重复博弈有什么区别？

3．假设在一个古诺寡头垄断中有n个企业。反需求函数由P（Q）＝a－Q给出，其中Q＝q_1＋…＋qn，考虑基于这一阶段博弈的无限次重复博弈。求出最小的δ值，使得在子博弈精炼纳什均衡中企业能够运用触发战略维持垄断产出水平。如果δ非常小，以致企业无法采用触发战略来维持垄断产出，求出能够通过触发战略维持住的、使利润最大化的相应的子博弈精炼纳什均衡。

4．将图4.13的静态博弈重复进行两次，第二阶段开始前博弈双方可以观测到第一阶段的结果。不考虑贴现因素。在一个纯策略子博弈精炼纳什均衡中，能否在第一阶段达到（4，4）的得益？

图4.13

第五章　重复博弈

第一节　重复博弈基本理论

在前面两章讨论的动态博弈中，博弈方在前一个阶段的选择会决定后面阶段子博弈的结构和结果，因此，以不同决策节点开始的子博弈是不同的，而且同样结构的子博弈只重复一次，这样的博弈又称为“序贯博弈”。动态博弈的另一种类型是“重复博弈”（Repeated Games），即同样结构的博弈重复多次，其中的每次博弈称为“阶段博弈”（Stage Games）。在重复博弈中，博弈者每一期都面对相同的“阶段博弈”，这是目前人们了解得最多最透彻的一类动态博弈，虽然重复博弈形式上是原博弈的重复进行，但博弈方的行为和博弈结果却不一定是原博弈的简单重复。如果博弈方的行为在每期末可以被观察到，那么其他博弈方就可能参考其他博弈方在前面的博弈行为来选择自己的行动，这样博弈导致的均衡结果在只进行一次的博弈中可能是不会出现的。这意味着重复博弈不是原博弈的线性叠加，而是必须把整个重复博弈过程作为整体进行研究。这也正是我们在这里讨论重复博弈的主要原因。

一、关于重复博弈

重复博弈是动态博弈的一种重要类型。在现实中存在着大量的重复博弈的例子，如价格大战、广告大战、优惠大战等。前面讨论的静态博弈和动态博弈模型，反映的都是社会经济活动中短期一次性的合作或竞争关系。但社会经济活动中除了短期一次性活动以外，还存在许多长期反复的合作和竞争活动，以及这些在博弈者之间进行的长期重复的合作和竞争关系中，博弈者关于未来行为的威胁或承诺如何影响到他们彼此当前的行为。如你到菜场去买菜，当你担心上当受骗而犹豫不决时，卖菜的摊主常常会对你说：“你别担心，我不会骗你的，我天天在这里卖菜，有问题你可以来找我。”在这里，摊主强调“天天”在这里卖菜，你便会放下心来，购买他所卖的菜，摊主的这句话，用博弈论语言表示就是“我跟你天天在进行‘重复博弈’”。这就是长期经济合作和竞争中的正式或非正式的协议，在没有法律强制性合同约束的条件下将会产生怎样行为的例子。

我们知道，在一次性博弈中存在较大的机会主义，只要有可能，理性的博弈人都会倾向于利用自身的优势为自己谋求最大的利益，这就可能给其他博弈人带来损失，而其他的博弈人也有同样的思路，只要有机会也会这么做，于是因为利益的“冲突”（Conflict），博弈双方都采取措施来防范对方，因此增加了很多的“交易成本”。进行重复博弈则可以减少欺骗，增加相互的信任，因为上当受骗的人能够采取“一报还一报”的策略（Tit for Tat Strategies）进行报复，博弈中的长期结果是：理性的博弈人会认识到，欺骗对大家都没有好处，于是通过报复、制裁威胁等相互约束行为，来寻求合作，追求共同利益的机会。在这种情况下，人们的行为选择和博弈的结果就更复杂，可能性也就更多。

“冲突”何以能产生合作，就是因为重复博弈的存在。2005年10月，瑞典皇家科学院在授予托马斯·谢林（Thomas Schelling）和以色列经济学家罗伯特·奥曼（Robert Aumann）诺贝尔经济学奖时说，罗伯特·奥曼第一次对重复博弈进行了全面正式分析。瑞典皇家科学院认为，“重复博弈的理论促进了我们对合作先决条件的理解，阐明了包括商业协会、犯罪组织在内的许多机构进行磋商和国际贸易协定的理由”。

二、重复博弈（Repeated Games）基本概念

1．重复博弈分类

重复博弈是静态或动态博弈的重复进行，或者说重复进行的博弈过程。比较常见的是原博弈重复两次或者其他有限的更多次数，有预定的结束时间。我们称这种由原博弈的有限次重复构成的重复博弈为“有限次重复博弈”（Finite Repeated Games）。

定义：给定一个标准博弈G（可以是静态博弈，也可以是动态博弈），重复进行T次G，并且每次重复G之前，以前博弈的结果各博弈方都能观察到，这样的博弈过程称为“G的T次重复博弈”，记为G（T）。G称为G（T）的“原博弈”或“阶段博弈”。G（T）中的每次重复称为G（T）的一个“阶段博弈”。

重复博弈的一个阶段本身就是一个独立的静态博弈或动态博弈，各个博弈方都有相同的得益。这是重复博弈与一般动态博弈的主要区别之一。有限次重复博弈及其阶段与第三章讨论的有同时选择的动态博弈有一些相同，而在重复博弈中各个阶段的博弈方和博弈内容都必须相同，在有同时选择的动态博弈中则没有这样的要求。

如果一个标准博弈G一直重复博弈下去，这样的重复博弈称为“无限次重复博弈”（Infinite Repeated Games）。

定义：给定一个标准博弈G（可以是静态博弈，也可以是动态博弈），如果将G无限次地重复进行下去，且博弈方的贴现因子都为δ，在每次重复G之前，以前阶段的博弈结果各博弈方都能观察到，这样的博弈过程称为“G的无限次重复博弈”，记为（∞，δ），而G称为G（∞，δ）的“原博弈”。

除了有限次重复博弈和无限次重复博弈以外，还有一种重复博弈，虽然其重复博弈的次数是有限的，但重复的次数或博弈结果的时间却是不确定的。这种重复博弈中博弈方的行为选择与有确定结束时间的有限次重复博弈很不同，与无限次重复博弈则很相似，甚至可以通过某种方式与无限次重复博弈统一起来。这种重复博弈可以称为“随机结束的重复博弈”（Random Ended Repeated Games）。

2．重复博弈的策略、子博弈和均衡路径

（1）重复博弈的策略。在动态博弈中，博弈方的一个策略是指每一次轮到其选择时针对每种可能情况如何选择的计划。由于重复博弈中每个博弈方在每个阶段都必须进行策略选择，因此博弈方的一个策略就是在每次重复时，针对其前面阶段所有可能的情况如何进行行动的计划。

（2）重复博弈的子博弈。重复博弈是动态博弈，因此也有阶段子博弈的概念。我们已经知道子博弈是全部博弈的一部分，当全部博弈进行到任何一个阶段，到此为止的进行过程已成为各博弈方的共同知识，其后尚未开始的博弈部分就是一个子博弈。重复博弈的子博弈就是从某个阶段（除第一阶段以外）开始，包括此后所有阶段的重复博弈部分。重复博弈的子博弈要么仍然是重复博弈，只是重复的次数较少，要么就是原博弈。

定义：在有限次重复博弈G（T）中，由第t＋1阶段开始的一个子博弈为G进行T－t次的重复博弈。在无限次重复博弈G（∞，δ）中，由第t＋1阶段开始每个子博弈都等同于初始博弈G（∞，δ）。

需要特别注意的是，重复博弈的第t阶段本身并不是整个博弈的一个子博弈。子博弈是原博弈的一部分，它不仅意味着博弈到此为止的进行过程已成为所有博弈方的共同知识，而且还包括了原博弈在这一点之后进行的所有信息。只单独分析第t阶段的博弈就等于把该阶段看成了最后一个阶段是不符合重复博弈分析要求的。有了子博弈的概念，以及与子博弈有关的概念和结论，包括子博弈精炼纳什均衡概念，以逆向归纳法为核心的子博弈精炼纳什均衡分析及相关结论，就都可以推广到重复博弈中。

（3）重复博弈的均衡路径。在重复博弈中，由于所有博弈方在每个阶段都必须行动，因此重复博弈的路径是由每个阶段博弈方的行动组合串联而成的。而且，对应前一阶段的每一种结果，下一阶段都有原博弈全部策略组合数那么多种可能的结果，如原博弈有m种策略组合，那么重复两次就有m^2条博弈路径，重复T次就有mT条博弈路径。因此，在重复博弈中，博弈方在重复博弈中的策略空间要远远大于在每个阶段博弈中的策略空间。重复博弈的路径数往往是很大的，常常可以产生一些意想不到的均衡路径。

3．重复博弈的得益

重复博弈的得益与一次性博弈是不同的，因为G（T）中的每个阶段本身就是一个博弈，各个博弈方都有得益，而不是整个博弈结束后有一个总的得益，因此博弈方如何选择得益就成了问题。如果是根据当前阶段得益进行选择，那么把重复博弈就分割成了一个个基本博弈，重复博弈就失去了研究价值。显然重复博弈中博弈方不能只考虑本阶段的得益，而必须考虑整个重复博弈过程得益的总体情况。

对于有限次重复博弈的总体得益可以用重复博弈的“总得益”（即博弈方各次重复得益的总和）表示。另一种方法是计算各阶段的“平均得益”（Average Payoff）（即总得益除以重复次数）来表示，而且可以用逆向归纳法来求解。在无限次重复博弈中计算上述得益和平均得益是很困难的，总得益常常是无穷大而且逆向归纳法无效。

在重复博弈中，对于重复次数较多，每次重复间隔时间又较长的有限次重复博弈，或者是无限次重复博弈，由于心理作用和资金有时间价值的原因，不同时间获得的单位得益对人的价值是不相等的，也就是说，时间因素不能被忽视。正如在“轮流出价”博弈中分析的那样，解决这个问题的方法是引进将后一阶段得益折算成当前阶段得益的贴现系数（Discount Factor）。贴现系数一般可以根据利率计算，公式为δ＝1/（1＋r），其中r是以一阶段为期限的市场利率。显然贴现因子δ代表了时间的偏好，而r是对时间的偏好率。

下面我们分别考虑有限次重复和无限次重复中的得益，首先考虑其总得益。

（1）设有一个T次重复博弈的某博弈方，其在一均衡路径下各阶段得益分别为π_1，π_2，…，πT，那么考虑时间价值时的重复博弈的总得益现值为

在重复次数较少，每次重复时间间隔不大，而且利率或通货膨胀率也较低的情况下，仍然可以用算术和表示有限次数重复博弈的总得益。

（2）设在无限次重复博弈一均衡路径下，某博弈方各阶段得益为π_1，π_2，…，则该博弈方总得益的现值为

对于无限次重复博弈来说，上述贴现系数δ和折算现值的方法是必需的，因此有时无限次重复博弈也可写成G（∞，δ）。

下面再分析其平均得益。在考虑贴现因素的情况下，重复博弈的平均得益可以用下列方式表示为：

如果某重复博弈各个阶段的得益均为常数，与另一重复博弈各个阶段的得益序列π_1，π_2，…有相同的现值，则称为π_1，π_2，…的“平均得益”。

很显然，平均得益是指为得到相等的得益现值而应该在每一阶段都得到的等额收益值。如果一个重复博弈中某博弈方的得益本身始终是常数，那么这个常数就是平均得益。这与不考虑贴现因素的情况是一样的。采用“平均得益”的好处在于它能够和阶段博弈的收益直接进行比较，这一点从上面的表述中可以感觉到。

对于有限次重复博弈来说，如果重复的次数有限，那么该有限次重复博弈不一定要考虑贴现因素，因此不一定需要用上述平均得益概念。如果把不考虑贴现因素理解为贴现率δ＝1，那么上述平均得益的定义仍然适用，而且与通常算术平均意义上的平均得益是一致的。

对于无限次重复博弈来说，贴现问题不能被忽视。由于无限次重复博弈每阶段得益都是时，总的现值为／（1－δ）；而若每阶段得益为π_1，π_2，…时，无限次重复博弈总的得益现值是，显然两者是相等的。因此，令

即

这就是计算无限次重复博弈平均得益的公式。

在谈到重复博弈的分类时，我们曾提到“随机结束的重复博弈”。如果我们对贴现系数δ的含义作一些扩展，就可以把上述随机结束的重复博弈与无限次重复博弈统一起来。贴现系数可以表示博弈在重复博弈中每一阶段末结束的可能性。这可以理解成在进行一个重复博弈时，通过抽签来决定是否停止重复过程。如果抽到停止重复的概率为p，则抽到重复下去的概率为1－p。“停止”意味着对博弈方来说重复进行下去的得益几乎为零，继续重复也没有多大价值可言。设某博弈方在此博弈中的阶段得益为πt，利率为r，第一次博弈以后能继续下一次重复的可能性是1－p，因此第二阶段的期望得益为π_2（1－p）/（1＋r），如果进行到第三阶段，其期望得益为π_3（1－p）2/（1＋r）2……因此博弈方在该重复博弈中总的期望得益的现值为：

显然在这里是，当p＝0时的特殊情况，而p＝0意味着重复博弈没有停止，在不断地重复下去，即无限次重复博弈。这样通过这个扩展的δ，我们就把已知概率的随机停止重复博弈与无限次重复博弈统一起来了，随机停止重复博弈问题可以当做无限次重复博弈来进行分析。

4．重复博弈的特点

通过上面的分析，我们会发现，一个重复博弈具有以下特点：（1）博弈中前一阶段的博弈不改变后一阶段博弈的结构，即所谓的博弈的不同阶段之间没有“物质上”的联系（No Physical Links）；（2）所有的博弈方都能观测到博弈已经发生的所有过程及其信息；（3）博弈方的得益是所有阶段博弈得益的贴现值之和或加权平均值。

同时，重复博弈重复进行这一特点，决定了影响重复博弈均衡路径的主要因素是博弈重复的次数和信息完备性程度，在重复博弈中，博弈方为了长远利益而可能选择不同的策略并放弃眼前的利益，而信息程度的完备与否更是会直接影响到各博弈方策略的选择及最后均衡路径的选择。

第二节　有限次重复博弈

有限次重复博弈是生活中经常碰到的问题，如乒乓球比赛中的三打两胜制，下棋时的五局三制胜等都是有限次重复博弈，而且许多无限次重复博弈的分析最终也可以转化为有限次重复博弈，或者是以有限次重复博弈为基础来进行分析。因此，我们阐述重复博弈时需要首先介绍有限次重复博弈。对于重复次数较少的有限次重复博弈，我们可以不考虑其不同阶段得益的贴现问题。为了简单起见，这里的有限次重复博弈讨论都不考虑贴现因素。

一、有惟一纯策略纳什均衡的有限次重复博弈（Finitely Repeated Games）

在分析有惟一纯策略纳什均衡的有限次重复博弈之前，先看一个没有纯策略纳什均衡的零和博弈的重复问题。

例1　零和博弈的有限次重复博弈

零和博弈没有纯策略纳什均衡，重复零和博弈也不会产生出新的好处。如重复进行猜币博弈，不管两个博弈方的选择怎样，每次重复的结果都是一方赢另一方输，得益相加为0。因此在零和博弈或者它们的重复博弈中，彼此合作的可能性是不存在的，即使双方都知道还要多次重复进行原博弈，也改变不了博弈方当前阶段博弈中的非合作行为方式，不可能变得合作和顾及对方的利益。可见，在像以猜硬币博弈为原博弈的有限次重复博弈中，每个博弈方的惟一正确的策略是在每次重复时都采用一次性博弈纳什均衡策略，即各以0.5的概率随机选择正面和反面的混合策略。重复博弈的结果是双方的平均期望得益和期望总得益都为0。

实际上，所有以零和博弈为原博弈的有限次重复都像猜硬币博弈的有限次重复一样，博弈方的策略选择都是重复一次性博弈中的纳什均衡策略。如在以田忌赛马作为原博弈的重复博弈中，不管重复次数是多少，齐威王与田忌双方的理性策略都是在每次决定马的出场顺序时采用混合策略，以1/6的相同概率随机选用6种可能的出场顺序。每次重复博弈时，齐威王的平均值期望得益为1，而田忌的平均期望得益为－1。如果重复T次，则齐威王的期望总得益为T，田忌的期望总得益为－T。

如果采用逆向归纳法来分析，则因为有限次重复博弈有最后一次重复，因此我们先从最后一次重复（也就是动态博弈的最后一个阶段）开始讨论。最后一次重复就是原零和博弈本身，而且已经不再有任何后续博弈，因此博弈方之间既没有任何合作的机会，也没有合作的必要，采用原博弈的混合策略纳什均衡策略是惟一合理的选择。逆推到倒数第二个阶段，理性的博弈方都知道最后一个阶段的结果，因此在该阶段，也不可能有合作的可能性。依次类推不难得出结论，在整个零和博弈的有限次重复博弈中，所有博弈方的惟一选择就是始终采用原博弈的混合策略纳什均衡策略。

上述结论可以推广到零和博弈的多个博弈方，但博弈方的利益严格对立、没有纯策略纳什均衡的精炼纳什均衡就是所有博弈方都采用原博弈的混合策略纳什均衡策略。

例2　“囚徒困境”式博弈的有限次重复

无纯策略纳什均衡的零和博弈和严格竞争博弈的有限次重复博弈，之所以不会改变博弈方的行为方式和博弈效率，原因是这些原博弈中博弈方之间的利益关系是严格对立的，矛盾是不可调和的。在有惟一纯策略纳什均衡的博弈中，博弈方之间的利益关系不再是始终对立的，而是有很大的一致性甚至完全一致。“囚徒困境”式博弈就是有惟一纯策略纳什均衡的博弈，在以这样的博弈为原博弈的有限次重复博弈中，博弈方的行为和博弈结果会不会发生本质的变化呢？

其实，如果原博弈惟一的纯策略纳什均衡本身就是帕累托效率意义上的最佳策略组合，那么因为其符合所有博弈方的利益，因此有限次重复博弈显然不会改变博弈的行为方式。我们最关心的当然不是这种博弈，而是原博弈惟一的纳什均衡没有达到帕累托效率，因此存在通过合作进一步提高效率的潜在可能性的囚徒困境式博弈，在有限次重复博弈中能不能实现合作提高效率的问题。

我们首先还是以已经非常熟悉的“囚徒困境”式博弈为例进行分析。

第一章我们分析了囚徒困境的两人静态博弈，在一次静态博弈的情况下，每个囚徒的占优策略的选择却导致了整体的最坏结局。他们想合作，但又怕被对方欺骗而使自身落到更差的境况，因此在一次性静态博弈的情况下，囚徒困境的不合作解通常是难以避免的。如果重复进行这一博弈将会怎样呢？这里我们考虑该博弈重复两次的重复博弈，仍然采用以前的假设，如图5.1所示。

图5.1

假设两个囚徒要把这样一个同时选择的博弈重复进行两次（例如警方给这两囚徒两次交代问题的机会）。两囚徒先进行第一次博弈，双方看到第一次博弈，且假设两次博弈的总得益等于两阶段囚徒各自得益之和。该博弈有些类似于上一章所阐述的有同时选择的动态博弈的情况，无非这里重复博弈的是两个完全相同的静态博弈，而且前面的策略选择不会影响当期的策略选择及其得益。

我们用逆向归纳法来分析该重复博弈，先分析第二阶段，即第二次重复时两博弈方的选择。很明显，第二阶段就是两囚徒之间展开的一个囚徒困境博弈，由于前一阶段的结果已成为既成事实，对本阶段不再有任何的影响，因此实现自身当前的最大利益是两博弈方在该阶段决策中的惟一原则。根据在第一章的分析，此时第二阶段两囚徒的惟一的结果就是原博弈惟一的纳什均衡（坦白，坦白），双方得益（－6，－6），双方合作的结果没有出现。

现在回到第一阶段，即第一次博弈。由于理性的博弈方在第一阶段知道第二阶段的结果必然是（坦白，坦白），双方得益（－6，－6），因此不管第一阶段的博弈结果是什么，双方在整个重复博弈中的最终得益，都将是在第一阶段得益的基础上各加－6，结果如图5.2所示。

图5.2

该得益矩阵中的得益是在图5.1原博弈得益矩阵的所有得益上都加－6得到的，没有改变博弈的均衡。该等价博弈有惟一的纯策略纳什均衡（坦白，坦白），双方的得益则为（－12，－12）。这说明两次重复囚徒困境博弈的第一阶段结果与一次性博弈一样，两阶段重复博弈惟一的子博弈精炼纳什均衡解就是第一阶段的（坦白，坦白）和第二阶段（第二次重复）的（坦白，坦白）。从该结果可以看出两次重复的囚徒困境仍然相当于一次性囚徒困境博弈的简单重复。

如果我们博弈的次数增加，可以发现其结果是一样的，即每一次重复都采用原博弈惟一的纯策略纳什均衡（坦白，坦白），这就是这种重复博弈惟一的子博弈精炼纳什均衡路径。

以下我们再用一个产品定价的例子来讨论“囚徒困境”式重复博弈。

例3　“产品定价”博弈

假设有两个企业对某种产品进行定价，图5.3给出了其一次性完全信息静态博弈的收益矩阵，下面分析该博弈重复M次的重复博弈。

图5.3

A、B两个博弈方都有两种定价策略选择：高价或低价。如果两个博弈方都选择定低价，则每个博弈方的收益均为20个单位；如果两人都选择定高价，则每个博弈方的收益均为30个单位；如果其中某一博弈方选择定低价，而另一博弈方选择定高价，则定低价的博弈方可能占有更多的市场份额，获得40个单位的收益，定高价的博弈方就会由于失去一部分市场份额而只获得10个单位的收益。显然，在这个一次性完全信息静态博弈中，两个博弈方均有惟一的纯策略纳什均衡，纳什均衡为A、B双方都定低价，即（低价，低价）。

如果多次重复A、B之间的定价博弈，那么，情况又会是怎样的呢？我们先来分析博弈重复次数为无限时的情况。

如果A、B双方都选择合作，都保持定高价，则双方在每个阶段的收益均为30个单位，记为（30，30，30，…）；如果A、B中有一方（如A）采取投机行为，在实际定价中选择不与对方合作，在第一阶段就通过选择定价策略使得选择高价策略的对手B受损，则受到损失的B方一定会在第二阶段及其以后的定价中也选择低价策略，加以报复，这样一来，首先选择不合作的博弈方A在整个阶段的收益为（40，20，20，…），显然，其总收益远远小于合作、维持高价情况下的总收益。因为，选择不合作的博弈方A，只是在第一阶段获得了“额外”收益40，但在以后每个阶段的收益将因为对手B的报复性选择而减少，只有20，并且重复若干次后，首先选择不合作的博弈方A将得不偿失。

在这里，B选择的策略称为“冷酷策略”（Grim Strategies）。冷酷策略是指重复博弈中的任何博弈方的一次性不合作将引起其他博弈方的永远不合作，从而导致所有博弈方的收益减少。因此，所有博弈方具有维持合作的积极性。我们再来讨论博弈重复次数为有限次的情况。

显然，有限次重复博弈与无限次重复博弈之间的区别，是所有博弈方都可以明确无误地了解重复的次数，即可以准确地预测到最后一个阶段的博弈。在最后阶段的博弈中，任何一个博弈方选择不合作，不会导致其他博弈方的报复。因此，所有博弈方都会在最后阶段的博弈中选择自己的占优策略，那就是不合作。本例子中，在最后阶段博弈中选择低价是所有博弈方的占优策略。

既然所有博弈方都会在最后阶段选择不合作，那么，根据采用逆向归纳法的分析，该重复博弈在倒数第二阶段博弈中，任何博弈方也就没有必要担心由于自己选择不合作，导致其他参与人在最后阶段博弈中的报复。因此所有博弈方在倒数第二阶段博弈中，也都仍然会选择不合作。即在倒数第二阶段博弈中，所有博弈方都会选择纳什均衡（低价，低价）。

其实，不管博弈重复多少次，只要是有限次重复，“囚徒困境”式不合作的策略选择就会存在，也就是说不会出现合作。这一结论具有更一般的意义，即如果原博弈有惟一的纯策略纳什均衡的博弈，则有限次重复的惟一均衡仍然为各博弈方在每阶段（即每次重复）中都采用原博弈的纳什均衡策略。由于各博弈方的策略都不存在不可信的威胁或许诺，而且在下一次博弈开始前（即博弈又重复一次），所有前面进行的博弈都可以被观测到，因此这是子博弈精炼纳什均衡。

一般性结论：设原博弈G有惟一的纯策略纳什均衡，令G进行T次的有限次重复，重复博弈G（T）有惟一的子博弈精炼纳什均衡，各博弈方每个阶段都采用G的纳什均衡策略。各博弈方在G（T）中的总得益为在G中得益的T倍，平均得益等于原博弈G中的得益。

该定理表明，只要博弈的重复次数是有限的，在一个博弈中每个博弈方的所有得益各自地加上相同的值不会改变博弈的结果。要注意的是“惟一”性是一个重要条件，如果纳什均衡不是惟一的，上述结论就不一定成立。

对该定理的证明比较简单。根据逆向归纳法，首先分析重复博弈的最后一个阶段，即第T次重复。由于第T次重复就是原博弈G，而且是最后一个阶段，因此不管以前T－1阶段的博弈结果如何，在该阶段中各博弈方必然采用G的惟一的纳什均衡。然后再倒推回到第T－1次重复。由于此时各博弈方都知道下一阶段博弈的结果，因此对每个博弈方来说，从该阶段开始的子博弈的得益就是本阶段的得益加上第一阶段的均衡得益。由于这个均衡得益是一个确定的值，因此根据前述结论，各博弈方在该阶段仍然将采用G的惟一的纳什均衡。依次类推直至博弈的第一阶段。最终我们可得到结论，在原博弈G有惟一的纯策略纳什均衡时，各博弈方在每次重复时都采用G的纳什均衡，是有限次重复G（T）的惟一的子博弈精炼纳什均衡。该定理得证。

下面我们应用上述一般性结论，对第一章中讨论的寡头市场削价竞争博弈的有限次重复博弈情况进行讨论。

例4　竞价博弈

根据图5.4的得益及第一章的分析，我们知道，该寡头市场削价竞争博弈是一个典型的囚徒困境型的博弈，一次性博弈的结果必然是双方都采用“削价”策略，各得到60万元。

图5.4

很显然，一次性博弈的结果对两寡头来说并不理想，如果两个寡头可以形成合作，共同采用高价，那么双方都能得到更高的利益80万元，这就是该博弈潜在的合作利益。如果假设两寡头都意识到相互竞争的市场格局大约可以持续5年，也就是进行5次重复博弈，结果又该是如何呢？

在上述寡头市场削价竞争博弈中，由于其有惟一的纯策略纳什均衡，因此根据上述一般结论，以该博弈为原博弈的有限次重复博弈的惟一的子博弈精炼纳什均衡，就是两博弈方重复5次原博弈的纳什均衡策略，即降价策略，也就是说两寡头还是会不断打价格战而不会选择合作，不管重复的次数是多少，该结果都不会改变。

值得注意的是，上面对有惟一纯策略纳什均衡博弈有限次重复博弈的分析及相关定理，似乎与人们的直觉经验有很大的矛盾。

根据上面的分析，在囚徒困境博弈式的有限次重复博弈中，惟一的子博弈精炼纳什均衡是每次都采用原博弈的纯策略纳什均衡，即有限次重复博弈并不能摆脱囚徒困境的低效率均衡。但这与人们的直觉经验并不完全一致，因为根据这一结论，寡头之间的价格战应该是随时都会发生的，但现实中寡头之间的价格战却根本没有这么普遍和激烈。

导致这一问题的原因与前面讨论的蜈蚣博弈是相似的，问题的症结都在于在较多阶段的动态博弈中逆向归纳法的适用性。上述一般结论是根据逆向归纳法的逻辑和分析方法得到的，而否定一般结论则是根据与逆向归纳法有很大差异的其他分析方法得到的，当然难免会导致矛盾。可见，在一个博弈分析中，最关键的问题是要弄清博弈方的策略所依据的逻辑，弄清楚这一点，判断才不会发生错误。

二、有多个纯策略纳什均衡的有限次重复博弈

零和博弈和囚徒困境是分别不存在纯策略纳什均衡和存在惟一的纯策略纳什均衡的两类博弈，我们已经讨论了它们作为原博弈构成的有限次重复博弈的情况，并得到了一般性结论。下面我们要分析的是，如果重复博弈的原博弈有多于一个纯策略纳什均衡，情况就可能发生变化。

1．企业定价重复博弈及“触发策略”（Trigger Strategy）

例5　企业定价博弈

设某市场有两家企业生产同类型产品，它们对产品的定价有高、中、低三种可能，分别用H、M、L表示。设高价时市场总利润为12万元，中价时市场总利润为7万元，低价时市场总利润为4万元。两家企业同时决定价格，此时企业对价格的选择就构成了一个多价格竞争的静态博弈问题，如图5.5所示。

图5.5

根据静态博弈分析法，该博弈有两个纯策略纳什均衡（M，M）和（L，L），显然该博弈中对两博弈方最有利的策略组合（H，H）并不是纳什均衡，可见此时一次性博弈的结果不会是效率最高的。下面考虑两次重复这个博弈的情况。

设在第二阶段（即重复一次原博弈）开始前博弈方都可以观测到第一阶段的结果，则我们可以证明在该两次重复博弈中存在一个子博弈精炼解，其中第一阶段的策略均衡为（H，H）。

显然，由于原博弈有9种可能的策略组合，因此重复这个博弈使得博弈的可能结果出现了更多的可能性，使两次重复博弈纯策略路径就有9×9＝81种之多，加上混合策略的路径数量就更大。显然这些路径中的子博弈精炼纳什均衡路径，有两阶段都采用原博弈同一个纯策略纳什均衡的，有轮流采用不同纯策略纳什均衡的，也有两次都采用有混合策略纳什均衡的，以及轮流采用不同纯策略纳什均衡的，或者是混合策略均衡和纯策略均衡轮流采用，最起码有81种组合的可能。在两次重复中若双方采取如下的策略，则可以保证双方合作，在第一阶段博弈双方采用（H，H）策略组合。

企业1：第一次选H；如第一次结果为（H，H）则第二次选M，第一次如果为其他策略组合，则第二次选L。

企业2：同企业1的策略选择。

在上述双方策略组合下，两次重复博弈的路径一定为第一阶段取（H，H），第二阶段取（M，M），这是一个子博弈精炼纳什均衡路径。在这一路径中，由于第二阶段的（M，M）是一个原博弈的纳什均衡，因此不会有哪一方会愿意单独偏离。在第一阶段，虽然（H，H）不是原博弈的纳什均衡，若一方单独偏离，采用M能增加1单位得益，但这样做的后果是第二阶段至少要损失2单位的得益，因为对方所采用的是有“报复机制”的策略，显然在第一阶段偏离（H，H）是得不偿失的，理性的选择是毫不犹豫地选择H。这就证明了上述策略组合确实是这个两次重复博弈的子博弈精炼纳什均衡。上述重复博弈中两个博弈方所采用的是一种“触发策略”（Trigger Strategy）。即首先博弈双方试着合作，若双方都选择合作，则下一阶段继续进行合作；一旦选择不合作，就会触发其后所有阶段都不再相互合作。触发策略是重复博弈中实现合作和提高效率的一种关键机制。“触发战略”有时又叫做“冷酷战略”（Grim Strategy）。

继续进行上述两次重复博弈分析。当两博弈方都采用上述触发策略，即在第一阶段选择（H，H）时，第二阶段必为（M，M），得益为（3.5，3.5）；而当第一阶段结果是其他8种结果中的任何一种时，第二阶段就会是（L，L），得益为（2，2）。如果我们把（3.5，3.5）加到第一阶段（H，H）的得益上，把（2，2）加到第一阶段其他8种策略组合的得益上，就把原两次重复博弈化成了一个等价的一次性博弈，其得益矩阵如图5.6所示。图5.6显示的博弈中除（M，M）和（L，L）外，（H，H）也是一个纳什均衡，并且得益是两个博弈方的最佳得益。

图5.6

如果上面这个博弈重复的次数增加，比如说n次（但不是无限次），结论也是相似的。仍然可以运用触发策略实现比较好的结果。由此，我们可以得到更为一般的结论：如果博弈G是一个有多个纳什均衡的完全信息静态博弈，则重复博弈G（T）可以存在子博弈精炼纳什均衡解；当t＜T时，t阶段的策略组合并不是G的均衡。比如在本博弈中，子博弈精炼纳什均衡路径为，除了最后一次重复以外，前面每次重复都采用（H，H），最后一次重复采用原博弈的纳什均衡（M，M）。当重复的次数较多时，平均得益接近于一次性博弈中（H，H）的得益（6，6）。

2．关于“触发策略”

在上面的分析中，我们发现触发策略是一种非常重要的机制，采用这种策略就意味着对将来策略选择所作的可信的威胁或承诺可以影响到当前阶段的行动选择。但如果仔细分析，不难发现上述触发策略也可能存在值得推敲的问题，就是报复机制的可信性。例如在上述两次重复三价博弈中，如果第一阶段的结果确实是（H，H），博弈双方都没有发生偏离，第二阶段的（M，M）符合双方的利益，当然是可信的。但如果第一阶段有一方偏离了路径，另一方将在第二阶段采用报复性的L策略，这样偏离的双方都只能得到比较差的得益L，这种选择其实并不合理。因为即使在第一阶段有一方偏离了（H，H），但另一方在第二阶段除了（L，L）之外，还可以选择M，此时选择M肯定比选择L理想，选择M是理性的，也似乎才是可信的，也就是说，如果未偏离的一方能够不计前嫌，还是与对方共同采用M，对他自己也是有利的。这就引出了触发策略是否真正可信的问题。

当发现触发策略不可信时，也就是认为博弈方不可能真正采用触发策略时，此时的选择就相当于不管第一阶段结果如何，第二阶段都是（M，M），而不是（L，L），双方得益为（3.5，3.5）而不是（2，2）。现在在第一阶段的得益上加（3.5，3.5），就得到这种情况下的两次重复博弈等价的一次性博弈，如图5.7中得益矩阵所示。此时第一阶段的最佳选择不是（H，H），而是（M，M）。这意味着两次重复博弈的均衡路径是两次重复（M，M），即原博弈效率较高的一个纳什均衡。

图5.7

导致触发策略中报复机制的可信性问题发生的原因和机制是复杂而多样的，往往会受到相互预期等很多复杂因素的影响。例如如果未偏离的博弈一方并不想报复偏离的一方，但偏离的博弈一方却因为害怕对方报复而采用策略L，结果是愿望良好，倾向合作的一方再次受到重大损失。这种可能性的存在，使得实施报复机制的可能性大大增加。再比如制度的制定者和执行者相互分离，执行者是否会严格执行决策者指令的情况等，都可能导致触发策略的可信性问题，可信性问题也说明了子博弈精炼的概念对可信性的要求并不严格。

如何解决重复博弈的触发策略的可信性问题，我们来看图5.8中得益矩阵表示的上述静态博弈的两次重复博弈。

图5.8

这个博弈与前面的多价博弈的差别是两博弈方都增加了两个可选策略，现在它有四个纯策略纳什均衡（M，M）、（L，L）、（P，P）和（Q，Q），效率较高的（H，H）仍然不是纳什均衡。现在我们还是希望采用触发策略，使（H，H）成为博弈双方共同的选择。由于现在多了两个纯策略纳什均衡，因此在重复博弈中策略的选择大大增加了，有可能构建具有完全可信性的触发策略。为此在两次重复中，如果两博弈方分别采用如下的触发策略：

企业1：在第一阶段采用策略H，如果第一阶段的策略组合是（H，H），那么第二阶段采用策略M，否则采用策略P。

企业2：在第一阶段采用H，如果第一阶段的结果是（H，H），那么第二阶段采用M，否则采用Q。

可以证明，双方的上述触发策略组合（H，H），（M，M）构成该重复博弈的一个子博弈精炼纳什均衡，而且双方的触发策略中的报复都是可信的。当第一阶段选H，第二阶段选M时，每个博弈方的得益为6＋3.5＝9.5；当第二阶段偏离H，而选择M时，得益为7＋0.5＝7.5；若选择L，则得益为3＋0.5＝3.5，更低。因此，只要在第一阶段偏离H，其他任何选择都是得不偿失的，此时双方触发策略中的报复机制不仅本身可以构成纳什均衡，而且对报复者自己也是有利的。

其实，在博弈理论中，有两个著名的策略。一个就是这里分析的触发策略。如果对方知道你的策略是触发策略，那么对方将不敢采取不合作策略，因为一旦他采取了不合作策略，双方便永远陷入不合作的困境。因此，只要有某博弈方采取触发策略，那么其他博弈方就会愿意采取合作策略。但是这个策略面临着这样一个问题：如果双方存在误解，或者由于一方发生选择性的错误，这个错误是无意的，那么结果将是双方均采取不合作的策略。也就是说，这种策略不给对方一个改正错误或解释错误的机会，错误在博弈中将会进行到底。

第二种策略是，若你采取不合作策略，我也采取不合作策略，但是如果你采取了合作策略，我也采取合作策略。这叫“一报还一报”策略，或者称之为“针锋相对”，英文叫Tit-for-Tat。美国密执安大学的罗伯特·埃克斯罗德（Robert Axerold）曾经主持过一次计算机比赛，看谁写出来的程序能够赢。参加者有政治学家、数学家、经济学家、社会学家，他们都详细研究过囚徒困境。获胜者是加拿大多伦多大学的罗伯布（Anatol Rapoport）写的“一报还一报”策略。一报还一报的策略是这样的：第一次博弈采用合作的策略，以后每一步都跟随对方上一步的策略，你上一次合作，我这一次就合作，你上一次不合作，我这一次就不合作。也就是说，一报还一报的策略实行了“胡萝卜加大棒”的原则。它永远不先背叛对方，从这个意义上来说它是“善意的”。它会在下一轮中对对手的前一次合作给予回报，哪怕以前这个对手曾经背叛过它，从这个意义上来说它是“宽容的”。但它会采取背叛的行动来惩罚对手前一次的背叛，从这个意义上来说它又是“可激怒的”。而且，它的策略极为简单，对手一望便知其用意何在，从这个意义来说它又是“简单明了的”。“一报还一报”策略的优越性向我们充分展示了一个纯粹自利的人何以会选择善，只因为合作是自我利益最大化的一种必要手段。关于“一报还一报”策略，我们将在最后一章中加以介绍。

当然在博弈中可能有多种策略，如对方采取了不合作，但自己永远采取合作策略，这个策略可以叫做“以德报怨”策略。这个策略对选择该策略的行动者最为不利，因为对方知道你采取这种策略，他会永远采取不合作的策略，因而理性的人是不会采取这种“以德报怨”策略的。如果是有限次的“囚徒困境”，那么情况就不同于上述无限次的“囚徒困境”的重复博弈。当临近博弈的终点时，采取不合作策略的可能性加大，如果参与人以前的所有策略均为合作策略，并且被告知下一次博弈是最后一次，那么双方肯定采取不合作的策略。这可以解释许多商业行为。一次性的买卖往往发生在双方以后不再有买卖机会的时候，尽量谋取高利并且带欺骗性是其特点，即用尽自己的所有“信誉”，关于这个问题，我们将会在后面的章节中继续分析。

3．市场进入重复博弈与“触发策略”（Trigger Strategy）

例6　市场进入博弈

假设企业1和企业2同时面临两个市场A和B，每个企业只有能力选择其中一个市场进行开发，即他们有A或B两个可选策略。得益情况如图5.9所示。此得益可解释为：A市场是一个新市场，很难开发，仅仅靠一家企业难以很好开发这个市场，若两家企业共同开发就能很好地开发这个市场。B市场是开始程度较高的衰退的市场，不足以承受多家企业在其中进行竞争。只有一家企业选B市场时，才可获得比较可观的得益。如果两家企业都想在这个市场淘金则完全无利可图。

图5.9

显然，上述一次性博弈有两个纯策略纳什均衡（A，B）和（B，A），得益分别为（1，4）和（4，1）。此外，该博弈还有一个混合策略纳什均衡，企业1和企业2都以同样的概率在A、B之间随机选择，双方期望得益都等于0.25×（3＋4＋1＋0）＝2。现在两个企业在不合作的条件下，彼此博弈的思路是：既希望自己独占B市场获得高利润，又担心两个企业都挤在B市场两败俱伤，也不想自己独自开发A市场。根据这一博弈思路，企业双方选择只有采取混合策略。因此在这个博弈的一次性博弈中各得3的最佳结果（A，A）无法实现，而且在次佳的纳什均衡（A，B）和（B，A）上达成共识也不容易。

现在我们考虑博弈重复两次时的情况。同前面例子分析的思路一样，上述博弈的两次重复博弈均衡路径有4×4＝16条。例如（1）两次重复都采用原博弈同一个纯策略纳什均衡，第一次博弈选择（A，B）第二次还是选择（A，B），或第一次博弈选择（B，A）第二次仍然选择（B，A），都是子博弈精炼纳什均衡路径；（2）两次博弈采用混合策略均衡也是子博弈精炼纳什均衡路径；（3）双方轮流去两个市场，企业1第一阶段去A市场第二阶段去B市场，企业2在第一阶段去B市场第二阶段去A市场，即从（A，B）到（B，A）也是一条子博弈精炼纳什均衡路径，等等。所有这些子博弈精炼纳什均衡中两博弈方的策略都是无条件的，后一次博弈的选择并不取决于第一次博弈的结果。该选择策略与触发策略的不同之处在于，它是轮流采用原博弈两个纯策略纳什均衡，即双方轮流去两个不同市场。下面我们来分析上述几种不同的子博弈精炼纳什均衡的得益情况。

（1）连续两次采用同一个纯策略纳什均衡的路径双方平均得益分别是（1，4）和（4，1）；

（2）两次采用混合策略纳什均衡则双方平均期望得益为2；采用轮换策略，即由（1，4）或（4，1）转向（4，1）或（1，4），则平均得益为；

（3）一次纯策略，一次混合策略的双方平均得益分别是（1.5，3）和（3，1.5）。

显然第一种情况下的均衡总得益比较高，但双方得益很不平衡，而混合策略平均期望得益较低，双方采用轮换策略的结果则比前两种情况都要好一些，而且以公平性角度来说，也好接受一些。但这并不意味着采用轮换策略就是最理想的情况，因为该结果与最理想的结果（A，A）还有比较大的差距。对照着多价竞争博弈的分析，我们将发现，该博弈之所以不能或不能部分实现最佳结果（A，A），其原因是在这个两次重复博弈中博弈方没有运用触发策略的条件或者说机会。

上述分析启发我们，如果两市场重复博弈的重复次数进一步增加，例如增加到三次或更多次，同时采用“触发策略”，则很有可能会使博弈结果有进一步的改善。我们首先讨论三次重复博弈的情况，并运用“触发策略”，此时由于重复三次采用触发策略成为了可能。例如设企业1和企业2可以分别采用如下触发策略：

企业1：第一阶段选A；如果第一阶段结果是（A，A），则第二阶段继续选策略A，如果第一阶段结果是（A，B），则第二阶段选策略B；第三阶段仍然选策略B。

企业2：第一阶段选策略A，第二阶段无条件选策略B，如果第一阶段结果是（A，A），则第三阶段改选策略A；如果第一阶段结果是（B，A），则第三阶段选策略B。

依据上述策略，三次重复博弈的均衡路径是（A，A）到（A，B）再到（B，A）。显然第二阶段、第三阶段本身就是原博弈的纳什均衡，不会有哪一方愿单独偏离。第一阶段的策略组合虽不是原博弈的纳什均衡，在这一阶段单独偏离也可能得到较好的得益。但是假如企业1在第一阶段的偏离会引起企业2第三阶段的强烈报复，从而将蒙受更大的损失，那么这种偏离就是不合算的。同样企业2在第一阶段的偏离也会引起企业1第二阶段的报复，结果也是得不偿失的，因此最好的选择也是不要偏离。显然，由于有后面阶段利益的制约作用，虽然（A，A）不是原博弈的纳什均衡，但当原博弈重复三次时，它作为三次重复博弈第一次博弈的策略组合却是有稳定性的，上述双方策略确实是该三次重复博弈的子博弈精炼纳什均衡。而且，上述触发策略中的报复机制也有很强的可信性，因为该报复机制对偏离者有惩罚作用，而对报复者则是有利的。

此时，上述子博弈精炼纳什均衡实现时每一方每阶段的平均得益为（3＋1＋4）/3＝2.67。该平均得益大于其他任何子博弈精炼纳什均衡实现的平均得益或平均期望得益。因此从总体效率的意义上说，上述带触发策略的子博弈精炼纳什均衡，是该三次重复博弈众多子博弈精炼纳什均衡中效率最高的均衡。

如果我们进一步增加两市场博弈的重复次数，例如重复101次。这时候，如果企业1采用如下触发策略：“在前99次中都选A，但从其中的第二次开始，一旦发现哪次的结果不是（A，A），则改为策略B并坚持到底，最后两次重复与三次重复博弈后两次重复的策略相同”；企业2采用如下触发策略：“前99次选策略A，但从其中的第二次开始，一旦发现哪次的结果不是（A，A），则改为策略B并坚持到底，最后两次重复与三次重复博弈后两次重复的策略相同”。我们不难证明，双方的上述触发策略也构成一个子博弈精炼纳什均衡，双方的每阶段平均得益是（99×3＋1＋4）/101＝2.99，非常接近于原博弈效率最高的非均衡策略组合的得益（3，3）。这与我们在讨论“触发策略”时，所得到的一般性结论是完全吻合的，这也再次证明了“触发策略”在重复博弈中的价值。

三、有限次重复博弈的“无名氏定理”（Folk Theorem）

由上面两个重复博弈例子的分析可以看出，当原博弈有多个纯策略纳什均衡时，有限次重复博弈存在许多效率差异很大的子博弈精炼纳什均衡，并且可以通过设计包含报复机制的触发策略，来实现效率较高的均衡，得到一次性博弈中无法实现的潜在合作利益。提高效率和发掘潜在利益的可能性和程度，则主要决定于运用特定策略的条件、采用的策略以及重复博弈的次数。由此，我们得到如下的“无名氏定理”（Folk Theorem）。在阐述“无名氏定理”之前，我们再介绍几个关于得益的概念。

设xi为博弈方i在一次性博弈中最差的均衡得益，用X记各博弈方的xi构成的得益数组。无论其他博弈方行为如何，一博弈方在某个博弈中自己采取某种特定的策略，能够最低限度保证得到的得益称为“保证得益”（Reservation Payoff）或“个体理性得益”（Indivi-dual Rationality Payoff）。博弈中所有纯策略组合得益的凸组合（Convex Combination）即纯策略得益的加权平均（权重数非负且总和为1）数组称为“可实现得益”（Feasible Payoff）。依据这几个得益概念，我们就可以给出有限次重复博弈的“无名氏定理”：

有限次重复博弈“无名氏定理”：设原博弈G为一个完全信息的静态博弈，原博弈G的一次性博弈均衡得益数组优于X，那么在该博弈的有限次重复中，所有不小于保留得益的可实现得益，都至少有一个子博弈精炼纳什均衡的极限的平均得益来实现它们。

该定理之所以被称为“无名氏定理”又叫“大众定理”，是因为重复博弈能够促进合作的思想，早在20世纪50年代就已经是博弈理论界众所周知的理论，以致无法追溯到其原创者，于是以“无名氏”命名之。但在这之前却一直无人正式发表加以证明，后来弗里德曼等人证明了该定理。开始时的无名氏定理分析的是有限次重复博弈的全部纳什均衡问题。

下面以前面介绍的两市场博弈的重复博弈为例来说明该定理。根据前面的分析，在市场进入博弈中，两个博弈方最差的均衡得益都是1，它们构成得益数组X＝（1，1）；只要采取A策略，两个博弈方都至少得到1以上的得益，因此1就是这两个博弈方的保留得益；该博弈中的可实现得益就是图5.10中由O（0，0）、A（1，4）、B（3，3）和C（4，1）四点连成边界线围起来的整个阴影部分面积中点的坐标。在该博弈的一次性博弈中，肯定存在均衡得益数组优于X，满足“无名氏定理”的条件，因此所有不小于保留理性得益的可实现得益，即图5.10中由X、A、B和C四点连线所围阴影部分面积中点对应的双方得益，都可以找到相应的子博弈精炼纳什均衡或这种均衡的极限来实现它。比如点A和点C可用每次采用原博弈同一个纳什均衡的子博弈精炼纳什均衡来实现，而在这两点连线上的任何一点所表示的得益，可用原博弈两个纯策略纳什均衡的某种组合来实现，点B可在重复次数不断增加的时候，由上述触发策略构成的子博弈精炼纳什均衡的极限来实现它。

图5.10

通过仔细分析我们还会发现，在所有可实现得益或优于X＝（1，1）的可实现得益中，只有处于由点A和点B，以及由点B和点C连接的两条连线上，并且包括这三点本身的可实现得益有较重要的意义，因为它们代表了帕累托效率意义上最有效率的均衡得益。“无名氏定理”的核心意义就在于，保证上述得益能够被有一定重复次数的重复博弈的子博弈精炼纳什均衡的平均得益来实现或逼近它们。

第三节　无限次重复博弈

在分析有限次重复博弈的基础上，下面我们再来分析无限次重复博弈问题。

一、具有纯策略纳什均衡的无限次重复博弈（Infinitely Repeated Games）

例1　零和博弈的无限次重复博弈

在有限次重复的情况下，两人零和博弈的有限次重复博弈的结果与一次性博弈是一致的，原因在于原博弈中博弈方的利益是对立的，重复博弈没有改变博弈的利益对立关系，二人不可能产生合作。下面我们分析零和博弈无限次重复时的情况。

显然，当零和博弈重复次数从有限增加到无限时，并没有改变原博弈中博弈方之间非合作的关系，当然双方也就不会合作并产生出潜在的合作利益，因此我们直观的判断是，在这种博弈的无限次重复博弈中，博弈方应该仍然是根据每次重复都使当时的利益最大化的原则来行动，每次采用原博弈的混合策略纳什均衡。由于无限次重复博弈没有最后一个阶段，因此上述直观结论无法用逆向归纳法证明，但还是可以用比较接近的方法来进行分析。比如我们先讨论无限次重复两人零和博弈，显然博弈方之间的利益对立关系不会因为第t－1阶段或前t－1阶段的结果而有任何改变，即前面阶段的结果对后续阶段行动的选择并不会产生影响，博弈方之间仍然是严格对立的，不会产生合作，因此博弈方在第t－1阶段不会合作。依此往前推导第t－2阶段、第t－3阶段直至从重复博弈的第一阶段，这是一个有限次重复博弈，博弈双方仍然不可能合作。这就证明了在两人零和博弈无限次重复的所有阶段都不可能发生合作，博弈方会一直重复原博弈的混合策略纳什均衡。

同样，上述结论也可以推广到更多博弈方、非零和的其他严格竞争博弈的无限次重复博弈。

例2　寡头竞价的无限次重复博弈

下面我们以寡头竞价为例来分析原博弈有惟一纯策略纳什均衡的囚徒困境式无限次重复博弈问题。有惟一纯策略纳什均衡的博弈可以分为两种情况：一种是原博弈惟一的纳什均衡本身是帕累托效率意义最佳策略组合，符合各博弈方最大利益的情况，此时采用原博弈的纯策略纳什均衡本身是各个博弈方能实现的最好结果，符合所有博弈方的利益，因此不管是有限次重复博弈还是无限次重复博弈，都不会与一次性博弈有什么区别；另一种则是惟一的纳什均衡并不是效率最高的策略组合，因此存在潜在合作利益的囚徒困境式博弈。

我们看图5.11所示的寡头竞价博弈的无限次重复模型，H和L分别表示高价和低价两种策略。

图5.11

由静态博弈分析知，该博弈的一次性博弈有惟一的纯策略纳什均衡（L_1，L_2），双方得益为（1，1）。显然该纳什均衡并不是帕累托效率意义上的最佳策略组合，最佳策略组合是（H_1，H_2），得益为（4，4）。然而（H_1，H_2）不会出现，因为它不是该博弈的纳什均衡。根据上一节的分析，该博弈的有限次重复博弈并不能实现潜在的合作利益，两博弈方在每次重复中都不会采用较高的（H_1，H_2）。那么在无限次重复中，这种状况会不会改变呢？

假设博弈方在这个博弈的无限次重复博弈中，开始选择相互合作的战略，并且当且仅当前面每个阶段博弈方都选择合作时，在后面阶段的博弈中也选择相互合作，并且采用如下的触发策略：第一阶段采用H，在第t阶段，如果前t－1阶段的结果都是（H_1，H_2），则继续采用H，否则采用L。也就是说，双方在无限次重复博弈中都是先试图合作，第一次无条件选L，如果对方采取的也是合作态度，则继续选H；一旦发现对方不合作（选择L），则用以后永远选L进行报复，从此博弈双方不再合作。我们首先说明双方采用上述触发策略是一个纳什均衡，也就是要证明在假设博弈方1已采用了上述触发策略的条件下，当δ达到某个水平时，采用同样的触发策略是博弈方2的最佳反应策略。因为博弈方1与博弈方2是对称的，因此只要这个结论对博弈方2成立，对博弈方1也同样成立，这样就可以确定上述触发策略是两博弈方相互对对方策略的最佳反应，从而构成纳什均衡。由于在某个阶段出现与（H_1，H_2）不同的结果以后博弈方1将永远选择策略L，因此博弈方2也只有一直选择策略L。现在剩下的就是要分析博弈方2在第一阶段的最优反应。

如果博弈方2采用L，那么在第一阶段能得到5，但以后引起博弈方1一直采用L的报复，自己也只能一直采用L，得益将永远为1，总得益的现值为

显然，博弈方2如果采用H，他将在第一阶段得到4，而且下一阶段又面临同样的选择。若用V记博弈方2在该博弈中每阶段都采用最佳策略选择时的总得益的现值，由于从第二阶段开始的无限次重复博弈与从第一阶段开始的只差一阶段，因此在无限次重复时可看做是相同的，其总得益的现在值折算成第一阶段的得益为δ·V。因此，当第一阶段的最佳选择是H时，整个无限次重复博弈总得益的现在值为

因此，当

也即δ＞1/4时，博弈方2将采用H策略，否则会采用L策略。也就是说，博弈方2对博弈方1触发策略的最佳反应是第一阶段采用策略H。由于从第二阶段以后是完全相同的，因此博弈方在第二阶段开始以后每一个阶段的选择必然也是H，因此只要博弈方1采用前述的触发策略，那么博弈方2的最优选择就始终是H。反之，如果博弈方1偏离策略H，而采用L，将导致博弈方2也采用L对其进行报复。因此博弈方2对博弈方1触发策略的应对策略是采用和博弈方1同样的触发策略。这说明采取触发策略对博弈双方来说都是稳定的策略，因而是一个纳什均衡。

由于重复博弈的子博弈就是重复一定次数之后的全部重复博弈过程，因此无限次重复博弈的子博弈还是无限次博弈，而且触发策略在所有子博弈中都仍然构成相同的触发策略，因此必然也是这些子博弈的纳什均衡，从而上述触发策略组合构成整个无限次重复博弈的子博弈精炼纳什均衡，其均衡路径为，当δ＞1/4时两博弈方每阶段都选择H。

同有限次重复分析的结果一样，在该博弈构成的无限次重复博弈中，子博弈精炼纳什均衡路径不止一条，如两博弈方始终都选原博弈的纳什均衡（L，L）就是其中之一。但后者的得益要差得多，选择它是非理性的，因此双方合理的选择是触发策略而不是坚持原博弈的纳什均衡。

例3　猜硬币博弈

下面我们把第一章中猜硬币博弈的得益做一些改变。如果盖方和猜方两人都选正面，则每人得到1元的奖赏，如果两人都选反面，则每人得到3元的奖赏，如果盖方选正面，猜方猜反面，则盖方得到4元的奖赏，而猜方没有奖赏，反之亦然。于是得到下面图5.12所示的得益矩阵。

图5.12

该博弈中，博弈双方有惟一的纯策略纳什均衡（正面，正面），但对双方最好的均衡（反面，反面）没有出现。假定博弈开始时博弈双方都承诺要出反面。这样的承诺是否会实现呢？如果只是一次性博弈，则这样的承诺是不可信的，因为每个人有改变策略的动力。

现在是无穷多次重复该博弈，并且仍然采用“冷酷策略”，这时候双方都知道，如果对方发现自己不守信用，上次出正面，那么对方就不会相信自己的话了，他今后就会出正面进行报复。也就是说，自己只能占一次便宜；而对方也只会吃一次亏。从长远利益考虑，自己的最优选择是信守承诺，出反面。

假定是无限多次重复博弈，则博弈双方的考虑将会是：如果前面m次出反面，第m＋1次违背承诺出正面，那么自己的得益是3m＋（n－m），而如果一直出反面，则支付是3n，显然3n＞3m＋（n－m）。所以，应该选择一直出反面，这样对博弈双方最好的均衡（反面，反面）就会出现。

当然，如果博弈双方知道n的确切数值，则博弈中的某一方会在最后一次改变策略，出正面，希望得到3（n－1）＋4的支付，因为3（n－1）＋4＞3n。

但问题是，对方也不傻，也会了解到他的这种选择。所以，只有当n为不确切的数值时，双方才会信守承诺。

上面的分析表明，由于在无限次重复博弈中，报复的机会总是存在的，所以每一个博弈方都不会采取违约和欺骗的行为而选择合作，囚徒困境合作的均衡解就会出现。这一结论与现实不太相符。因为现实生活中的博弈总是有限次的，那么上述结论是否说明囚徒困境式博弈（如寡头之间）中的合作总是不能实现呢？其实，无限次重复博弈的特点是每一个博弈方都不知道哪一次是最后期限，所以，报复策略威胁的存在使得各博弈方都会把合作维持下去，换言之，在有限次重复博弈中，如果每一个博弈方在每一次都认为在下一次博弈中还要继续相互打交道，这就与无限期重复博弈没有什么区别。所以，在不能确定最后期限的有限次重复博弈中，合作均衡是可以存在的。

二、无限次重复博弈的“无名氏定理”

通过上面两个例子的分析我们发现，在一次性博弈和有限次重复中都无法实现的囚徒困境博弈中的合作关系，在无限次重复博弈的情况下是可以实现的。而且，在有限次重复博弈中只有在原博弈有多个纯策略纳什均衡的情况下才会存在的合作，在无限次重复博弈的情况下只要原博弈有一个纳什均衡就可能存在。于是，我们又得到无限次重复博弈的无名氏定理。

无限次重复博弈“无名氏定理”：设G是一个完全信息的静态博弈。用（e_1，…，en）记G的纳什均衡的得益，用（x_1，…，xn）表示G的任意可实现得益。如果对任意博弈方i有xi＞ei成立，而且如果δ足够接近1，那么无限次重复博弈G（∞，δ）中一定存在一个子博弈完美的纳什均衡，博弈方的平均得益就是（x_1，…，xn）。

该定理又叫弗里德曼（Friedman）定理。

定理中之所以要δ足够接近于1，是为了让博弈中未来值足够大，这样博弈方就不会只顾眼前利益，而放弃将来利益，选择不合作。

下面我们就对该定理给予简单的证明。

令（aei，…，aen）为G的纳什均衡，其均衡收益为（e_1，…，en）。类似地，令（ax1，…，axn）为带来可行得益（x_1，…，xn）的行动组合（后面的符号只是象征性的，因为它忽略了要达到任意可行得益一般都需要借助于公用的随机数发生器），考虑博弈者i的以下触发策略：

在第一阶段选择axi。在第t阶段，如果所有前面t－1个阶段的结果都是（ax1，…，axn），则选择axi。如果博弈双方都采用这种触发战略，则无限次重复博弈的每一阶段的结果都将是（ax1，…，axn），从而期望的得益为（x_1，…，xn）。

下面，我们首先证明如果δ足够接近于1，则博弈者的这种触发策略是重复博弈的纳什均衡，然后再证明该纳什均衡是一个子博弈精炼的。

假设除博弈者i之外的所有博弈者都采用了这一触发战略。由于一旦某一阶段的结果不是（ax1，…，axn），其他博弈者将永远选择（ae1，…，ae，i－1，ae，i＋1，…，aen），博弈者i的最优反应为，一旦某一阶段的结果偏离了（ax1，…，axn），就永远选择aei。然后就是要确定博弈者i在第一阶段的最优反应，以及这之前所有阶段的结果都是（ax1，…，axn）时的最优反应。令adi为博弈者i对（ax1，…，axn）的最优偏离，即adi是求下列最大值问题的解

令di为博弈者i从偏离中得到的得益：di＝ui（ax1，…，ax，i－1，adi，ax，i＋1，…，axn）。我们有

di≥xi＝ui（ax1，…，ax，i－1，axi，ax，i＋1，…，axn）＞ei＝ui（ae1，…，aen）

虽然选择adi将会在当前阶段得到最大的得益di，但却将触发其他博弈者永远选择（ae1，…，ae，i－1，ae，i＋1，…，aen），因此博弈者i的最优选择应为aei，而不是adi，于是未来每一阶段的收益都将是ei，而不是di。这一得益序列的现值为

由于任何偏离都将触发其他博弈者的相同反应，因此我们只需考虑能带来最大收益的偏离就足够了。另一方面，选择axi将在本阶段得到得益xi，并且在下一阶段可在adi和axi之间进行完全相同的选择。令Vi表示博弈者i就此作出最优选择时各阶段博弈收益的现值。如果选择axi是最优的，则有

或

如果选择adi是最优的，则有

显然，当且仅当下式成立时，选择axi是最优的：

或

从而，在第一阶段，并且在此之前的结果都是（ax1，…，axn）的任何阶段，在其他博弈者已采用触发策略的情况下，当且仅当δ≥（di－xi）/（di－ei）时，博弈者i的最优行动是选择axi。

给定这一结果以及一旦某一阶段博弈的结果偏离了（ax1，…，axn），则博弈者i的最优反应是永远选择aei，我们得到当且仅当下式成立时，所有博弈者采用的触发策略是纳什均衡：

由于di≥xi＞ei，对每一个博弈者i都一定有（di－xi）/（di－ei）＜1，那么对所有博弈者上式的最大值也一定严格小于1。

下面再来证明这一纳什均衡是子博弈精炼的，即触发策略必须在G（∞，δ）的每一个子博弈中构成纳什均衡。

由于G（∞，δ）的每一个子博弈都等同于G（∞，δ）本身。在触发策略纳什均衡中，这些子博弈可分为两类：一是所有前面阶段的结果都是（ax1，…，axn）时的子博弈；二是前面至少有一个阶段的结果偏离了（ax1，…，axn）时的子博弈。如果博弈者在整个博弈中采用了触发策略，则博弈者在第一类子博弈中的策略同样也是触发策略，它是整个博弈的一个纳什均衡；同时博弈者在第二类子博弈中的策略永远是简单重复阶段博弈均衡（ae1，…，aen），它也是整个博弈的一个纳什均衡。这样我们就证明了无限次重复博弈的触发策略是子博弈精炼纳什均衡。

再回到上述两寡头竞价模型。在两寡头竞价模型的无限次重复博弈中，纳什均衡的得益数组为（1，1），所有可实现得益构成图4.13中由X（1，1）、A（0，5）、B（4，4）和C（5，0）四点连成边界线围成的整个阴影部分面积中点的坐标。无限次重复博弈的“无名氏定理”应用到该博弈中意味着，由图5.13中竖线条阴影部分中点的坐标对应的双方数组，在该博弈的无限次重复博弈中，都有无限次重复博弈的子博弈精炼纳什均衡的平均得益来实现它们。

例4　古诺模型

图5.13

无名氏定理说明在无限次重复博弈中，在采用触发策略的情况下，只要博弈方发生任何背离触发策略的情况，就在以后阶段永远转到该博弈的纳什均衡（如竞价博弈中选择（L_1，L_2），即触发不合作）；反之，它就可以起到制约背离，达成在整个博弈中合作的效果。而且，我们还发现博弈方的行为选择越多，重复博弈的路径也越多，在无限次重复博弈中实现较高效率均衡的机会也会越多。为此，我们来分析古诺模型的无限次重复博弈问题。

古诺模型我们在第二章中已经进行了介绍。同第二章的分析，我们仍然假设市场的出清价格P＝P（Q）＝a－Q，其中Q＝q_1＋q_2为市场总产量，q_1，q_2分别为模型中两博弈方企业1和2的产量。再设两企业都无固定成本，边际成本都为C。根据前面的分析该博弈的一次性博弈存在惟一的纳什均衡，即两厂商都生产单位产量，我们称其为“古诺产量”并用qc表示，而且如果该市场只有一家企业垄断，其最佳垄断产量为，纳什均衡条件下的总产量大于垄断产量。如果两企业各自生产垄断产量的一半时，那么两企业的得益都会较均衡情况下提高。不过这一结果在一次性静态博弈及有限次重复博弈中不可能实现。那么在无限次重复时，博弈方的行为和博弈的均衡又会怎样，这一结果可否实现呢？

我们首先可以证明的是，在无限次重复古诺模型中，当贴现率δ满足一定条件时，两企业都采用下列触发策略构成一个子博弈精炼纳什均衡：

各自在第一阶段生产垄断产量的一半；在第t阶段，如果前t－1阶段两个企业的产量都是（），则继续生产，否则生产古诺产量。

显然，和有限次重复博弈中的触发策略一样，这种触发策略的实质同样是博弈方先试图合作，选择符合双方利益的产量，而一旦发现对方不合作，偏离对双方有利的产量，则以选择纳什均衡产量来进行报复。当双方都采用上述触发策略，每阶段生产产量（）时，博弈双方每阶段的得益都均为，记为。

设企业1已采用该触发策略，如果企业2也采用该触发策略，则双方每期得益为，无限次重复博弈总得益的现值为：

如果在企业1的生产产量为的条件下，企业2偏离上述触发策略，则它在第一阶段所选产量应该是使得自己的利润最大时的产量，即满足：

其解为，相应的利润为，显然高于不偏离触发策略时第一阶段的得益。但是，由于企业2的偏离，从第二阶段开始，企业1将报复性地永远采用古诺产量，这样企业2也被迫永远采用古诺产量，从此得利润。因此，无限次重复博弈第一阶段偏离的情况下总得益的现值是：

要使两企业采用上述触发策略成为纳什均衡，必须有：πA≥πB，即偏离劣于不偏离，解得。因此，当时，上述触发策略是企业2对企业1的同样触发策略的最佳反应。当δ＜9/17时，偏离是企业2对企业1的触发策略的最佳反应。第一种情况说明，由于贴现系数δ较大，因此对企业2来说未来利益是足够重要的，它不会为了一次性的眼前利益而惹怒对方，导致自己的将来利益和长期利益受到损失。第二种情况则说明未来得益折算成现值的贴现系数太小，博弈方非常不看重将来的利益时，它就会只顾得到更多的眼前利益，不会为将来的长期利益谋划，也不会害怕对方在未来阶段的报复，在这种情况下无限次重复博弈不可能提高原博弈的效率。

下面我们进一步分析δ＜9/17时，即偏离触发策略时的情况。

当δ＜9/17时，上述触发策略不是无限次重复博弈的纳什均衡，更不是子博弈精炼纳什均衡。但这并不是说当δ＜9/17时，两企业就一定只能在每阶段都采用古诺产量，实现每阶段结果为原博弈的低效率纳什均衡的得益。虽然δ较小，但我们还是可以通过选择δ，使各企业把产量都控制在比古诺产量qc低的水平，即垄断产量的一半qm/2和古诺产量qc之间的某个中间产量水平q*，从而实现在选择qc时要高许多的效率，但该效率仍然比选择qm/2时要低得多。为实现这种效率上的改进，我们以q*为基础构造另一种双方共同采用的触发策略：

在第一阶段生产q*；在第t阶段，如果前t－1阶段的结果都是（q*，q*），则继续生产q*，否则生产古诺产量qc。

根据该触发策略，当双方都采用该策略时，均衡路径为每阶段都生产（q*，q*），两企业的得益都为＝（a－2q*）q*－q*＝（a－2q*－c）q*。如果无限次重复博弈得益的现值为/（1－δ）＝（a－2q*－c）q*/（1－δ），企业1计划生产的产量为q*，则厂商2在第一阶段偏离触发策略时的产量应使自己的利润最大，显然该产量应该满足：

解得q_2＝（a－c－q*）/2，相应的得益为πd＝（a－c－q*）2/4。由于企业2的偏离，根据上述触发策略，从第二阶段开始，企业1必然报复性地采用古诺产量qc，因此企业2也只能采用古诺产量，从此得益永远为πc。此时，无限次重复博弈得益的现值为

只有当

即时，两企业都愿意也采用上述触发策略，不会偏离。解得

即当时触发策略才是稳定的。即在此触发策略下的子博弈精炼纳什均衡产量q*为

该产量随着δ的增大而单调递减，向qm/2逼近。因此δ越大，将来利益越重要，就能支持越低的子博弈精炼纳什均衡产量q*。当δ接近0，q*接近古诺产量qc；当0＜δ＜9/17时，；当δ越接近9/17，q*接近qm/2；当δ达到或超过9/17时，就能支持最大效率的垄断低产量qm/2。

下面我们构造另外一种触发策略，该策略的出发点是威胁使用最严厉的可信的惩罚。在该策略下，当δ的条件比前面分析得更宽松时，也可以实现前面第一情况下的产出，即。该触发策略可表述为：

第一阶段生产垄断产量的一半qm/2；在第t阶段，如果第t－1阶段的结果为（qm/2，qm/2），则生产qm/2，如果第t阶段的结果为（x，x），也生产qm/2，否则生产x。

显然上述策略中x应该为比古诺产量qc更高的惩罚性产量，因为在本策略中惩罚不是永久性的，采用qc不足以约束对方的行为。

该触发策略为博弈方在博弈中提供了两种策略选择。一种是惩罚策略，即如果两企业之一偏离合作性的产量qm/2，另一方就开始惩罚。另一种策略是合作，即如果两企业在某一阶段中都相互惩罚，则下阶段彼此又重新试图合作。也就是说，采用该策略的博弈方在另一方与自己步调不一致时下一阶段采用较高的x加以惩罚，步调一致则在下一阶段回到合作。因此，该触发策略意味着，当任何博弈方偏离了合作时，惩罚开始，如果任何一个企业背离了惩罚，则会使博弈进入新一轮惩罚。如果两个企业都不能背离惩罚，则在下一阶段又回到合作。这是一种典型的“胡萝卜加大棒”（Carrot-and-Stick）策略。我们现在来看双方都采用该策略在什么条件下是子博弈精炼纳什均衡。

设双方都采用上述策略，则博弈路径是每阶段都采用（qm/2，qm/2），双方每阶段都得到垄断利润的一半，即，，无限次重复博弈得益的现值为/（1－δ）。如果两企业都生产x，则每个企业的利润为（a－2x－c）x，记为πx，则企业总的收益V（x）为：；如果企业1在第一阶段生产qm/2，但企业2在第一阶段偏离，采用偏离产量qd，则qd必须满足

解得，本阶段得益为，第二阶段企业1将采用x加以惩罚，这时企业2第二阶段也必须采用x，因为这样才能避免企业1第三阶段进行惩罚。这样，企业2第二阶段的得益为πx＝（a－c－2x）x，此后合作重新开始并继续下去，双方都不再偏离合作（qm/2，qm/2）直到永远，后面所有阶段的得益与双方从一开始就合作的得益完全相同。因此企业2在第一阶段是否选择偏离的依据，就是第一阶段偏离所得到的好处与第二阶段受惩罚损失的现值的大小关系。即当：

时，亦即：

时，企业2在第一阶段不会选择偏离。同时，从该不等式可以看出，企业2是否偏离不仅取决于δ，还取决于企业1用于惩罚的产量x的大小，如果x的数值太小，惩罚的力度不够大，不足以保证企业2与企业1的合作。比如选x＝qc＝2，此时δ必须大于1.125才能使企业2保持与企业1合作，显然贴现系数大于1是不可能的，这说明企业2的选择必然是偏离合作，决不会顾及惩罚。

以上我们只是考虑了企业2在第一阶段是否偏离上述触发策略的选择，但是企业2在重复博弈后面任何一个阶段的情况实际上与第一阶段是完全一样的，因为博弈无论从哪个阶段开始都是一个无限次重复博弈，对方的策略也与从第一个阶段开始的重复博弈相同。因此，在惩罚性产量x和贴现系数δ满足一定条件，如x≥2.25，δ＝1/2的情况下，如果企业2在第一阶段的选择是不偏离，那么它在以后任何阶段的选择必然也会是不偏离。企业1的选择与企业2的完全一样。因此，当x≥2.25，δ＝1/2时双方采用前述策略是子博弈精炼纳什均衡。这证明了在古诺模型的无限次重复博弈中，即使未来得益的贴现系数较小，也还是存在合作的可能性，能够实现比一次性博弈或有限次重复博弈更高效率的子博弈精炼纳什均衡。

下面我们再来看一个技术创新博弈的例子。

例5　技术创新博弈

假定市场上有两个实力相同的企业，两个企业在竞争开始时产品是没有差异的，产品价格、市场占有率均相同，两企业沿着相同的路径进行技术创新，若同时成功，两企业平分市场。当A、B都不进行创新时，由于实力相同，利益为（s，s），当某一企业创新而另一企业不创新时，创新企业的收益为n，不创新企业的收益为m，这时，数量关系为：n＞s＞m。在上述假定下，有如下图5.14所示的得益矩阵：

图5.14

当双方都进行创新并获得成功时，双方收益为q。在不合谋的情况下，给定企业A“创新”，则企业B的最优选择是“创新”，反之，企业B的选择亦然。因此，在不合谋的情况下，上述博弈的纳什均衡是（创新，创新）。

当q＜s时，则两个企业完全有动力合谋，在合谋的情形下，两企业可以永远不进行技术创新，因为从纯粹理论分析而言，这种战略选择比两位同时选择创新时收益还要增加（s－q）。但在合谋（合谋行为为两个企业签订了一个不创新的“合同”）下，上述均衡可能就是不稳定的，也就是说，当任一企业选择“创新”，而另一企业选择“不创新”，创新企业将赢得比合谋时更多的利益（n＞s）。这时，在静态博弈的框架下，两位企业将随机化自己的策略，即任一企业选择创新与不创新的概率分布是使得另一企业选择创新与不创新的收益是一样的。设某一企业遵守合同（即选择不创新）的概率为p，突破合同的概率为1－p，此时，另一企业的遵守合同的期望收益为：

ps＋（1－p）m

反之，另一企业违背合同时的期望收益为：

pn＋（1－p）q

令上述两式相等，可解出，也即企业将以的概率选择遵守合同，以的概率选择违背合同。

以上仅是在静态博弈的框架下进行讨论，然而在现实生活中，上述技术创新博弈是经常重复进行的，而且在重复博弈下，企业的行为与阶段博弈情况（即所谓的“一锤子买卖”）的结果可能是完全不同的。

假设企业A与企业B进行无穷阶段的重复博弈，每一阶段的得益矩阵同上，博弈开始时，两企业处于合谋状态（即都不进行产品创新），当任一企业违反合同进行“创新”，另一企业将进行如下触发战略，即一旦某一企业违反合同，在以后阶段另一企业都选择“创新”。给定贴现系数（r为利率），违反合同企业的收益R_1为：

考虑相反的情形：若该企业不违反合同（另一企业也不违反合同），其收益R_2为：

当R_1＞R_2时，即：

时，企业将突破合作限制，亦即当时，企业将突破合作限制。也就是说，在合谋情形下的重复博弈中，时（不创新，不创新）均衡将出现；反之，当时，（创新，创新）是纳什均衡。

根据上面的分析，若创新将不可避免地发生，则两个企业之间仍有动力合谋，这时，两企业选择的策略是合作进行技术创新。实际上，在现实的经济生活中，由于达到同一技术目标的路径可能不同，另外，模仿也有可能会发生，因此，若两个企业都投入很大力量独立进行技术创新，对它们来说，并不一定是最优选择，如果两者合作进行技术创新，则会减少创新成本。更重要的是，若行业外还有潜在的进入者，且潜在的进入者可以通过技术创新进入该行业。若进入前，两个企业的总利润为π_1，如果两个企业有效地进行技术创新，阻碍了潜在进入者的进入，则利润为，如果进入发生，则行业的总利润为，进入者的利润为π。两个企业阻碍进入的收益为－，因此，当－超过阻碍进入的成本时，则两个企业将抢先进行技术创新以阻止其他企业进入。进一步分析，在这种情况下，若两个企业独立进入技术创新，不但总成本会比合作时增加很多，而且由于技术创新力量分散，两个企业也不能享受由于诸如知识外溢等带来的成本降低。给定－，则成本降低越多，两个企业收益越大。如果再考虑技术创新的不确定性，则两企业合作会增加技术创新成功的可能性，此时合作更有可能发生。因此，当潜在进入者的进入导致收益－，也就是说，进入导致行业总利润下降时，则潜在的进入压力可以使两企业合谋。

例6　效率工资博弈（Efficiency Wages）

在企业经济活动中，员工的有效激励是一个重要的问题。激励员工最有效的手段，一般来说就是企业支付给员工的工资。

对于一个企业来说，既要考虑降低劳动力成本，又要用适当的高工资激励员工努力和提高产出，在考虑到工人对工资率的反应的情况下确定最适当的、经济效率最高的工资率，从而产生所谓的“效率工资”（Efficiency Wages）问题。

下面我们分析一个关于企业和员工的效率工资博弈模型的重复博弈问题。该重复博弈是一个动态博弈。

模型的设计是这样的：企业首先给出一个工资水平ω，然后员工考虑是接受还是拒绝。如果员工拒绝ω，则他只能自雇，此时得到的收入为ω_0（ω_0＜ω）；如果员工接受ω，则员工进而选择是努力工作（负效用为e）还是偷懒（无负效用）。假设企业无法看出员工工作是否努力，只能看到产量的高低。设产量有高低两种情况，高水平产出为y＞0，低水平产出为0。假设员工努力工作时得到高产量y，不努力时则以概率P得到高产量y，以概率1－P得到低产量0。可见，低产量毫无疑问说明员工偷懒，但高产量却并不一定证明员工在努力工作。

如果企业用工资水平ω雇用员工，则员工努力工作时，企业的得益为y－ω，员工的得益为ω－e。当员工偷懒时，企业的期望得益为py－ω，员工的得益为ω。显然这是一个企业先选择，员工然后选择的动态博弈。

如果该模型只进行一次博弈，其结果肯定不会理想，因为企业要首先付工资给员工，即使发觉员工不努力也必须支付工资给他，而且如果员工没有努力工作的激励，他就会愉懒。由于企业了解员工的这种思路，因此他决不会冒险去雇用不会努力工作的人（当p不够大时，py－ω常是负数），此时他的选择肯定是ω＝0。如果我们假设ω－e＞ω_0，说明自雇对员工来说是不划算的。

在无限次重复博弈中，企业通过支付高于ω_0的工资ω，并威胁一旦产量低就解雇员工的方法促使员工努力工作。

假设企业已经找到了使员工努力工作的工资水平ω*，我们在此基础上构建企业和员工的下列触发策略：企业在第一阶段给出工资率ω*，在第t阶段，如果前面t－1阶段的结果都是（ω*，y），则继续给ω*，否则从此永远是ω＝0。员工的策略是如果ω＞ω_0则接受，否则自己干，得到收益ω_0，并在以前各期结果都是（ω_0，y）和当前工资率为ω*时努力工作，否则偷懒。显然该策略执行的结果是：企业得到满足的“高工资，高产出”，员工得到满意的工资水平。

该触发策略与前面例子中的触发策略一样，也是首先选择合作，一旦发现对方背离合作，就永远转向原博弈的纳什均衡，即也不合作，给对方以惩罚。员工的策略灵活一些，因为员工在这个动态原博弈中是后选择，因此不但能根据前面各阶段的结果选择，而且还能根据企业当前阶段是否偏离合作进行决策，即是否接受工作和是否努力工作。具体讲就是，如果ω不等于ω*，但又大于ω_0，则员工肯定接受雇佣但一定会选择偷懒。

那么在什么条件下两博弈方的上述触发策略构成子博弈精炼纳什均衡呢？下面我们给出分析。

设企业已采用上述触发策略。由于ω*＞ω_0，员工接受工作肯定是最佳反应。如果努力工作，那么产出一定是高产量，而下一阶段企业给的工资也将还是ω*，员工在下一阶段再次面临同样的是否努力工作的选择。假设努力工作是员工的最佳选择，用Ve记员工努力工作时无限次重复博弈得益的现值，则和古诺双头重复博弈分析一样，Ve满足。

Ve＝（ω*－e）＋δVe

即

Ve＝（ω*－e）/（1－δ）

如果员工偷懒，那么员工高产量的概率为p，低产量的概率为1－p。出现高产量企业仍会给工资ω*，出现低产量企业将永远解雇员工，员工得到收入ω_0。如果偷懒对员工来说是最好的选择，用Vs记其选偷懒时无限次重复博弈得益的现值，则有：

即

Vs＝［（1－δ）ω*＋δ（1－p）ω_0］/（1－δp）（1－δ）

当Ve≥Vs，即

时，努力工作是员工的最优选择。也就是说，要使员工努力工作，企业的工资ω*不仅要能够补偿工人的工作机会成本和努力工作的负效用，即ω_0＋e，而且还必须在此基础上有一点升水，要求的升水幅度取决于努力工作的负效用，也取决于未来得益折算成当前得益的贴现系数和偷懒也可能得到高产量的概率p。

（1）负效用越大则说明需要更多的工资补偿才能让员工努力工作。

（2）贴现系数δ越小则说明未来利益越不重要，这样要想让员工当前努力工作以保持将来的工作机会，就必须给予员工较高的当前的工资水平。

（3）偷懒得到高产出的概率越高，则员工丢饭碗的风险也就越小，除非工资更高，否则还是宁愿偷懒，当偷懒很难被发现时，要让员工努力工作必须工资非常高。

现在假设员工已采用前述触发策略。对于企业来说，如果企业给予员工的工资率ω*满足（5.1）式要求，并且威胁一旦产量低就解雇员工，则企业在各阶段得益为y－ω*，无限次重复博弈得益的现值为（y－ω*）/（1－δ）。如果不愿给ω*，并解雇员工，此时企业的得益为0。因此，只要y－ω*≥0，企业选择前述触发策略就是对员工所采取的触发策略的最佳反应。

综上所述，在满足y－ω*≥0和（5.1）式的条件下，双方的触发策略构成一个纳什均衡。y－ω*≥0和（5.1）式的结合实际上意味着：

即员工努力工作的产出y扣除其努力工作的负效用以后的剩余，必须不小于员工自雇时的收入，加上一定比例的附加部分，即升水。该附加部分取决于员工努力的负效用、贴现系数和偷懒可能得高产量的概率等因素。该不等式正是存在有效工资率、工资激励有效的基本条件。

下面我们还要证明上述触发策略组合也是子博弈精炼纳什均衡。首先我们观察一下这里的重复博弈的子博弈的特点。前面介绍的以静态博弈作为阶段博弈的无限次重复博弈，其子博弈开始于两个阶段之间，是原博弈的重复，而我们这里考虑的无限次重复博弈，其阶段博弈是动态的，博弈方的行动是相继的，有先后顺序的，除了从两次重复博弈之间开始的子博弈以外，还有从员工对企业选择ωi之后产生的反应开始的子博弈。因此我们可以将子博弈分为两类：

（1）从企业选定员工工资水平之后开始的子博弈；

（2）从员工的选择、反应开始之后的子博弈。

在第（1）类子博弈中，即从企业选定员工工资水平开始的子博弈来看，它们是与原重复博弈完全相似的无限次重复博弈，当双方的触发策略在原重复博弈中是纳什均衡时，在这种子博弈中必然也是纳什均衡。如果我们也能证明所确定的策略组合在第（2）类子博弈中也构成Nash均衡，则我们就从基本定义出发证明了策略组合是子博弈精炼均衡。

在第（2）类子博弈中，如果前面各阶段都是纳什均衡，本阶段企业还是选ω*，则员工的最佳选择是努力工作，而对员工的努力工作选择，企业从下一阶段开始的反应还是坚持先选择一次ω*并坚持触发策略。因此在这种子博弈中双方的触发策略也是纳什均衡，这就证明了双方采用前述触发策略是这个重复博弈的子博弈精炼纳什均衡。

由于我们假定阶段博弈中只有一个企业与一个员工，因此上面的例子作为无限次重复博弈的一类讨论是合理的，但所得结论却与现实相距甚远。在我们得到的子博弈精炼纳什均衡中，自雇是永久性的：如果员工在任何时候被发现偷懒，企业从此以后给予的ω＝0；如果企业在任何时候偏离开价ω＝ω*，那么员工将不再努力工作，企业也就不再承担雇用员工的费用。这种永久性自雇是否合理呢？由于企业与员工的单一性，显然双方宁愿返回无限次重复博弈中的高工资、高产量均衡，因为这对双方都有好处。其实，在单一的阶段博弈中，由于像重复博弈中的惩罚不会付诸实施，因此，类似重复博弈中由此类惩罚的威胁所导致的合作不再是均衡。

在正式的实际劳动力市场，企业雇用多个员工，对于一个员工的上述情况，企业是不愿意重新谈判的，因为与一个员工的重新谈判可能搅乱与其他员工的高工资、高产量均衡。假如有多家企业，问题又转成企业j是否录用被企业i正式解雇的工人。也许企业j不会，因为它担心这样做会搅乱它与自己目前雇用员工之间的均衡，恰如在单个企业情况一样。

此外，如果解雇的员工总是可以找到他们乐于自谋出路的新工作，那么，正是这些新工作的工资在这里起着自谋出路中工资ω_0的作用。在被解雇员工根本未遭受损失的极端情况下，就不存在无限次重复博弈中对可能的偷懒实施惩罚，因而也不存在员工努力工作的子博弈精炼均衡。

思考题

1．如果重复第一章田忌赛马博弈T次，双方在该重复博弈中的策略和结果将会怎样？

2．试述有限次重复博弈和无限次重复博弈的主要区别。

3．如果重复图5.15的静态博弈两次，试问博弈方1将会采取什么样的策略？

图5.15

4．求出图5.16的静态博弈的纳什均衡，并说明有限次和无限次重复该博弈时两博弈方的均衡策略。

图5.16

第六章　不完全信息静态博弈

在前面第二章中，我们讨论的是完全信息博弈，在完全信息博弈中，博弈方的特征、收益函数及策略空间是博弈者之间的共同知识。但在现实生活中，许多博弈并不满足这些要求。比如，当企业向消费者介绍商品时，企业并不知道消费者的需求、偏好、收入类型、支付函数；再比如在古诺模型中，两个寡头也未必就知道对方的成本函数类型。这类不满足完全信息假设条件的博弈叫做不完全信息博弈。不完全信息博弈也称为“贝叶斯博弈”，本章我们分析不完全信息静态博弈。

第一节　贝叶斯纳什均衡

一、静态贝叶斯博弈（Static Bayesian Game）

在阐述贝叶斯均衡之前，我们在这里先介绍几个静态贝叶斯博弈的例子。

例1　密封拍卖（Sealed-bid Auction）

拍卖和招投标是比较典型的不完全信息静态博弈，拍卖和招投标的两个基本功能是：揭示信息和减少代理成本。根据拍卖交易制度的不同，目前有5种主要的拍卖机制：英式拍卖、荷兰式拍卖、一级密封价格拍卖、二级密封价格拍卖、双方叫价拍卖。在英式拍卖中，投标者按照递增的顺序宣布他们的出价，直到没有人愿意出更高的价格，出价最高的投标者获得拍卖品；在荷兰式拍卖中，拍卖从一个非常高的初始价格逐渐降低到有一个买主接受报价；在一级密封价格拍卖中，出价最高的投标者获得拍卖品，并支付自己的出价给卖者；在二级密封价格拍卖中，出价最高的投标者获得拍卖品，但支付次高价格给卖者；在双方叫价拍卖中，所有的买主和卖主同时出价，拍卖商然后选择成交价格出清市场。显然，拍卖或招投标问题属于不完全信息博弈，包括不完全信息静态博弈和不完全信息动态博弈。密封拍卖构成一个典型的不完全信息静态博弈，也就是静态贝叶斯博弈。

密封拍卖一般有这样几个基本特征：

（1）各方的报价放在密封的投标里上交；

（2）在统一的时间里公证开标；

（3）每一个报价方知道自己对标的的估价，但不知道其他报价方对标的的估价；

（4）一般是标价最高者中标。

我们假设卖主不设定成交的最低限价，未中标者没有成本。显然这种暗标拍卖是发生在投标人之间的，在同时开标的情况下（即同时选择）展开的一次性静态博弈，各个博弈方的策略是他们各自提出的标价；中标博弈方的得益是其对标的的估价与成交价格之差，未中标博弈方的利益则为0。

在密封拍卖中，中标博弈方的利益除了取决于标价以外，还取决于他对拍卖标的物的估价，买价估价是私人信息，因此在密封拍卖博弈中，各个博弈方对其他博弈方中标的实际得益无法确知，只能自己判断，这说明上述暗标拍卖博弈确实是不完全信息博弈，是静态贝叶斯博弈。

例2　市场进入博弈模型

设有一个市场已经为某企业A（称为在位企业）所占有，现在有一个潜在的企业B（称为进入者）也想进入这一市场分割一些利润，但都不知道在位企业A的成本函数，以及当自己决定进入市场时企业A的反击策略选择（假设企业A有默许和斗争两种策略）。假定在位企业A有高成本和低成本阻止进入两种成本函数，且对应两种成本情况的不同策略组合的得益矩阵如图6.1所示。

图6.1

在此“市场进入”博弈中，假设在位企业知道进入企业的成本函数，但进入企业对在位企业的成本信息是不完全的，这是一个不完全信息博弈。

例3　不完全信息的古诺模型

前面我们讨论的古诺模型，是假设企业彼此完全了解对方的产量和成本等信息，产量的市场价格也是统一的，因此博弈方的得益是公共知识。但在现实经济活动中，相互竞争的企业之间，一定会保守自己生产和经营的秘密，轻易不会让其他企业了解到自己的真实情况，因此前面的古诺模型中的假设与现实情况并不相符，现实的寡头市场产量博弈模型中各博弈方的得益不可能是公共知识。这样的博弈我们称为“不完全信息的古诺模型”。

设有两企业同时进行产量竞争，市场需求为P（Q）＝a－Q，其中Q为市场总产量，两企业的产量分别为q_1和q_2，且Q＝q_1＋q_2。仍然假设无固定生产成本，企业1的成本函数为C_1＝C_1（q_1）＝c_1q_1，其中C_1为边际成本，这是两企业都知道的公共知识。设企业2的成本有高低两种可能，一种是C_2＝C_2（q_2）＝cHq_2，另一种是C_2＝C_2（q_2）＝cLq_2，且cH＞cL，也即边际成本有高低两种情况。企业2自己知道自己成本的真实类型，企业1只知道企业2属于高成本的概率为θ，属于低成本的概率为1－θ。

下面我们就这个静态贝叶斯博弈进行分析。一般来说，企业2在边际成本是较高的ch时会选择较低的产量，而在边际成本为较低的cl时会选择较高的产量。企业1在决定自己的产量时，肯定会考虑到企业2的这一行为选择特点。设企业1的最佳产量为，企业2的边际成本为ch时的最佳产量选择为（cH），边际成本为cl时的最佳产量选择为（cL），则根据上面的假设，（cH）应满足

（cL）应满足

由于企业1推测企业2为高成本的概率为θ，低成本的概率为（1－θ），从而应满足：

上述三个极限问题的一阶条件为

及

解此三个方程构成的联立方程组，得

把这里得到的均衡产量、（cH）和（cL）同前面已经介绍过的完全信息古诺模型中的均衡产量（a－2c_1＋c_2）/3和（a－2c_2＋c_1）/3进行比较，可以发现当c_2＝cH时，（cH）大于，当c_2＝cL时，（cL）小于。产生上述差异的原因，在于企业2决定自己的产量时，不仅要根据自己的成本调整其产出，而且还必须考虑到企业1不知道企业2的真实成本，无法根据企业2的真实成本进行决策这一情况。例如当企业2实际成本较高时，由于成本较高它应该减少产量，但这时它也要考虑到企业1不知道自己是高成本，因此企业1选择的产量会小于知道企业2是高成本时的最佳产量，此时企业2可以适当多生产一些。

二、静态贝叶斯博弈的表示

在第一章我们已经知道，完全信息博弈的一般表达式为G＝｛S_1，…，Sn；u_1，…，un｝，其中Si是博弈方i的策略空间，ui是博弈方i的得益函数。在完全信息静态博弈中，博弈方的一个策略就是一次选择或一个行为，如果我们用ai表示博弈方i的一个行为，Ai表示他的行为空间，则我们又可以把完全信息静态博弈表达为G＝｛A_1，…，An；u_1，…，un｝，其中ui＝ui（a_1，…，an）是各博弈方选择（a_1，…，an）时，博弈方i的得益。当（a_1，…，an）确定以后，ui也就随之确定了，因此ui是公共知识。但是，在静态贝叶斯博弈中，得益的信息却不是全部公开的。下面我们建立静态贝叶斯博弈的标准表达式。

在静态贝叶斯博弈中，各博弈方虽然知道自己的得益函数，但却无法了解其他博弈方的得益函数，按照一般静态博弈分析方法无法解决该问题。为此，我们可以这样来考虑：虽然一些博弈方（如博弈方k）不能确定其他博弈方在一定策略组合下的得益，但一般知道其他博弈方（如博弈方i）的得益有哪些可能的结果，而具体哪种可能的结果会出现则取决于博弈方属于哪种“类型”（Type）。这些“类型”是博弈方自己清楚而其他博弈方无法完全清楚的有关私人内部信息。如果用ti表示博弈方i的类型，用Ti表示博弈方i的类型空间，ti∈Ti，则我们可以用ui（a_1，…，an，ti）表示博弈方i在策略组合（a_1，…，an）下的得益，每一类型ti都对应着博弈方i不同的收益函数的可能情况。其取值是博弈方i自己知道而其他博弈方并不清楚的，反映了静态贝叶斯博弈中信息不完全的特征。根据上述思路，静态贝叶斯博弈可一般表达为G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn，u_1，…，un｝，其中Ai为博弈方i的策略空间，Ti是博弈方i的类型空间，ui（a_1，…，an，ti）为博弈方i的得益，它是策略组合（a_1，…，an）和类型ti的函数。

通过上述思想和方法，我们就将博弈中一些博弈方对其他博弈方得益的不了解，转化成对这些博弈方“类型”的不了解，这样我们在分析静态贝叶斯博弈的时候，就必须将关注各博弈方的得益转向关注各博弈方的策略组合以及各自的“类型”。

我们再回到前面介绍的不完全信息古诺模型的例子。在该静态贝叶斯博弈中，两企业的行为是它们的产量选择q_1和q_2。q_1的所有可能取值构成企业1的行为空间A_1，q_2的所有可能取值构成企业2的行为空间A_2。企业1在一定策略组合下的得益，即利润u_1，是双方产量q_1、q_2和自己成本的函数。显然，由于企业1的边际成本是双方都清楚的确定值c_1，因此他的得益实际上只取决于双方产量q_1和q_2，即π_1（q_1，q_2；c）＝［（a－q_1－q_2）－c］q_1，企业2的得益也取决于双方的产量和自己的成本，然而由于企业2的边际成本有高成本ch和低成本cl两种可能，从而有两种可能的利润函数：

π_2（q_1，q_2；cL）＝［（a－q_1－q_2）－cL］q_2

和

π_2（q_1，q_2；cH）＝［（a－q_1－q_2）－cL］q_2

而且企业1不知道是其中的哪一种，因此企业1不可能有关于企业2得益的完全信息。根据上面介绍的思想和方法，我们将这种信息的不完全性解释成企业1不了解企业2的“类型”，而这个“类型”就是企业2的边际成本。如果我们用t_2表示企业2的类型，则t_2有cH和cL两种可能性，如果用T_2表示它的类型空间，则T_2＝｜cH，cL｜。对于企业1，虽然它只有一种成本c_1，我们也可以将该成本看做它的类型t_1，只不过说其类型空间T_1只有c_1一个元素而已。至此，我们就可以用G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn，u_1，…，u_2｝表示上述不完全信息的古诺模型，其中A_1＝{q_1}，A_2＝{q_2}，T_1＝｛c_1｝，T_2＝｛cH，cL｝，u_1＝π_1｛q_1，q_2，t_1｝，u_2＝π_2｛q_1，q_2，t_2｝。

在上面的分析中，我们可以看到，对“类型”的了解，是解决静态贝叶斯博弈问题的一个关键，因为在不完全信息静态博弈中，如果一些博弈方对其他博弈方的“类型”完全不了解，就完全失去了进行决策的依据。因此，这些博弈方至少应该了解其他博弈方各种“类型”出现机会的相对大小，即对每种“类型”出现的概率分布有一个基本判断，这样才可能根据其他博弈方各种可能的得益，推导出自己的选择，并对相应的期望利益进行估计。如果我们用pi＝pi{t－i|ti}表示博弈方i在自己的实际类型为ti的前提下，对其他博弈方类型t－i的推断（Belief），即在确知自己的类型是ti的条件下，推断其他博弈方的类型或类型组合t－i＝（t_1，…，ti－1，ti＋1，…，Tn）出现的条件概率，那么我们可用G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn；p_1，…，pn；u_1，…，un｝加以表示。这样一来尽管一些博弈方没有关于其他博弈方类型的完全信息，但他们至少有关于这些博弈方他们各种类型出现机会的概率分布的知识。这样，我们就可以顺利地解决不完全信息静态贝叶斯博弈问题。

现在，我们对静态贝叶斯的一般表示法进行一下归纳。一个静态贝叶斯博弈的一般表述包括：博弈者的行为空间A_1，…，an，类型空间T_1，…，Tn，博弈方的推断p_1，…，pn以及函数u_1，…，un。

三、海萨尼转换（Harsany Transformation）

上面我们分析了如何将对得益的不了解转化为对类型的不了解。在这一思路的基础上，海萨尼（Harsanyi）1967年提出了一种进一步将不完全信息静态博弈转化为完全但不完美信息动态博弈进行分析的思路，被称为“海萨尼转换（Harsany Transformation）”。

海萨尼转换的具体方法是：

（1）引进一个虚拟的博弈方“自然”（Nature）或者说“上帝”（God），可称为“博弈方0”，它为每个实际博弈方按随机方式抽取他们各自的类型，即随机地赋予博弈各方的类型，这些类型构成类型向量t＝（t_1，…，Tn），其中ti∈Ti，i＝1，…，n。

（2）“自然”只让每个博弈方i知道自己的类型，却不让其他的博弈方知道。

（3）所有的博弈方同时选择行动，即各个实际博弈方同时从各自的行为空间中选择行动方案a_1，…，an。

（4）除了博弈方0，即“自然”以外，其余博弈方各自取得得益ui＝ui（a_1，…，an，ti），其中i＝1，…，n。

我们不难发现，经过上述转换的博弈是一个完全但不完美信息的动态博弈，但它本质上与原来的静态贝叶斯博弈是相同的。这样我们就可以使用标准的分析技术分析这一博弈。事实上，海萨尼转换已成为处理不完全信息博弈的标准方法。

上述经过转换的博弈是一个动态博弈，因为这个博弈有明显的时间顺序，即有两个阶段的选择：首先是虚拟博弈方“自然”的选择；然后是博弈方1，…，n的同时选择。对于“自然”在第一阶段为其他博弈方选择的类型的结果，至少有一部分博弈方不完全了解，因此这是一个不完美信息的动态博弈，当采用“自然”的选择方向代表实际博弈方的类型以后，则在各博弈方策略组合（a_1，…，an，ti）下，各博弈方的得益ui＝ui（a_1，…，an，ti）就是确定的和各博弈方所知道的，显然这是一个完全信息博弈，这时原来的不完全信息博弈变成了完全信息博弈。海萨尼转换所描述的，就是一个完全但不完美信息的动态博弈，其特征是有两个阶段，其中后一个阶段有同时选择。这样有了海萨尼转换，不完全信息和不完美信息之间的区别就不重要了。

同时，我们还可以看出，海萨尼转换所描述的博弈问题的实质仍然是一般静态贝叶斯博弈G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn；u_1，…，un｝。通过（1）和（2）引进的虚拟博弈方“自然”对各个实际博弈方类型的随机选择，我们就把一个静态贝叶斯博弈转化成一个完全但不完美信息的动态博弈问题，而这是我们可以通过标准的分析方法，如逆向归纳法进行分析的。下面我们来看如何通过海萨尼转换，把“市场进入”博弈，转化为一个完全但不完美信息动态博弈。

在“市场进入”博弈中，假设在位企业A知道进入企业B的成本函数类型，但进入企业对在位企业的成本信息是不完全的。从得益矩阵中可以看出，在在位企业A是高成本的情况下，如果进入企业B决定进入，此时在位企业A的选择是“默许”。当在位企业A是低成本的情况时，如果进入企业B决定“进入”，显然在位企业A的选择应该是“斗争”，因此在信息完全情况下，如果进入企业B决定“进入”，显然在位企业A的选择应该是“斗争”。所以，在信息完全情况下，如果在位者是高成本，进入企业B的最佳策略选择是“进入”，如果在位企业A是低成本，进入者的最优选择是“不进入”。

如果进入企业B并不知道在位企业A的成本类型，进入企业B此时的最优选择就依赖于它在多大程度上认为在位企业A是高成本或低成本的。

现在，假定进入企业B认为在位企业A是高成本的概率为p，低成本的概率为（1－p），通过海萨尼转换，我们可以把上述不完全信息的“市场进入”静态博弈转换为完全但不完美的动态博弈，如图6.2所示。

图6.2

此时，“自然”首先随机选择在位企业A的成本类型，然后我们就可以使用标准的动态分析中的“逆向归纳法”来分析该完全但不完美动态博弈，与完全信息博弈之间在策略和策略空间方面的相同。

四、贝叶斯纳什均衡的定义

由于静态贝叶斯博弈可以看做是先由“自然”选择各博弈方的类型，然后再由各博弈方同时进行策略选择的动态博弈，因此静态贝叶斯博弈中各博弈方的一个策略，就是他们针对自己各种可能的类型如何进行相应选择的完整计划，即对于静态贝叶斯博弈G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn；p_1，…，pn；u_1，…，un｝，博弈方i的一个策略，都是关于自己的各种可能类型ti（ti∈Ti）的一个函数Si（ti）。也就是对于“自然”在Ti中为博弈方i抽取的各种类型ti，Si（ti）包含了博弈方i从自己的行为空间Ai中所相应选择的行动ai。

可见，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略是关于类型空间和行为空间的函数，所有这种函数构成博弈方的策略空间，即博弈方i的可行的策略集Si（ti）是定义域为Ti，值域为Ai的所有可能的函数集。由于集合之间的函数关系是很多的，因此如果不加限制，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略空间往往是很大的，有许多甚至无限多的元素。根据策略函数Si（ti）的不同情况，它们为不同的类型所确定的行动ai既可以各不相同，也可能是相同的。

对于静态贝叶斯博弈策略的上述定义，也许有人认为，既然“自然”选定了博弈方的类型，并告诉他之后，博弈方i对自己的实际类型ti就是完全清楚的，因此博弈方i只要根据自己的实际类型选择行动即可，没有必要对每种可能的类型ti∈Ti都设定行动。其实，之所以每个博弈方都必须为自己的所有类型设定行动，原因在于博弈方相互之间并不知道“自然”为其他博弈方抽取的实际类型是什么，对于博弈来说，他必须要考虑到其他博弈方的行动选择，而对其他博弈方来说，博弈方i类型空间中的每一种类型都是有可能被抽到的，他们必须是在考虑博弈方i的所有各种可能类型时作的选择，并把这些因素纳入他们自己的决策选择之中。也就是说，其他博弈方的行动选择决定于他们在博弈方i为Ti中每一类型ti时，对博弈方i的行动的推断，同样其他博弈方的推断反过来也会对博弈方i的选择产生影响。可见，在静态贝叶斯博弈中，每个博弈方针对自己策略空间中每种类型都设定相应的行动方案是非常必要的。

我们再次回到不完全信息古诺模型。在不完全信息的古诺模型中，企业1只有一种类型c_1，因此其策略就是一种行动选择。企业2有两种类型cH和cL，（（cH）），（（cL））就是企业2的策略空间。对企业2自己来说，它完全清楚自己的实际类型究竟是cH还是cL，假设就是cL。从给定条件来看，企业2似乎只要针对自己成本为cL的情况选择最优产量（cL）即可，而不必考虑成本为cH的情况选择最优产量（cH）。然而，如果不给定企业2在成本为cH时的最优产量（cH），那么企业1的最优产量选择＝（c_1）就无法作出，因为企业1不知道企业2的实际类型，它只能对（cH）和（cL）出现的概率大小进行选择。企业1的（c_1）无法确定，又反过来进一步影响企业2对（c_2）的确定。因此，在该博弈中，如果博弈的均衡要求企业1的策略是对企业2的最优反应，则企业2的策略必须是一对产量（cL）和（cH），否则企业1就无法知道它的策略选择是否为对企业2策略的最优反应，就会给该博弈的分析造成困难，最终使得我们无法得出分析结论。利用函数关系式，上述论证也可以简洁地表示为：

（cL）＝（cL，）＝｛cL，［c_1，（cH），（cL）］｝

即（cL）最终也取决于（cH）。显然，如果不考虑厂商2对（cH）的设定，依据上式，我们根本无法对这种博弈进行分析。

给出了静态贝叶斯博弈中博弈方策略的定义之后，现在我们就可以定义贝叶斯纳什均衡。

贝叶斯纳什均衡定义：在静态贝叶斯博弈G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn；p_1，…，pn；u_1，…，un｝中，如果对任意博弈方i和他的每一种可能的类型ti∈Ti，（ti）所选择的行动ai都能满足

则称博弈的策略组合S*＝（，…，）为G的一个纯策略贝叶斯纳什均衡。

该定义表明，当静态贝叶斯博弈中博弈方的一个策略组合是贝叶斯纳什均衡时，任何一个博弈方都不想改变自己策略，哪怕只是一种类型下的一个行动，这与纳什均衡的内涵是完全一致的。

贝叶斯纳什均衡是我们分析静态贝叶斯博弈的核心概念。在一个有限静态贝叶斯博弈（即博弈方n为有限数，（A_1，…，an）和（T_1，…，Tn）为有限集）中，存在贝叶斯纳什均衡，同完全信息静态博弈一样，也可能还存在混合策略。依据贝叶斯纳什均衡的概念，在不完全信息静态博弈中，博弈方的行动同时发生，没有先后顺序，因此，没有任何博弈方能够有机会观察其他博弈方的选择。在给定其他博弈方的策略条件下，每个博弈方的最优策略依赖于自己的类型。如果每个博弈方虽然不知道其他博弈方实际选择什么策略，但是，只要知道其他博弈方有关类型的概率分布，他就能够正确地预测其他博弈方的选择与其各自的有关类型之间的关系。因此，该博弈方选择的依据就是在给定自己的类型，以及其他博弈方的类型与策略选择之间关系的条件下，使得自己的期望收益最大化。

就“市场进入”博弈而言，对于进入企业B来说，虽然不知道在位企业A究竟选择低成本阻止还是高成本阻止，但它知道企业A只能有这两种策略选择以及相应策略选择的概率分布。若企业A属于高成本阻止的概率为P，则A属于低成本阻止的概率就为（1－p）。如果企业A的阻止成本高，则A将默许企业B进入市场；如果A的阻止成本低，则A将阻止企业B的进入。在以上两种情况下，对照图6.1，企业B的收益分别为30和－10。所以，B选择进入的期望收益为30p＋（－10）（1－p）；选择不进入的期望收益为0。显然，只要企业B选择进入的期望收益大于不进入的期望收益，B就应该选择进入，否则，B选择不进入。也就是说，企业B的选择取决于30p＋（－10）（1－p）≥0，即只要企业A高阻止成本的概率大于25％时，企业B选择进入是其最优策略。这时的贝叶斯纳什均衡则为：企业B选择进入，高成本在位企业A选择默许，而低成本在位企业A选择阻止。

第二节　贝叶斯博弈与混合策略均衡

在完全且完美信息静态博弈中，我们曾经引进过混合策略的概念，当时的目的是为了解决完全信息静态博弈中不存在纯策略纳什均衡，或存在多个相互没有优劣之分的纯策略纳什均衡的情况下，博弈方的决策选择问题。可能有许多人觉得，混合策略并不是对现实生活的一个合理描述，因为在现实生活中，有谁在博弈时是喜欢根据掷硬币的结果来选择自己的行为的呢？然而，海萨尼在1973年证明，完全信息情况下的混合策略均衡，可以解释为不完全信息情况下纯策略均衡的极限。也就是说，完全信息静态博弈中的混合策略纳什均衡，几乎总是可以被解释成一个有些许不完全信息的近似贝叶斯博弈的一个纯策略贝叶斯纳什均衡。混合策略的特征是在博弈中，各个博弈方无法确定其他彼此之间一次性博弈中的实际选择，只能知道他们选择每种纯策略的概率的大小。在不完全信息静态博弈中，其基本的特征也是各博弈方无法确定其他博弈方的选择，只能对其他博弈方选择各种行为的概率作出“判断”。不过，不完全信息博弈中的不确定性源于其他博弈方存在不同的得益“类型”，而混合策略的不确定性则是各博弈方为了不让其他博弈方在选择时占优而故障隐瞒自己的真实选择所导致的。然而，我们可以将这两种不确定性统一起来，把混合策略中博弈方行动的“随机性”解释成也是因为他们的“类型”在起作用，就相当于把混合策略的博弈问题转化成不完全信息的静态博弈，也即静态贝叶斯博弈。

依据海萨尼的上述结论，我们进一步认为一个混合策略纳什均衡的根本特征不是博弈方以随机的方法选择策略，而在于各博弈方不能确定其他博弈方将选择什么战略。这种不确定性可能是由于随机性引起的，也可能是由于信息的不完全性，即博弈方i不知道博弈方k的得益类型而引起的。

例1　“性别之争”

我们用第二章中的“性别之争”来说明上述结论。我们已经知道该博弈有两个纯策略纳什均衡（歌剧，歌剧）和（足球，足球），以及一个混合策略纳什均衡：妻子刘丽以3/4和1/4的概率分布在歌剧和足球中随机选择，丈夫王刚以1/3和2/3的概率分布在歌剧和足球赛之间随机选择。

我们首先构造“性别之争”博弈不完全信息条件下的“近似博弈”。假设夫妻俩虽然已经共同生活了相当长时间，但他们对对方关于歌剧表演、足球赛的偏好并没有彻底了解。如果两人都去看歌剧，刘丽的得益为2＋tω只有刘丽自己完全清楚，王刚对tω的实际数值并不知道，只知道tω均匀分布于[0，x]区间；王刚陪刘丽去看歌剧表演时的得益为1也是两人都完全清楚的，如果两人同去看足球赛，那么王刚的得益为3＋th，其中th也只有王刚自己完全清楚，刘丽对th的实际数值并不知道，只知道th标准分布于[0，x]区间上，刘丽陪王刚去看足球赛时的得益为1也是两人都清楚的。如果两人无法协调一致行动时，双方的得益也是两人都清楚的，双方的得益都仍然是0。

因为上述博弈中夫妻双方都对对方的某些利益情况不完全清楚，所以这是一个静态贝叶斯博弈。在这个静态贝叶斯博弈中，双方可选择的行为空间与完全信息静态博弈“性别之争”的策略空间是相同的，即Aω＝Ah＝｛歌剧，足球赛｝。双方的类型即tω和th，双方的类型空间tω和Th都是连续区间[0，x]。双方对对方类型的判断则都是[0，x]的标准概率分布。这个博弈既可以用静态贝叶斯博弈的一般表达式表示，即G＝｛Aω，Ah；tω，Th；pω，ph；uω，uh｝，也可以仍然用得益矩阵表示，如图6.3。

图6.3

现在我们来构造该不完全信息条件下的性别之争博弈的一个纯策略贝叶斯纳什均衡。

设王刚和刘丽采用如下的策略：当刘丽的类型tω超过某个临界值ω，即tω＞ω时，选择观看歌剧表演，否则选择观看足球赛；当王刚的类型th超过某个临界值h，即th＞h时，选择观看足球赛，否则选择观看歌剧表演。

由于tω和th都是[0，x]上的标准分布，所以在上述双方的策略下，刘丽选择观看歌剧表演的概率为（x－ω）/x，选择观看足球赛的概率则为ω/x；王刚选择观看歌剧表演的概率为h/x，选择观看足球赛的概率为（x－h）/x。下面我们来求解ω和h，使双方的上述策略组合构成一个贝叶斯纳什均衡。

假定王刚已经采用了上述临界值策略，则刘丽选择观看歌剧表演和足球赛的期望得益分别为：

和

只有当选择观看歌剧表演的期望得益大于选择足球赛的期望得益时，刘丽才会选择观看歌剧表演，由此可得tω≥x/h－3，由此得ω＝x/h－3。

同理，假定刘丽已采用了上述临界值策略，那么王刚选择观看足球赛和歌剧表演的期望利益分别为：

和

同样，只有当选择观看歌剧表演的期望得益大于等于选择足球赛的期望得益时，刘丽才会选择观看歌剧表演，由此可得tω≥x/h－3，由此得ω＝x/h－3。

同理，假定刘丽已采用了上述临界值策略，则王刚选择观看足球赛和歌剧表演的期望得益分别为：

和

同样，只有当选择观看足球赛的期望得益大于选择歌剧表演的期望得益时，王刚选择足球赛，即th≥x/ω－4时王刚选足球赛，由此得h＝x/ω－4。

解联立方程组

可得

当参数ω和h满足上述关系时，上述策略构成贝叶斯纳什均衡。

此时，刘丽选择歌剧表演的概率为：

王刚选择足球赛的概率为：

当x→0，即不完全信息接进消失或微不足道时，上述两概率分别倾向于3/4和2/3，上述纯策略贝叶斯均衡就收敛为一个完全信息博弈的混合策略纳什均衡，这正是我们在第二章给出的完全信息“性别之争”博弈的混合策略均衡的随机选择概率分布。也正是在x→0这个意义上，海萨尼认为完全信息博弈的混合策略均衡是不完全信息博弈贝叶斯均衡的极限。

例2　“抓钱博弈”（Grab the Dollar）

下面我们再分析第一章分析过的“抓钱博弈”（Grab the Dollar）。这个例子说的是，桌子上放1块钱，桌子的两边坐着两个参与人，如果两人同时去抓钱，每人罚款1块；如果只有一人去抓，抓的人得到那块钱；如果没有人去抓，谁也得不到什么。因此，每个博弈方的战略是决定抓还是不抓。得益矩阵如图6.4所示。

图6.4

这个博弈有两个纯策略纳什均衡（一个博弈方抓另一个博弈方不抓）和一个对称混合策略均衡：每个博弈方以1/2的概率选择抓。后者是一个均衡，因为，如果博弈方i不抓，他的利润是0；如果博弈方i去“抓”，他的期望利润是。现在考虑同样的博弈但具有如下不完全信息：每个参与人有相同的得益结构，但如果他赢了的话，他的利润是（1＋θi）（而不是1），如图6.5所示。这里θi是博弈方i的类型，博弈方i自己知道θi，但另一个博弈方不知道。假定θi在［－ε，＋ε］区间上均匀分布。

图6.5

我们考虑下列的策略选择：（1）博弈方1：如果θ_1≥，选择“抓”；如果θ_1＜，选择“不抓”；（2）博弈方2：如果θ_2≥，选择“抓”；如果θ_2＜，选择“不抓”。给定博弈方j的策略，博弈方i选择抓（用1代表）的期望利润为：

这里，（1－（＋ε）/2ε）是博弈方j抓的概率，（（＋ε）/2ε）是博弈方j不抓的概率。博弈方i选择不抓（用0代表）的利润是ui（0）＝0。因此，满足下列条件：

或简化为

因为博弈是对称的，在均衡情况下，＝，上述条件意味着＝＝0。就是说，对每一个博弈方i，均衡情况下的最优选择是：如果θi≥0，选择“抓”；如果θi＜0，选择“不抓”。

因为θi≥0和θi＜0的概率各为1/2，每一个博弈方在选择自己的行动时都认为对方选择抓与不抓的概率各为1/2，似乎他面对的是一个选择混合策略的对手，尽管每个博弈方实际上选择的都是纯策略。当ε→0时，上述贝叶斯均衡就收敛为一个完全信息博弈的混合策略纳什均衡。因此，海萨尼说完全信息博弈的混合策略均衡是不完全信息博弈贝叶斯的极限。

第三节　不完全信息静态博弈模型

下面我们介绍两个经典的不完全信息静态博弈模型

例1　连续价格一级密封拍卖（The First-Price Sealed-Bid Auction）

首先我们还是来讨论前面提到的典型静态贝叶斯博弈——密封拍卖，投标方的价格选择是连续的。假设有两个参加投标的人（Bidder），分别为博弈方1和博弈方2，再假设这两个博弈方对拍卖品的估价分别是v_1和v_2，并假设v_1和v_2是相互独立的，并服从[0，1]上的均匀分布，各博弈方知道自己的估价和另一方估价的概率分布。上述情况和假设两博弈方都清楚，这样博弈方i以价格P拍卖拍卖品，其得益为vi－P。

为了把该问题转化为标准的静态贝叶斯博弈，我们需要明确两博弈方的行动空间、类型空间、推断及其得益函数。显然，博弈方i的行动就是他的标价bi（标价应该是非负的），其行动空间Ai＝［0，∞］。博弈方i的类型即他的估价为vi，其类型空间Ti就是估价的可能取值区间[0，1]。此外，由于博弈方i的实际类型只有他自己知道，其他博弈方只知道其类型vi是[0，1]上的均匀分布，因此，推断博弈方i的估价取[0，1]中任何数值的机会均等是合理的，这就是他们相互对对方类型的判断。根据上述信息我们可以给出博弈方i的得益函数为：

此得益函数中的第一种情况表示的是博弈方i的标价由于高于博弈方j的标价而中标时的得益；第二种情况是博弈方i的标价与博弈方j的标价相同，博弈方i的中标机会为1/2，其期望得益（1/2）×（vi－bi）＝（vi－bi）/2；第三种情况是博弈方i的标价低于博弈方j，博弈方i没有中标，此时博弈方i的得益为0。

为得到贝叶斯纳什均衡，首先要找到两博弈方的策略空间。我们知道，静态贝叶斯博弈中博弈方的策略是根据类型决定行为的函数关系。因此，博弈方i的一个策略就是符合要求的一个函数关系bi（vi），所有这种函数关系bi（vi）的集合，就构成博弈方i的策略空间，即博弈方i在每一种类型下的投标价格选择。比如，如果博弈1的策略b_1（v_1），是对博弈方2的策略b_2（v_2）的最佳反应，则[b_1（v_1），b_2（v_2）]就是一个贝叶斯纳什均衡。对每个博弈方i的每个类型vi∈［0，1］，bi（vi）满足

由于各个博弈方构成策略的函数关系可以有多种多样的情况，因此博弈方策略空间中的策略及贝叶斯纳什均衡策略组合通常是非常多的，为此，我们把博弈方的策略限制在线性函数的范围之内。假设b_1（v_1）和b_2（v_2）都是线性函数，b_1（v_1）＝a_1＋c_1v_1，b_2（v_2）＝a_2＋c_2v_2，其中a_1＜1，a_2＜1且c_1≥0，c_2≥0（因为如果c_1，c_2≥0，且a_1或a_2都大于等于1，则意味着b_1大于v_1或b_2大于等于v_2，标价比估价还要高，这是不现实的）。由于博弈方的估价是均匀分布的，因此，线性函数的假设是合理的，而且，线性函数下的线性均衡解不仅存在，而且是惟一的。

于是对于博弈方j的策略bj（vj）＝aj＋cjvj，对任意给定的vi，博弈方i的最佳反应bi应满足：

其中vj服从均匀分布。由于bj＝bj（vj）＝aj＋cjvj也是均匀分布的，P｛bi＝bj｝＝0，因此，上式就变为

其一阶条件为

此即当博弈方j的策略为bj（vj）＝aj＋cjvj时，博弈方i的最佳反应策略。如果vi＜aj，此时由于，博弈方i采用上述线性策略根本不可能中标，此时，bi（vi）采用线性策略就无效了。这时不妨就设bi＝aj。此时，博弈方i对博弈方j策略的最佳反应是：

上述反应函数是一个分段线性函数而不是严格的线性函数，vi＜aj时是一条水平直线，当vi≥aj以后则是以1/2的正斜率上升的直线。不过，分段函数的情况只有在0＜aj＜1的情况下出现。若要求双方策略是严格的线性函数，应该有aj≤0。此时，博弈方i的最佳反应策略为

将此式与bi（vi）＝ai＋civi相比较，可得ai＝aj/2，ci＝1/2。

同样可得在ai≤0的情况下，aj＝ai/2，cj＝1/2是博弈方j的最佳反应。解这两组结果构成的方程组，可得ai＝aj＝0，ci＝cj＝1/2，即bi（vi）＝vi/2。这就是说，每个博弈方的最佳策略是把自己的报价定在自己对拍卖品估价一半的水平，即采用兼顾中标机会和得益大小的折衷报价，也就是自己估价的一半，这是博弈方的最佳选择。

需要注意的是，上述贝叶斯纳什均衡都是基于两博弈方的估价是[0，1]上的均匀分布，以及博弈方采用线性策略的假设前提下得出的。如果没有线性策略函数的限制，而是非线性函数，博弈方估价的概率分布，对应两博弈方相互对对方类型的判断，也不是均匀分布，则密封拍卖博弈的贝叶斯纳什均衡也会发生变化。

例2　双价拍卖（Second-price Bid）

我们下面考虑一个在拍卖中，买主和卖方对自己的估价都存在私人信息的“双向报价拍卖”问题。

双向报价拍卖是这样一种市场交易模式：一个买方和一个卖方就某货物进行交易，交易的规则为：买方和卖方同时各报一个价格，设买方的报价为Pb，卖方的报价为Ps，如果Pb≥Ps，则以价格P＝（Pb＋Ps）/2成交，否则不成交。

在双向报价拍卖中，由于买卖双方对货物的估价都是他们各自的私人信息，相互对对方的估价都不能完全清楚。因此，它是一个静态贝叶斯博弈问题，我们假设买方对货物的估价为vb，卖方的估价为vs，并设买卖双方相互间都知道对方的估价均匀分布于[0，1]区间上。如果买卖双方以价格P成交，那么买方的得益为vb－P，卖方的得益为P－vs。如果没有成交，则双方得益为0。

在这个静态贝叶斯博弈中，买方的策略其实是关于自己估价vb的一个价格函数，即Pb（vb），它确定了买方对自己每一种可能估价vb的出价。卖方的策略是设定他自己每种估价vs下其要价的一个函数，即Ps（vs）。如果[Pb（vb），Ps（vs）]是贝叶斯纳什均衡，则对任意的vb∈［0，1］，Pb（vb）必须满足

其中E［Ps（vs）｜Pb≥Ps（vs）］是在符合买方的出价大于卖方要价的前提下，买方期望卖方的要价，以及对任意的vs∈［0，1］，Ps（vs）必须满足

其中E［Pb（vb）｜Pb（vb）≥Ps］是在买方出价高于卖方的前提下，卖方期望买方的出价。

此静态贝叶斯博弈也有许多贝叶斯纳什均衡，只要Pb、Ps的函数关系，vb、vs的值及它们的概率分布同时满足上述两个最大化问题，就构成一个贝叶斯纳什均衡。

为此，我们考虑下面一种比较特殊的交易价格情况，如果最后交易达成，交易价格就只是单一的价格，即在给定价格水平上的均衡的特征是：给定[0，1]中的任意一个值x，买方的策略为，当vb≥x时，则出买价即报价Pb＝x，否则Pb＝0，即不买；同时卖方的策略为vs≤x，则出卖价，即卖方报价Ps＝x，否则Ps＝1，即卖者不卖。

设买方的策略已设定，则卖方只能在以价格x成交或不能成交之间进行选择，此时卖方的策略就是卖方对买方策略的最优反应。如在交易有可能成交，即vs≤x≤xb时，Ps＝x是卖方能实现的最高要价，也是对买方策略的最优反应，任何Ps＞x都不可能成交，因为此时成交的得益P－vs＝x－vs≥0。在vs＞x的情况下，以价格P＝x成交的得益P－vs＝x－vs＜0，此时不妨要价Ps＝1，此为该种情况下，卖方可能得到的最高卖价，在此价格下，不成交至少能避免损失。因此，卖方的上述策略确实是对买方策略的最佳反应策略。

同样，我们也可以证明，在给定卖方的策略时，买方的上述策略也是对卖方策略的最优反应。由于在这个均衡中可行的成交价格只有x一种，因此这个均衡也被称为“单一价格均衡”。在该均衡策略下，我们可以用图6.6来说明该博弈均衡策略下的效率情况。

图6.6

在上述均衡策略中，由于只有当vs≤x≤vb时，交易才会发生，因此只有在图中注明“交易”的长方形区域中的点（vb，vs）代表的双方类型下，才可能发生交易。其实对所有满足vb≥vs的（vb，vs）的组合来说，交易都是有效率的，因为如果价格可变，那么理论上总是可以找到满足vs≤p≤vb的价格P，使双方以此价格成交都能获得一定的利益。然而由于单一价格策略均衡中双方的策略都是，“要么在x这个价格下成交，否则宁愿不成交”，因此当（vb，vs）落在图中两块阴影部分中时就无法成交，虽然阴影部分满足效率条件，但最终无法成交，这意味着双方失去了许多获益的机会。这说明了单一价格均衡未必是双方报价拍卖效率较高的贝叶斯纳什均衡。

现在我们也把二价拍卖中博弈方的策略设定为线性函数策略，分析其线性的贝叶斯纳什均衡。假设买方的策略为Pb（vb）＝ab＋cbvb，卖方的策略Ps（vs）＝as＋csvs，且vb和vs服从[0，1]上的均匀分布，因此Pb（vb）和Ps（vs）也分别服从于［ab，ab＋cbvb］和［as，as＋csvs］的均匀分布。如果［Pb（vb），Ps（vs）］是贝叶斯纳什均衡，由（6.1）式得，Pb必须满足

其一阶条件为

即如果卖方的策略是线性的，那么买方的最优反应策略也是线性的。

同样，由（6.2）式得，Ps（vs）必须满足

其一阶条件为

亦即，如果买方的策略是线性的，那么卖方的最优反应策略也是线性的。将这两个一阶条件与假设的双方线性策略函数相对照，可得ab＝as／3，cb＝2/3，as＝（ab＋cb）／3，cs＝2/3。于是，可得“线性策略均衡”如下：

这就是本博弈的线性策略贝叶斯纳什均衡。

由于双价拍卖中只有当Pb≥Ps时交易才会成交，因此成交必须满足

即vb≥vs＋（1/4）时交易才会发生。我们用图6.7来表示在上述线性策略均衡下会发生交易的情况。

图6.7

从图6.7中可以看出，在该博弈的线性策略均衡中，只有在直线vb＝vs＋（1/4）上方的点（vb，vs）所对应的双方类型下交易才会发生。图中阴影部分的点所代表的双方类型，满足vb＞vs，即买方的估价vb高于卖方的估价vs，此时交易不会发生。这意味着线性策略的均衡也不能达到最高的效率状态。

比较图6.6和图6.7我们可以发现，线性策略贝叶斯纳什均衡中双方进行交易的机会，大于单一价格策略贝叶斯纳什均衡的交易机会。两者都包含了最有效的交易，即当vs＝0，vb＝1，卖方认为毫无价值的东西，买方却愿意以最大价值来交易，而单一价格均衡则排除了很多有价值的交易。例如当vs＝0且vb却小于但接近于x时（vb＝x－ε，ε为一足够小的正数），在单一价格均衡中无法成交，而在线性策略均衡中这种情况是能够成交的，并且双方能够获得相当可观的利益（都接近x/2）。另一方面，一些无多大价值的交易却能够在单一价格策略下成交，如vb略大于x（vb＝x＋ε），vs略小于x（vs＝x－ε），即在图6.6的交易区域中接近（x，x）的点所对应的双方类型组合，在线性策略均衡中是不包括无多大价值的交易的。只包含了价值至少在1/4以上的交易。因此，总体上线性策略均衡的效率要比单一价均衡更高一些。

由此得到的结论是线性策略均衡优于单一价格均衡。1983年梅尔森（Myerson）和塞特舒卫德（Satterthwaite）证明了在估价为均匀分布的前提下，双方报价拍卖静态贝叶斯博弈中的线性策略均衡能够产生比其他任何贝叶斯纳什均衡更高的期望得益。这也意味着这个博弈不存在当且仅当有效率（vb≥vs）时成交的贝叶斯纳什均衡。他们后来进一步证明了该结果，并发现这一结果相当普遍。这种效率的损失正是由于信息不完全所带来的。下面我们将介绍如何应用显示原理来证明这一普遍的结果。

第四节　显示原理

第三节我们所讨论的给定拍卖规则下的竞标或买卖双方博弈，只是拍卖问题的一个方面，拍卖问题还有另一个非常重要的方面，那就是如何设计一个富有效率的拍卖规则。为此，在介绍显示原理之前，先介绍一下拍卖规则的设计问题。

在前面几章所阐述的内容中，我们所做的工作都是对于给定的博弈问题，设法寻找其均衡解。但现实生活中，还存在着该问题的逆问题：给定一个有几个人参与的博弈中，给定博弈方的得益水平，以及他们有关这些得益的私人信息，那么能否构造一个贝叶斯博弈，使得该博弈的贝叶斯纳什均衡满足相关条件约束的要求。拍卖就是这类问题。设计什么样的拍卖形式使卖方的期望得益最大是拍卖所要解决的一个主要问题。

一、机制设计问题（Mechanism Design）

我们在讨论委托—代理关系的道德风险问题时，已经接触到了机制设计问题。我们在分析前面两种拍卖问题时，也发现在这些拍卖活动中，事先设计一些交易机制（规则）是必不可少的。无论是买方还是卖方，都希望通过这些机制来实现自身交易得益的最大化。对于卖方来说，如果希望设计一个拍卖，使自己的得益最大化，而来逐一交流可能考虑的不同的拍卖方式是太困难了。如在暗标拍卖中，除了投标方式、开标方式等技术性问题的规定以外，设计了一条具有实质内容的规则，即标价最高者以自己所报价格中标。在这种最简单的拍卖规则下，标价最高者中标，而不中标则无任何损失。这种拍卖规则其实隐藏着一些对卖方不利的潜在因素。如投标人较少，且都是外行人时，即使是最高的出价也可能非常低，这时拍卖的商品就卖不到应有的价格，甚至会大大低于其价值。如果投标人之间再进行串通，那么卖方的损失就会非常巨大。再比如参与投标的人不中标也没有任何代价，这样投标人就频繁采用以低标价多次参加投标的方法，希望靠运气来获较大的利益。

为了避免这些问题，卖方就需要对拍卖规则进行精心设计。例如可以设置一个拍卖底价，若最高标价未达到这个底价就不能成交，这样宁愿流标也不会给自己造成重大损失。也可以要求参与投标人支付一定的进入费用，这样使得投标人也有一定的成本，这样可以促使投标者积极争取中标，提高成交率和成交价格。总之，为了以较理想的价格拍出自己的货物，卖方应该对拍卖规则进行认真的考虑和设计。如果拍卖规则设计得比较合理有效，那么得到的结果就会比较理想，反过来如果拍卖规则设计不合理，则很难获得理想的结果。因此拍卖规则的设计是非常重要的。

二、显示原理（Revelation Principle）

有了设计良好的拍卖条件，卖方就可以进一步借助所谓的直接机制和显示原理来使问题得到简化。

1．直接机制（Direct Mechanism）

现实中的拍卖机制可能有很多，我们在这里首先介绍下面这样一种拍卖的“直接机制”：

1．投标者同时声明自己对标的的估价（即他们的类型）。投标人i可以选择其类型空间Ti中的任一类型作声明，不管他的真实类型ti是什么。

2．假如各投标人的声明为（，…，），投标人i以概率qi（，…，）得到标的物品，如果投标方i中标，则价格为pi（，…，）。对各种可能的声明情况（，…，），概率之和q_1（，…，）＋q_2（，…，）＋…＋qn（，…，）≤1。

这种类型的拍卖博弈机制称为“直接机制”。“直接机制”的意义是投标人只声明自己对拍卖标的的估价（类型），而不需要他们报出标价，卖方根据预先确定的运作机制来确定中标者及中标价格。

直接机制与一般的投标拍卖规则的不同之处在于：在直接机制中，各投标方在形式上要决定的不是其真实的标价，而是关于自己类型的声明，而且在这种规则下并不一定声明估价最高者中标，声明估价较高者只是中标的机会更大一些；再就是中标的价格也不一定是可能的最高价格，以什么价格中标取决于pi（，…，）的具体形式。

那么设计这种“直接机制”有什么意义呢？我们说，直接机制中最有意义的是所谓“说实话的直接机制”。如果我们所设计的直接机制能使得各投标人讲实话，也就是声明自己的真实类型是贝叶斯纳什均衡，则我们称这样的直接机制为“说实话的直接机制”。下面我们来看一个说实话的直接机制的例子。

例1　“实话实说”机制模型

设有两个投标人，他们的估价类型V_1、V_2都是[0，1]上的均匀分布。直接机制是这样设计的：

1．两投标人同时声明、。

2．投标人i以概率qi＝/2中标，中标的价格为pi＝/θ。

由于Vi∈［0，1］，因此∈［0，1］，q_1＋q_2≤1，上述两条规则符合直接机制的定义。其中价格函数中的θ是待定参数，其数值正是决定投标人都说实话是否能成为贝叶斯纳什均衡的关键。这种直接机制是否真的能成为说实话的机制，在什么条件下是说实话的机制，即在什么情况下两投标人的声明肯定会是他们的真实估价？下面我们就来分析这一问题。

假设他们的声明是线性齐次的，具有＝aiVi的形式，也即两投标人声明的估价是他们真实估价的一定倍数或比例。这样投标人i声明的期望得益为

其均衡条件是找出ai使期望得益取得最大值，即

其一阶条件为ai＝θ/2。所谓投标人i说实话，即ai＝1，＝Vi。因此，当θ＝2时，也就是中标价格为中标人声明估价的一半时，上述直接机制使得两投标人都讲真话是贝叶斯纳什均衡，此时的声明估价也是其真实的估价，因此，是说实话的直接机制。说实话的机制又叫做激励相容（Incentive-compitiable）的直接机制。

2．显示原理（Revelation Principle）

说明了什么是说实话的直接机制以后，我们再来介绍梅尔森1979年提出的“显示原理”。

显示原理：任何贝叶斯博弈的任何贝叶斯纳什均衡，都可以重新表示为一个经过适当设计的说真话的直接机制。

这里“重新表示”意味着不管原来的贝叶斯博弈是什么情况，对各博弈方类型的各种可能的组合（t_1，…，Tn），直接机制的均衡结果和博弈方得益，与原贝叶斯博弈的均衡结果和博弈方得益是相同的。无论原博弈是什么问题，新的贝叶斯博弈总是一个直接机制。该定理之所以称为“显示原理”，是因为它揭示了这样一个事实：对任何贝叶斯博弈的任何贝叶斯纳什均衡，都能设计出一种促使各博弈方“显示”自己真实类型的直接机制来实现它。

在委托—代理关系的机制设计中，“显示原理”表明，为了获得最高期望得益，委托人可以只考虑在第二阶段被代理人接受并且在第三阶段使代理人同时如实显示其类型的机制，这表明委托人可以通过代理人之间的静态贝叶斯博弈而获得自己的最高期望得益。

“显示原理”保证了没有其他比说真话更好的直接机制，该机制下的贝叶斯纳什均衡可以使拍卖方得到更好的期望得益，因为说实话的直接机制，把所有激励相容的直接机制都考虑在内了。前面两投标人暗标拍卖直接机制的例子就是该定理的一个直接例证。对其他具体问题也可以用类似的方法设计相应的说实话的直接机制。

下面我们就证明“显示原理”在静态贝叶斯博弈中是成立的。在静态贝叶斯博弈G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn；p_1，…，pn；u_1，…，un｝中，设s*＝（，…，）是它的一个贝叶斯纳什均衡，根据显示原理的内容，如果我们能够重新设计出一个说实话的直接机制，可以重新表示s*，那就证明在静态贝叶斯博弈范围内显示原理是成立的。

显然，我们需要构造的直接机制是一个和G有相同的类型空间和类型推断，但行为空间和得益函数则与G有所不同的静态贝叶斯博弈。由于直接机制中，博弈方i的行为就是声明自己的“类型”，因此直接机制中博弈方i的行为空间与类型空间是完全对应的，我们也可记其为Ti。直接机制中博弈方的得益函数要复杂得多，它们既要与原博弈保持一致，还要使直接机制是说实话的，并能代表原博弈的均衡s*。因此，我们重新设计的关键思路是要利用s*是原博弈G的贝叶斯均衡的事实，去保证实话实说的声明是直接机制的一个贝叶斯纳什均衡。具体证明的步骤如下：

如果承认s*是原博弈G的一个贝叶斯纳什均衡，意味着对每个博弈方i，s*i都是博弈方i对其他博弈方策略组合（，…，，，…，）的最佳反应，即对博弈方i的各种可能的类型ti∈Ti，在给定其他博弈方的策略组合为（，…，，，…，）之后，（ti）是博弈方i能从Ai中选择出的最佳行动方案。并且，在给定上述条件的情况下，如果允许博弈方i从包含（ti）的任何Ai的子集中选择，他理所当然地一直选择（ti）。因为（ti）既然是Ai中的最佳策略，在包含它的更小范围内的子集中当然更是最佳。选择直接机制中的得益函数，就是想让每一个博弈方面临和上面相同的选择。

下面我们就来确定直接机制中的得益函数。我们将各博弈方声明的类型组合t＝（，…，）代入原博弈G的贝叶斯纳什均衡s*之中，得到策略组合s*（t′）＝（（），…，（）），并且将s*（t′）代入到得益函数V中，这种做法就像是“替”各博弈方采取这些策略，于是博弈方i的得益函数为ui（t′，t）＝ui［s*（t′），t］。显然各博弈方的得益既取决于所有各方的真实类型，也取决于他们声明的类型。而且，如果不是我们强制性地替各博弈方采取这些策略，肯定不会所有博弈方都自觉采取它们，因为s*（t′）＝（（），…，（））在ti′≠ti时一般并不是均衡的，强制性替各博弈方实施这些策略正是直接机制的关键。

怎样可以简单而形象地理解上述机制是如何强制性替各博弈方采取策略的呢？我们可以假想有这么一个局外人与各博弈方之间有如下的谈话：“我知道你们都已了解自己的类型，而且将在博弈G中选择均衡策略组合s*。现在我们来参加一种叫做‘直接机制’的新博弈。首先你们每人都先签一份合约，允许我在你们作出进一步的声明时听由我的指挥；第二是你们每个人都写一个关于自己类型的声明交给我；第三，我会把你们各自声明的类型，…，统统代入G的贝叶斯纳什均衡s*，确定你们各自的行为方案（），…，（）；最后你们按照我为你们计算出的这些行为方案行动，并各自取得相应的得益。”

在上述重新设计的直接机制中，说实话是贝叶斯纳什均衡，现在我们就来证明之。在上述机制下，博弈方i作声明实际上等于选择了行为方案（）。如果除了博弈方i以外的所有其他博弈方作的都是诚实的声明，即声明的类型就是他们的实际类型，这表明这些博弈方最终采用的策略组合是［（），…，（），（），…，（）］＝［（t_1），…，（ti－1），（ti＋1），…，（tn）］＝（，…，，，…，）。因此，如果博弈方i的声明也是真实的，即＝ti，那么他的策略也是（ti），很显然该策略与其他博弈方的策略一起构成贝叶斯纳什均衡s*。这实际上意味着所有博弈方都讲实话，是这个直接机制的一个贝叶斯纳什均衡，即实话实说是一个均衡解。由于G是一个一般的静态贝叶斯博弈，s*是G的一个任意的贝叶斯纳什均衡，因此这说明了对于任意静态贝叶斯博弈的任何贝叶斯纳什均衡，我们都可以构造出一个说实话的直接机制。于是，我们得到一般性结论：在静态贝叶斯博弈G＝｛A_1，…，an；T_1，…，Tn；P_1，…，pn；u_1，…，un｝中，对Ti中的每一种ti，每一博弈方i选择说真话的策略Ti（ti）＝ti构成一个贝叶斯均衡，这样我们就在静态贝叶斯博弈范围内证明了显示原理。

思考题

1．试述贝叶斯纳什均衡与完美贝叶斯均衡的关系。

2．什么是静态贝叶斯博弈，静态贝叶斯博弈分析中为什么要引入贝叶斯纳什均衡？

3．考虑下面的双寡头古诺垄断模型，市场的反需求函数为P（Q）＝a－Q，其中Q＝q_1＋q_2为市场总需求，但a有ah和al两种情况，其中a＝ah的概率是θ，a＝al的概率是1－θ，寡头1知道a是高还是低，寡头2只知道a为高或低的概率，这种信息不对称情况是双方都了解的。双方的总成本仍然都是ciqi＝cqi。如果两寡头同时选择产量，问双方的策略空间及贝叶斯纳什均衡是什么？

4．在图6.8的静态贝叶斯博弈中，若自然：（1）以相等的概率决定得益取得益矩阵1还是得益矩阵2，并让博弈方1知道这种选择而博弈方2不知道；（2）博弈方1在T和B中选择，同时博弈方2在L和R中进行选择。求出该静态贝叶斯博弈的所有纯策略贝叶斯纳什均衡。

图6.8

第七章　不完全信息动态博弈

不完全信息博弈包括静态博弈和动态博弈，在分析不完全信息静态博弈的基础上，我们再分析不完全信息动态博弈即动态贝叶斯博弈，特别是信号博弈。在不完全信息条件下，博弈的每一方都知道其他博弈者的可能类型，并知道自然赋予博弈者的不同类型及其相应选择之间的关系，但是博弈者并不知道其他博弈者的真实类型。在不完全信息静态博弈中，我们通过海萨尼转换，即通过假定其他博弈者知道某一博弈者的所属类型的概率分布，计算博弈的贝叶斯纳什均衡解。在不完全信息动态博弈中，由于博弈有先后顺序，后博弈者可以通过观察先行者的行为，获得有关先行者的信息，从而证实或修正自己对先行者的策略。因此，在不完全信息动态博弈中，问题变得更加复杂。不过动态贝叶斯博弈与静态贝叶斯博弈在许多方面是相似的，也可以把信息不完全理解成对类型的不完全了解，并通过海萨尼转换把不完全信息动态博弈转化成完全但不完美信息动态博弈等。下面我们就对不完全信息动态博弈展开分析。

第一节　不完全信息动态博弈

一、不完全信息动态博弈（Dynamic Game of Incomplete Information）

不完全信息动态博弈问题在我们现实生活中大量存在，如旧车市场上的讨价还价，军备控制，寡头市场中的产量博弈等问题都是不完全信息动态博弈。

例如，古董市场上的讨价还价就是最典型的不完全信息动态博弈。和古董打过交道的人，最摸不透的就是古董的价值。即使最后成交一笔，购买者心里往往也吃不准这笔交易是否合算。经常的情况是，自以为花一个好价钱买到一件真品的购买者，事后却发现是一件赝品，而且几乎是一钱不值。可见古董市场是一个最容易让人产生不确定性，时常后悔的交易市场。

其实古董交易让人疑惑和不放心的根本原因，不是因为古玩的价格昂贵，而是由于古董是一种奢侈品，而且具有稀缺性，其性质和价值确定基础与日常生活用品非常不同。古董的价值主要取决于交换价值而不是使用价值，其效用和价值基础的主观程度较高，客观程度较低。主观程度之间的差异则非常大，往往出现所谓“仁者见仁，智者见智”的情况，因此对古董价值的真实评价非常困难，而且买卖相互之间很难了解对方的评价。对买方来说，由于缺乏关于古董的相关真实信息，只能根据自己的“经验”去判断，因此经常是对自己想买的古董的价值完全没有把握，对卖方的进价和卖方估价也缺乏了解，无法确定什么价格是卖方愿意接受的真正最低价格，不管以什么价格成交都无法肯定自己做了一笔成功的交易，这种状况就使得买方在购买时常常是犹豫不决。对卖方来说，同样也存在因为对所卖古董的真实价值判断失误，把价值很高的古董作为廉价品卖掉的可能。就算卖方是一个行家，不可能产生判断失误，也仍然可能对交易存在疑问，因为他不完全清楚买方的估价和购买的迫切程度如何。

既然在古董交易中买卖双方由于关于古董和交易活动信息的不完全性，都对自己和对方存在很多疑问，那么这种市场显得有些不可捉摸，就是自然而然的了。当然，我们不可能也没有必要研究有关古玩交易所有复杂的可能性。不过我们并不关心完全缺乏估价能力的交易行为，而是主要研究买卖双方都有形成自己的明确估价能力的交易，即当交易以一定价格完成后，买卖双方都清楚自己的得益。由于双方都无法知道对方的估价，因此相互对对方的得益都不可能完全清楚，因此这是不完全信息的博弈问题，而且是一个动态博弈。因为在古董交易中，往往都是卖方先开价，然后买方再还价，直到达成一个双方都接受的价格或交易失败。因此，在假定买卖双方都有自己确定估价的前提下，古董交易通常是一种不完全信息的动态贝叶斯博弈。

此外，我们在前面分析的寡头市场产量博弈的古诺模型也可以转变成动态贝叶斯博弈。在前一章古诺模型的分析中，我们是通过假设至少有一个企业不知道其他企业的真实成本，而把古诺模型转变成了一个不完全信息的静态博弈，即静态贝叶斯博弈。如果我们再把模型中同时进行的产量决策改变成先后决策的博弈，则静态贝叶斯古诺模型就成了不完全信息的动态博弈，即动态贝叶斯博弈。

在社会生活的其他许多方面也有此类博弈的例子，例如反腐败问题中就有不完全信息动态博弈。若有一个腐败官员被拘留，检察部门已经掌握了其受贿的部分证据，但还没有完全掌握其他犯罪的证据，而且其是否还存在着其他重大犯罪问题，检察部门也不完全清楚。因此，腐败官员自己的交代就是非常关键的一个问题。但检察部门往往很难完全了解腐败官员的真实想法，因此这是一个不完全信息的博弈问题。一般来说，检察部门的询问及腐败分子的交代等行为选择是有先后顺序的，而且是一个多回合的过程。因此这也是一个不完全信息的动态博弈。

二、海萨尼转换

对动态贝叶斯博弈的分析，我们同样可以借助海萨尼转换方法来进行。在静态贝叶斯博弈中，处理不完全信息的方法，是将博弈方得益的不同情况转化为博弈方不同的类型，并引进一个为博弈方选择类型的虚拟博弈方，从而把不完全信息博弈转化成完全但不完美信息动态博弈，这种处理方法就是海萨尼转换。由于动态贝叶斯博弈本身就是动态博弈，不存在静态博弈中的同时选择问题，因此可以通过海萨尼转换将其转化成完全但不完美信息动态博弈，这种通过海萨尼转换而来的完全但不完美信息动态博弈，与前面讨论的一般完全但不完美信息动态博弈没有多大差别。其实，只要换一个角度，不完美信息动态博弈本身常常就可以解释成不完全信息动态博弈。如古董交易市场进入模型及旧车交易博弈就可以理解为不完全信息动态博弈。因此，有了海萨尼转换之后，不完全信息和不完美信息之间的区别就不再重要，所有的不完美信息动态博弈都可以被转化成完全但不完美信息动态博弈进行分析，不完全信息动态博弈和不完美信息动态博弈可以混同使用。

第二节　空口声明博弈

在博弈论中存在一种言语博弈叫做“空口声明”（Cheep Talk），它是一种口头表态，发话者说出某些话语无需某些成本，也无须承担某些责任，它不是“威胁”也不是“承诺”，但说话者说出它是有目的的。听者要分析他话中的含义，即要分析“空口声明”是真还是假。这里我们就来分析不完全信息动态博弈的经典例子——“空口声明”博弈。显然，这类博弈模型主要研究在有私人信息、信息不对称的情况下，人们通过口头或书面的声明传递信息的问题。在这类博弈中，博弈方的口头或书面声明既不需要成本，也没有约束作用，因此，就产生了声明博弈中信息的可信性问题，即博弈方的声誉。因此，我们也可以把“空口声明”博弈叫做声誉博弈（Reputation Game）。因为声明也是一种行为，会对接受声明者的行为和各方的利益产生影响，因此声明和对声明的反应确实可以构成一种动态博弈关系。由于声明者声明内容的真实性通常是接受声明者无法完全确定的，因此接受声明者很难完全清楚声明者的实际利益，所以声明博弈一般是不完全信息的博弈，也就是动态贝叶斯博弈。

一、声明的信息传递

声明是我们日常活动中经常见到的一种行为。如一个人声言要报复另外一个人，中央银行宣布加息政策，各国的外交声明，战争中或战争之前各方发布的真假策略（如在海湾战争中，伊拉克对美国说：如果你打我们的话，我们将向以色列发射导弹），企业表达对竞争对手某项营销策略的立场，以及国家之间在军事方面的威胁恐吓，等等，都是发布声明的例子，都是声明博弈。

声明对事物的发展及相关各方利益的影响，是通过影响声明接收方的行为来实现的，其对各方利益的影响是间接的影响，而不是由声明作用而产生的直接影响。因此，一个声明在实践中究竟能否产生影响，能够产生多大的影响及什么样的影响，取决于声明接受者如何理解这些声明、相信这些声明，以及采取怎样的行为反应等。

正如前面所说，由于声明几乎没有什么成本也没有任何约束，因此只要对声明者自己有利，声明者可以发布任何声明，声明内容的真实性显然是没有保证的。但是一个声明发出后，声明的接收方又不可能视而不见，必须对其进行分析，然后采取自己的应对行为：置之不理还是采取相应的应对措施。因此，接受者是否应该相信声明者的声明，在什么情况下可以相信，并采取什么样的行为，声明究竟能否有效地传递信息，对这些问题的研究是非常有价值的。

比如，长期在中央电视台黄金时段做广告的厂商传递的信号是：我有实力，企业经营一直不错。出示自己的高学历证书和各种获奖证书的求职者传递的信号是：我是一个优秀的应聘者。一些小公司对业务采取不冷不热的态度，传递的信号是：我不愁没业务做。故意装着要离开的顾客传递的信号是，把价格再降点，否则我走了。初恋时经常会找不怎么符合逻辑的借口去找对方，但又说不出口，其所传递的信号是，我对你有意思。

一般来说，当声明者和声明接受者利益一致或至少没有什么冲突时，声明的内容会使接受者相信。例如公共汽车上，某人说：“前面堵车了”，这一声明肯定会让乘客相信，因为这时乘客也会因堵车而无法前行；顾客在饭店声明自己的某种口味，饭店的厨师也会相信，因为顾客对口味的偏好跟他的利益没有冲突；医生说不可乱吃药，病人一般也会相信，因为这对病人有好处。在这些例子中，声明的信息得到了很好的传递。但当双方利益不一致时，口头声明就不一定能让对方相信。例如一个工人说“我的能力很高”往往是不可信的，因为高素质的工人意味着雇主必须付出高工资，而这是雇主所不愿意的；某大学校长说“明年上学不收学费”也是不可信的，因为这样的话，大学的收入就会减少，信息就不能有效传递。顾客喜欢买名牌产品，因为名牌是经过很多年才形成的，广告、产品质量、服务质量等因素起了很大的作用，名牌传递的信号就是：质量好，服务好。招聘单位看重学历，因为学历容易甄别，而且比起能力的描述来，相对可靠。为了使大家对该问题有更直观的了解，我们来看下面的例子。

二、声明博弈

声明博弈涉及真实的策略选择和声明的策略决定。如当有人说“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人”时，这含有什么意思呢？如果“别人犯我，我不犯别人”的话，别人会不断地犯我，我将不断地受到侵犯，这是我所不希望的；如果“别人不犯我，我犯别人”的话，我犯人的时候别人也会来犯我，这也不是我所期望的。因此，“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人”的策略是我的占优策略。

同时，这个策略的说出本身有信息“传递”的功能：你不要犯我，否则我肯定犯你；你不犯我，我也不会犯你。这里声明者将行动的可能策略告诉对方，目的是使双方避免出现不希望的结果，当然首先也是为了自己得益的最大化目的。

比如，假设美国声称，如果中国武力攻打台湾省的话，美国将介入。这是美国声明的策略。美国通过这言语上的声明，目的是为了恐吓中国政府。中国政府同样以声明回击：是否以武力收复我国台湾是中国的内政，美国无权干预。言下之意，如果美国干预的话，美国和中国将发生战争。如果中国政府真的武力攻打台湾省以实现国土统一，美国届时真的会介入吗？这是中国政府所要考虑的问题，即要弄清美国届时实际的策略是什么。美国也要考虑，一旦战争打起来，美国如果干预的话，中国会向美国开战吗？

可见在声明博弈中，最为重要的是要弄清声明者真实的策略决定与其声明的策略决定。真实的策略决定，我们称之为声明者真的策略规定，因为它是声明者从个人得益的最大化的角度来确定的，声明者没有理由作出对自己不利的策略决定，而声明的策略决定本身也是一种策略，声明者通过这个行动来达到某种目的，声明的策略可能是真实的策略，也可能是假的策略。

因此，“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人”是一种声明的策略决定。“如果天下雨，我将带伞”则是真正的策略决定。如果假设在可能策略下的得益，我们可以得到图7.1的得益矩阵。

其实，声明的策略决定首先是一种语言行动，而真正的策略决定不是语言上的。声明的策略决定是声明者向其他博弈者通过言语说出去的一种行为，它是行动者的一种行动。真正的策略决定是不需要表达出来的，其他行动者有可能知道也有可能不知道，并且有时这种真正的策略决定是保密的。同时，声明的策略决定与真实的策略决定可以相同也可以不同。例如在“囚徒困境”中，被警察抓到的囚徒在警察设定了他们的得益矩阵后，他们就会分析出自己的策略决定，即：无论对方的策略选择是“坦白”还是“抗拒”，他的最优策略选择是“坦白”。

图7.1

图7.2是一个声明能够被相信，能够有效传递信息的另外一个声明博弈。在该声明博弈中发布声明的博弈方为“声明方”，接收声明的博弈方为“接收方”，前者是发布一个声明，后者是对该声明采取一个具体的行为。

图7.2

该博弈中的声明方有两种可能的类型t_1、t_2，接收方有两种可能的行为a_1、a_2，对于声明方的两种不同类型，接收方采取两种不同行为时双方的得益如图7.2所示，得益数组中第一个数字为声明方的得益，第二个数字为接收方的得益。假设此时声明的类型是完全真实的。

在该博弈中，声明方的t_1类型和t_2类型分别偏好于接收方的不同行为a_1和a_2。因此两个博弈方的偏好具有完全的一致性。由于这种偏好的一致性声明方愿意让接收方了解自己的真实类型，接收方也完全相信声明方的声明。在这种情况下，声明就能有效地传递信息。

如果模型中的得益变成图7.3中的情况，声明的信息传递功能就会消失。

图7.3

在图7.3的得益情况下，声明方的两种类型都希望接收方采用a_1，而接收方只有在声明方的类型是t_1时才偏好a_1，为了使接收方采取行为a_1，声明方会声明自己的类型是t_1，此时，接收方肯定不会相信声明方的声明。因此，当声明方的不同类型的偏好与接收方在声明方的类型的偏好不同时，声明是不可能有效传递信息的。

同样在图7.4所示的得益中声明的信息传递作用也不会存在。

图7.4

在图7.5所示的得益矩阵中，声明方的类型与接收方相对应的行为正好相反。此时声明的信息传递机制作用也不会存在。

图7.5

通过上面的分析，我们可以得到要使声明起作用（即使声明博弈中声明能有效传递信息）的几个必要条件：首先是不同类型的声明方必须对应于接收方的不同行为。如果所有类型的声明方都偏好接收方同样的行为，声明方就不可能作不同的声明，声明就不可能有效传递信息，图7.4展示的就是这种情况。只有当不同类型的声明方偏好不同的接收方行为时，声明方的声明才可能有信息传递作用，如图7.2所示的情况。然后是对应声明方的不同类型，接收方选择的最优行为也不同，否则就意味着声明方的类型与接收方的行为无关，接收方完全可以忽视声明方的声明，声明也就不可能传递任何信息。第三个条件是接收方的偏好必须与声明方的偏好具有一致性，或者说接受者所偏好的行为至少不会完全遭到声明者的反对。否则，此时不管声明方作了什么声明，接收方都会怀疑其真实性。

然而在现实的声明博弈中，声明方和接收方在偏好和利益关系上并不是只有上述完全一致、完全相反和无关这么简单，而是往往既有一定程度的一致性，又有很大的差异。这样，一个声明的信息传递作用，信息传递的程度和效率取决于双方偏好和利益一致程度的高低，而声明博弈研究的关键问题就是声明方和接收方偏好、利益的一致程度问题。

设声明博弈中的声明方有I种可能的类型，接收方有k种可能的行为，此种博弈的时间顺序可以表述为：

1．“自然”从可行的类型集合T＝｛t_1，…，ti｝中以概率分布p（t_1），…，p（ti）随机抽取声明方的类型ti，其中p（ti）＞0，。

2．声明方观察到ti以后，从T中选择tj作为自己声明的类型。当然tj可以与ti相同（即说真话），也可以与ti不同（即说假话）。

3．接收方在了解声明方的声明tj后，在自己可行的行为集合A＝{a_1，…，aK}中选择行为ak。

4．声明方的得益为us（ti，ak），接收方的得益为uR（ti，ak）。

此类声明博弈我们称为离散声明博弈。该类声明博弈与一般不完美信息动态博弈有很大的相似性，差别只是声明方的行为只是一种对双方得益无直接影响的口头声明，但分析方法与一般的不完美信息动态博弈基本上是相同的，就是进行精炼贝叶斯均衡分析。

如图7.2所示的声明博弈就是一个离散型声明博弈。在该博弈中，虽然接收方不能完全知道声明方的真实类型，但双方对声明方的不同类型和接收方不同行为下的双方得益都是清楚的。当博弈双方的偏好和利益完全一致时，具有两种类型的声明方愿意声明自己的真实类型ti，而接收方也会相信声明方的声明，并采取偏好一致下的真实行为ai。这时，（ti，ai）就构成一个纯策略精炼贝叶斯均衡。

在图7.3和图7.4得益矩阵对应的博弈中，该模型都是精炼贝叶斯均衡，也就是不同类型的声明。这意味着在这两种情况下声明都是完全没有信息传递作用的。

下面我们讨论声明博弈的类型空间和行为空间都是连续的情况。

假设声明方的类型标准分布于区间[0，1]上，即T＝[0，1]接收方的空间也是0到1之间的区间A＝[0，1]。再设声明方的得益函数是US（t，a）＝－［a－（t＋b）］2，接收方的得益函数为UR（t，a）＝－（a－t）2。显然，当声明方的类型是t时，声明方最希望的接收方行为是a＝t＋b，但对接收方来说此时最有利的行为是a＝t，此时接收方的最大得益为0，显然，二者在得益函数上存在一个偏差b，参数b正是反映双方偏好差距的参数。

由声明方和接收方的得益函数可以看出，不同类型的声明方应偏好接收方的不同行为，对声明方的不同类型，接收方自己也偏好不同行为。另外，双方的偏好既不是完全对立的，也不是完全一致的，双方偏好的差异为b。具体分析就是如果b＞0，那么b越小双方的偏好越接近，b越大双方的偏好的差距就越大。当b接近于0时双方的偏好趋向于一致，此时声明的信息传递作用最强，这可以说是一种最理想，也是最特殊的情况。对我们来说，主要是研究b≠0时的情况，即研究双方的偏好存在一定差距的情况可能更具有一般性。

克劳复得（Crawford）和索贝尔（Sobel）曾证明，当b不等于0时，该模型所有的精炼贝叶斯均衡等价于以下类型的部分混同均衡。这种均衡的基本特征是：类型空间［0，1］被分成n个区间［0，x_1），［x_1，x_2），…，［xn－1，1］属于同一区间类型的声明方都作同样的声明，而在不同区间类型的声明方则作不同的声明。声明方采用这种分组的混同均衡策略时，最后形成的精炼贝叶斯均衡称为“部分混同精炼贝叶斯均衡”。部分混同均衡中可以分成的区间数越大，也意味着声明方通过声明对自己真实类型位置的反映也越精确，即声明的信息传递作用越强，n趋向于无穷大时信息越接近充分传递。

下面我们将说明，给定反映双方偏好一致性程度的偏好参数b，存在一个取决于b的能够在部分混同均衡中出现的最大区间数量，记为n*（b），对每一个n＝1，2，…，n*（b），都可以按某种方式将类型空间[0，1]分成n个区间，在这n个区间上构造部分混同精炼贝叶斯均衡。显然b越小，即一致性偏差程度越小，则n*（b）越大，信息传递越充分。当b趋向于0时，n*（b）趋向于无穷大，信息接近充分传递。

为简单起见，我们先对n＝2时的两段均衡进行分析。假设将整个类型空间T＝[0，1]分为[0，x_1]和[x_1，1]两个区间，这样所有属于[0，x_1]中类型的声明方的声明是相同的类型，而属于[x_1，1]中类型的声明方也是另外一个相同的类型，接收方在听到前一种声明时会判断声明方的类型均匀分布于[0，x_1]上，在听到后一种声明时会判断声明方的类型均匀分布于[x_1，1]上。显然在前一种情况下，即接受到声明方发自区间[0，x_1]的信息后，根据个人期望得益最大化的原理及分析方法，接收方此时符合自身利益最大化的最佳行为选择是x_1/2，在后一种情况下，即接收到声明方发出区间[x_1，1]的信息后，接收方也可以确定自己的最佳行为选择是（x_1＋1）/2。

也就是说，声明方对接收方的上述判断和决策思路是完全清楚的，当声明方声明自己的类型分别属于[0，x_1]和[x_1，1]两个区间时，接收方的行为必然分别为x_1/2和（x_1＋1）/2。为使类型属于[0，x_1]的声明方愿意真实地选择自己的信号，即表明自己的类型，必须使得声明方在接收方的两个行为x_1/2和（x_1＋1）/2之间，偏好x_1/2而不是（x_1＋1）/2，即前者给[0，x_1]区间类型的声明方带来的得益一定要大于后者带来的得益。与此类似地，要使类型属于[x_1，1]的声明方愿意真实地选择自己的信号，即表明自己的类型，必须使得声明方在接收方的两个行为x_1/2和（x_1＋1）/2之间，偏好x_1/2而不是（x_1＋1）/2，即前者给[0，x_1]区间类型的声明方带来的得益一定要大于后者带来的得益。与此类似地，要使类型属于[x_1，1]的声明方愿意真实地选择自己的信号，即声明自己的类型必须使得声明方在接收方的两个行为x_1/2和（x_1＋1）/2之间偏好（x_1＋1）/2而不是x_1/2，即后者给表明方带来的利益大于前者所带来的利益。根据假设的声明方的得益函数Us（t，a）＝－［a－（t＋b）］2，实现声明方最大得益的接收方的行为选择是a＝t＋b，也就是说接收方的行为离t＋b越近，声明方的得益就越大，反之则越小，可见声明方的偏好是分布于t＋b点两侧的。当t类型的声明方在x_1/2和（x_1＋1）/2之间的中点大于t＋b时，其会偏好前者，而该中点小于t＋b时，则会偏好后者。可见，要上述两部分混合均衡存在，x_1必须满足，小于x_1的类型都偏好x_1/2，大于x_1的都偏好（x_1＋1）/2，因此对x_1所表示的类型t_1，声明方最喜欢的接收方行为x_1＋b必须正好等于x_1/2和（x_1＋1）/2的中点，如图7.6所示，即

即

x_1＝0.5－2b

由于类型空间为[0，1]且x_1必须大于零，即0.5－2b＞0成立，于是有b＜0.25。也就是说，当b＜0.25时，两部分混合均衡才可能存在。如果b≥0.25，则因为双方的偏好相差太大，过于不一致，这种最低限度的信息传递也不可能存在，博弈只存在完全没有信息交流、声明完全无意义的混合精炼贝叶斯均衡。

在图7.6中，x_1/2和（x_1＋1）/2的中点x_1/2＋0.25等于x_1/b。此时，类型位于[0，x_1]中的声明方不会偏好（x_1＋1）/2，因为他偏好的行为小于x_1/b，而x_1/2离偏好的行为较近；类型位于[x_1，1]中的声明方不会偏好x_1/2，因为他偏好的行为大于x_1＋b，而（x_1＋1）/2离最偏好的行为较近。此时属于上述两个区间类型的声明方的最佳选择就是真实地声明自己的类型。

图7.6

下面，我们再来分析不在均衡路径上的声明方的声明问题。为此，我们介绍克劳复得和索贝尔设计的策略方案。克劳复得和索贝尔通过指定声明方的混合策略，来完全排除可能存在于非均衡路径上的声明。这种策略设计是：所有的t＜x_1的类型声明方在[0，x_1]上以均匀分布随机选择一个类型作为“声明类型”（不一定是他的真实类型），而t＞x_1的类型声明方则在[x_1，1]中以均匀分布随机选择一个“声明类型”。这样均衡中就没有任何声明不在均衡路径上了。此时接收方的判断只需要满足精炼贝叶斯均衡的要求3；当接收方在听到声明方的声明属于[0，x_1]时，他判断声明方的真实类型均匀分布于[0，x_1]上；接收方听到声明方的声明是属于[x_1，1]时，判断声明方的类型均匀分布于[x_1，1]。显然，接收方的判断符合声明方的策略和贝叶斯法则，因此满足要求3。

在策略设计时，除了上述混同策略以外，我们也可以指定声明方采用纯策略，这时候就可能存在不在均衡策略路径上的声明了。例如令声明方的纯策略为“所有t＜x_1的类型都声明0，t≥x_1的类型声明x_1”，并令接收方在观测到落在（0，x_1）上的声明时，判断声明方的真实类型均匀分布于[0，x_1）上，观测到落在（x_1，0］上的声明时判断声明方的真实类型均匀分布于[x_1，1]上。这样除了这两种声明的类型以外，两区间上其他所有类型都不在均衡路径上。

在上述两部分混同均衡声明中，由于接收方只是知道声明的真实类型属于两个区间中的哪一个，但具体在两个区间内的哪个位置仍然不清楚，因此，这种信息交流是比较有限的。现在我们设想，如果可以将声明方的类型空间分成更多个区间，并且能在这些区间的基础上构造更多的部分混同精炼贝叶斯均衡，这样声明方就能把自己真实类型的位置表达得更清楚，接收方对声明方的类型也就了解得更精确，信息传递得更充分。能否这样做的关键取决于b的大小，下面我们就来具体分析。

在两个区间的部分混合均衡中，区间[0，x_1）比[x_1，1]要短4b（x_1＝0.5－2b，前一个区间的长度是x_1－0＝0.5－2b，后一个区间的长度为1－x_1＝0.5＋2b，前一个区间比后一个区间短4b。这一结果说明，给定声明的类型，对声明方而言，其最优行动（t＋b）比接收方的最优行动高出b。如果相邻两区间的长度相等，两区间之间的临界类型就会严格偏好于选择与上面区间相对应的信号。使临界类型在两区间没有差别的办法就是恰当地使上面一个区间稍长于下面一个区间。该结论对分割为更多区间的部分合并均衡也是成立的。

下面我们来分析一个n段均衡。我们把区间划分为n个小区间，[xk－1，xk）是n个小区间之一，长度为c，根据前面的分析，此时接收方与该区间相应的最优行为是（xk－1＋xk）/2。同上面的分析一样，要使临界处的xk类型声明方偏好接收方的行为，必须使其行为在（xk－1＋xk）/2和（xk＋xk＋1）/2之间无差异，即

因为（xk－1＋xk）/2＝xk－c/2，代入上式，得

化简得xk＋1－xk＝c＋4b。也就是说，后一个区间的长度正好比前一个区间长4b。

在把类型区间[0，1]分成的n个小区间中，如果第一个区间的长度为d，则第二个区间的长度必须为d＋4b，第三个区间的长度为d＋8b，依次类推。由于该n个小区间的总长度等于1。于是有：

对于任何一个满足n（n－1）·（2b）＜1的n，都存在满足上述等式的d。也就是说，对于任何满足条件n（n－1）·（2b）＜1的n，都存在一个n个区间的部分混合均衡，并且其第一个区间的长度为满足上述等式的相应的d值。从该关于n的一元二次不等式中可解得，部分混同均衡可以分成的最大区间个数n*（b）必须小于［1＋］/2，该结果与前面两区间均衡中的结论是一致的，即当b≥1/4时，n*（b）＝1，表明声明方和接收方的偏好过于不一致时，双方之间的信息交流完全不可能发生；当b趋向于0时，n*（b）趋向于无穷大，也即信息接受充分交流，声明方接近能声明自己的真实类型；只要当b等于0，即双方偏好完全一致时，信息才可能完全交流。

第三节　信号博弈

不完全信息导致的复杂性在“信号博弈”（Signaling Game）中表现得最为明显。“信号博弈”也是不完全信息动态博弈的经典模型，它是两个博弈方之间进行的非完全信息动态博弈。信号博弈的基本特征是：博弈方分为信号发出方和信号接收方两类，先行动的信号发出方的行为，对后行动的信号接收方来说，具有传递信息的作用。下面我们讨论具有信息传递作用的“信号博弈”。

声明博弈就是信号博弈，声明博弈中的声明方相当于信号发出方，接收方就是信号接收者。只不过这是一种所谓的“空口声明”，即声明博弈中信号发出方的行为既没有直接成本，也不会影响各方利益；而现实生活中，一般信号博弈中信号发出方的行为本身往往都是有意义的现实行为，自身既有成本代价，同时对各方的利益也有直接的影响。例如每年大学生就业时，每个学生通过自身受教育的经历，向可能的雇主传递自身素质能力方面的信息，但受教育却是有代价的，而且这种代价的大小，即学生学历水平的高低及其所产生的学习成本（包括货币、时间等）的大小，对学生就业后的劳动生产率及学生与企业双方的利益也有直接影响，这与毕业生只作一个关于自身综合能力大小的口头声明是不同的，在声明的可信性方面和对决策的影响都有差异，显然一个有直接成本或有代价的声明比一个“空口声明”要可信得多。可见，声明博弈只是信号博弈的特例，是一种没有成本的“空口声明”，而信号博弈则是声明博弈的一般化，是研究信息传递机制的更重要的一般模型，因为一个声明的成本越高，威胁的信息就越可信。因此，研究这一不完全信息动态博弈中一般性的模型，比前面讨论的声明博弈更有意义。

一、行为传递信号的机制

1．信息的传递

信息的完全与否对拥有信息和缺乏信息的各方来说都会产生影响。对拥有个人信息的博弈方来说，虽然有时保守秘密对自己有利，但许多情况下他也希望将私人信息传递给别人，比如对于恋爱中的各方，双方可能都希望把自己较好的综合能力的信息完全传递给对方，以赢得对方的好感。再比如在前面介绍的旧车交易模型中，拥有较好的旧车的销售方就希望将自己旧车质量的真实信息传递给购买方，希望购买方能够了解车的真实情况。同样，当大学毕业生有真才实学的时候，也非常想让招聘的公司或企业了解自己的真实水平。对缺乏信息的博弈方来说，当然更是希望尽可能快地、尽可能多地掌握信息，摆脱自己的信息不完全状况，并减少由此可能造成的损失。不过这只是信息传递问题的一个方面，即诚实地（真实地）向信息接收方表达自己的各种信息。但信息传递问题的另外一个方面，就是信息传递的非真实性和非可靠性。许多拥有私人信息者往往有故意隐瞒和欺骗的动机，而缺乏信息又很难判断信息的真伪。比如仍然是恋爱问题，可能一个品质恶劣，能力低下的人故意隐瞒自己的真实情况，反而把自己装扮成一个品德高尚的人。因此，在信息不完全、不对称的情况下，如何识别和克服信息传递中的不完全性，是一件比较困难的事情。

在上一节的分析中，我们已经知道，在拥有信息和缺乏信息的双方之间的偏好和利益完全一致的情况下，即使是没有任何成本的“空口声明”也能够有效地传递信息，但当双方的偏好和利益不一致时，“空口声明”在传递信息方面就不再有效了，此时，拥有信息的一方可能有欺骗对方的动机，进而破坏整个信息传递的机制。比如，现在许多大学都要选留拥有博士学位的人到学校任教，博士学位成为大学挑选青年教师的重要标准。虽然说博士学位获得者未必就一定比其他低学位者能力强，但从现实的情况来看，博士学位获得者一般在科研能力、综合素养方面比低学位者要强；而且一个人若能获得博士学位，其付出的成本比其他低学位者都要高，这种高成本所传递的信息往往也是可信的，即高学位者一般拥有高能力。

再看另一个有趣的例子。有一个叫萨摩亚岛的地方，该岛上的居民对纹身有着特殊的看法。在萨摩亚岛上，武士有很高的地位，要成为一名武士必须首先有一身好的纹身。纹身之所以成为该岛选择武士的标准，不是因为它本身对打仗杀敌有什么特别的作用，而是因为该岛上的居民认为只有能够忍受纹身巨大痛苦的青年，才是有巨大勇气的，而足够的勇气正是成为好武士的必要条件。这就是纹身成为该岛挑选武士标准的根本原因，即纹身是反映青年人的品质，传递部落想要了解的信息的手段。

在“市场进入”博弈中，如果假设在位者先行动，如先定价（P），那么P就可能传递出有关在位者成本函数的信息。如果进一步假设，存在一个价格P_0，只有低成本的企业进入才有利可图，高成本的企业进入就是非理性的，那么，精炼贝叶斯均衡就是：低成本在位者选择P_0，高成本企业选择较高的垄断价格；如果进入者观察到在位者选择了P_0，就推断其为低成本，不进入；否则进入。这就是著名的“垄断限价模型”。

在动物世界中也有大量类似的例子，一些动物通过展示自己美丽的羽毛，或者大声吼叫等行为来传递求偶的信息或者吓走来犯之敌。我们常见的孔雀开屏就是雄孔雀向雌孔雀传递自身健康和良好素质的主要信号机制，因为雄孔雀开屏本身除了吸引雌孔雀以外，对雄孔雀并没有其他实际的意义。

“黔驴技穷”给出的也是一个不完全信息动态博弈问题。当驴刚到贵州时，老虎从没见过如此的庞然大物，对其“信息”完全不了解。此时，老虎的最佳策略选择是躲起来偷偷地观察驴。当老虎走出树林，走向驴，想获得关于驴本身的事实信息时，驴突然大叫一声，老虎受惊之下，迅速逃走，这种叫声老虎不曾见过，逃走是最佳选择。再后来，老虎发现驴除了叫声之外，似乎再没有别的能耐，就又走向驴，但仍然心存疑虑，因为它对驴真实本事的信息还不完全了解。于是它故意离驴很近，甚至故意靠近驴，驴一怒之下，用蹄子去踢老虎。这一下，老虎高兴异常：原来这庞然大物不过如此。驴这一踢向老虎彻底地传递出了自己本领的真实信息。于是老虎扑上去，把驴给吃了。由此可见信号的传递无论是在人类社会还是动物世界都是普遍而重要的问题。

2．信号传递机制（Signaling Mechanism）

在信息博弈中，具有信息传递作用的行为我们把它称为“信号”（Signals），通过信号传递信息的过程则称为“信号机制”（Signaling Mechanism）。

从前面所举例子中不难发现，一种行为要成为能够传递信息的信号，能够形成一种信号机制，关键并不是它是否具有实际意义，而在于它们必须都是有成本代价的行为，而且通常对于不同“特征”的发信号方，成本代价要有差异。如果一种行为没有成本，或者不同“特征”的发出方采用这种行为的成本代价没有差异，那么“特征”差的发出方会发出与“特征”好的发出方同样的信号，以伪装其“特征”好，从而使信号机制失去作用。例如获得博士学位和获得学士学位是一样的容易的话，那么博士学位获得者就不会得到社会和用人单位的重视，从而获得比本科毕业生更高的社会地位。

旧车模型也是商业活动中利用信号机制的一种典型例子。我们知道商品市场常常是信息极不完全的，因为消费者通常对所购买的商品只有很有限的知识，并不总是能够识别商品的真实质量，或者是否假冒伪劣商品。因此，很容易出现所谓的“逆向选择”：劣质品驱赶优质品，市场完全失灵。比如，当公司打折低价销售商品时，他并不能确定将会卖出多少产品，因为他不确定有关消费者对商品信息把握的程度；在资本市场上，股民由于不拥有关于他们交易的上市公司的完全信息，从而使得他们在复杂的股市博弈中要承受较大的风险。所以，在商品市场中，优质产品要与其他伪劣产品区别开来，做不到这一点就会比伪劣产品更早地被赶出市场。当然，生产优质产品的企业仅仅声称自己的产品是优质产品往往是不够的，因为这样做没有发生什么成本或只有少量的广告成本发生，搞假冒伪劣产品的企业也可以这么做，生产优质产品的企业只有通过某种有成本，而且如果产品的质量越差，所付出的成本将越高的方法，来传递自己的产品质量的信息，才会真正赶走假冒伪劣者。

由于具有昂贵成本的承诺能够成功地将不同质量特征的产品区别开来，消费者可以买到货真价实的商品，诚实经营企业的利益可以得到有效保护，假冒伪劣的企业要么转向诚实经营，要么被淘汰，因此上述“信号机制”对提高社会经济活动效率，鼓励诚信经营有很大的积极作用，是保证经济正常运行和经济发展的有效制度安排。

二、信号博弈模型和精炼贝叶斯均衡

1．“信号博弈”（Signaling Game）

例1　信号博弈模型（Signaling Game）

“信号博弈”（Signaling Game）是研究具有信息传递特征的信号机制的一般非完全信息动态博弈模型。信号博弈的基本特征是两个（或两类，每类又有若干个）博弈方，分别称为信号发出方（Sender）和信号接收方（Receiver）。他们先后各选择一次行为，其中信号接收方具有不完全信息，但他们可以从信号发出方的行为中获得部分信息，信号发出方的行为对信号接收方来说，好像是一种（以某种方式）反映其有关得益信息的信号。这也正是这类博弈被称为“信号博弈”的原因。

由于信号博弈也是动态贝叶斯博弈，因此也可以通过海萨尼转换直接表示成完全但不完美信息动态博弈。设自然（博弈方0）先按特定的概率分布从信号发出方的类型空间中为发出方随机选择一个类型，并将该类型告诉发出方（即发出一个信号）；然后是接收方在自己的行为空间中选择一个行为（也称发出一个信号）；最后接收方根据发出方的行为选择自己的行为。如果我们用S表示信号发出方，用R表示信号接收方，用T＝｛t_1，…，ti｝表示S的类型空间，用M＝｛m_1，…，mj｝表示S的行为空间，或者称信号空间，用a＝｛a_1，…，ak｝表示R的行为空间，用uS和uR分别表示S和R的得益，并且自然为S选择类型的概率分布为｛p（t_1），…，p（ti）｝。因此信号博弈的时间顺序可表示为：

（1）博弈方0以概率p（ti）从可行的类型集T中为S选择类型ti，并让S知道，这里对所有的i，p（ti）＞0，且p（t_1）＋…＋p（ti）＝1。

（2）S观测到ti后，从可行的信号集M中选择行为mj。

（3）R看到mj（但不能观测到ti）后从可行的行为空间中选择行为ak。

（4）S和R的得益uS和uR都取决于ti、mj和ak。

注意T、M和A既可以是离散空间，也可以是连续空间。

2．信号博弈精炼贝叶斯均衡

由于信号博弈可以表示为完全但不完美信息动态博弈的形式，我们就可以利用精炼贝叶斯均衡对它们进行分析。下面我们把第四章第二节中关于精炼贝叶斯均衡要求1至要求4的表述转化为信号博弈中对精炼贝叶斯均衡的要求。根据信号博弈的特点，其精炼贝叶斯均衡的条件是：

（1）（把要求1应用于R）信号接收方R在观察到信号发出方S的信号后，必须有关于S的类型的推断，即S选择mj时，S是每种类型ti的概率分布p（ti｜mj），p（ti｜mj）≥0，∑p（ti｜mj）＝1。

给出了信号发出方S信号和信号接收方R的推断后，再描述R的最优行为便十分简单。

（2）（把要求2应用于R）给定R的判断p（ti｜mj）和S的信号mj，R的行为a*（mj）必须使R的期望得益最大，即a*（mj）是最大化问题

的解。

（3）（把要求2应用于S）给定R的策略a*（mj）时，S的选择m*（ti）必须使S的得益最大，即m*（ti）是最大化问题

的解。

（4）（把要求3、4应用于R）对每个mj∈M，如果存在ti∈T使得m*（ti）＝mj，则R在对应于mj的信息集处的判断必须符合S的策略和贝叶斯法则。即使不存在ti∈T使m*（ti）＝mj，R在mj对应的信息集处的判断也仍要符合S的策略和贝叶斯法则。即：

因为上述双方策略都是纯策略，因此是纯策略精炼贝叶斯均衡。

例2　股权与投资的置换

设想一家股份制企业需要融入一笔外来资金，以投入一个新的项目。假设该企业拥有关于企业自身盈利能力的私人信息，这些信息潜在的投资者却不能完全观测到。如果该企业向潜在投资者提议用一定比例的股份换取所需要的投资。那么在什么样的情况下会有人愿意投资，企业应该承诺转让多少股份才比较合理呢？

为了把该问题转化为一个信号博弈，为简单起见，我们假设该企业的利润只有高低两种可能，x＝H或π＝L，H＞L＞0。再设新项目所需投资为I，其收益为R。设r为潜在投资者的收益率，因此只有该项目的收益大于投资到其他项目的收益这个项目才有意义，即I和R必须满足R＞I（1＋r），此信号博弈模型可表示为：

1．“自然”随机决定该企业原有利润π是高还是低，已知p（π＝H）＝p，p（π＝L）＝1－p；

2．企业自己了解π的真实状况，愿出S比例股权向投资者换取这笔投资，0≤S≤1；

3．投资者看到S，但观测不到π的真实状况，只知道π以一定的概率大小呈现出高低两种可能性，然后选择是接受还是拒绝企业的提议；

4．如投资者拒绝，则投资者的得益为I（1＋r），企业的得益为π，如投资者接受，则投资者的得益为S（π＋R），企业的得益为（1－S）（π＋R）。

这个信号博弈是比较简单的，其信号发出方的类型只有两种，信号接收方的行为也只有两种，而信号发出方的信号空间则是一个连续区间0＜S＜1。其实，企业如果考虑到自身是否合算以及自身的投资信息可能不被投资者所接受，企业发出的信号虽然比较多，但其实许多都是无效率的，因此S的实际范围要小得多。例如投资人在看到S以后判断π＝H的概率为q，即p（H｜S）＝q，则他只有在

S［qH＋（1－q）L＋R］≥I（1＋r）

即　　　　S≥I（1＋r）/［qH＋（1－q）L＋R］

时，才会接受S。对企业来说，只有当

（1－S）（π＋R）≥π

即　　　　　S≤R/（π＋R）

时，才会愿意出价S。

现在我们先来看一下信号博弈中存在混同精炼贝叶斯均衡的条件，即“企业不管实际的π是H还是L，都出S，而投资方接受”，在什么情况下是一个混同精炼贝叶斯均衡。

首先，对企业来说，S是其均衡策略必须满足S≤R/（π＋R）。因为R/（H＋R）≤R/（L＋R），因此如果S满足S≤R/（H＋R），就一定满足S≤R/（L＋R）。其次，只有当

S≥I（1＋r）/［qH＋（1－q）L＋R］

时，接受才是投资方的均衡策略。因此，“企业出S，投资方接受”及相应判断成为混同精炼贝叶斯均衡的前提条件是

当q趋向于1时，因为R＞I（1＋r），所以（7.1）式肯定成立，意味着必然存在混同精炼贝叶斯均衡。当q趋向于0时，则只有当

R－I（1＋r）≥［I（1＋r）/R］·H－L

即该项目的收益R，与该投资资金用于其他投资项目可得到的利润I（1＋r）之差，大于等于右边的数值时，混同精炼贝叶斯均衡才有可能出现。由于q是投资方判断该企业为高利润的概率，因此上述结论表明当投资方相信企业有较强的盈利能力时，他会接受较高的股价，即较低的股权比例，而当投资人不大相信企业有较高盈利能力时，他会接受较低的股价，即要求较高的股权比例。因此，在这种混同精炼贝叶斯均衡中，企业将为无法使投资人相信它有高盈利能力而付出代价，这个代价有时候甚至会超过企业从新项目中可能获得的利润，此时企业只能放弃该项目。该分析也说明，对于一个经营良好的企业来说，应该提高经营状况的透明度和保持良好的公众形象。

当（7.1）式不成立时，混同精炼贝叶斯均衡也就不存在，不过在R≥I（1＋r）的情况下，分离均衡总是存在的。其中低利润类型的企业出价S＝I（1＋r）/（L＋R），由于L＋R≤qH＋（1－q）L＋R，因此投资者会接受企业的出价；而高利润类型企业的出价S＝I（1＋r）/（H＋R），由于H＋R≥qH＋（1－q）L＋R，因此投资者会拒绝接受。这时分离均衡很显然是低效率的，因为投资流向效率差的企业，投资效率被降低了。结果是高盈利能力的企业只能放弃这个有价值的项目，低盈利类型的较差企业反而能投资这个项目。这种分离均衡是一种失败的信号机制，也就是说发送者的可行信号集是无效率的，因为高盈利的企业无法突出自己的高盈利能力条件的吸引力。这也是信息不完全对市场经济效率影响的体现。当这种情况出现时，优秀的企业要么像低盈利企业一样用更优惠的条件吸引投资者（而这又意味着更大的代价和成本），要么只能转向借贷筹资或内部集资。

例3　斯彭塞（Spence）劳动力市场信号博弈

1．劳动力素质的信号机制

在企业人力资源管理中，人力资源部门在企业招聘员工的时候，总是希望招聘到素质比较高的劳动者，因为高素质劳动者的劳动生产率一般来说都比较高，这样可以给企业带来更大的经济效益。但是，识别劳动者素质的高低是一件很困难的事。在人力资源管理中我们知道，企业通常招聘员工时往往会设计一套选拔机制，例如学历要求、笔试和面试等。由于不同素质的劳动者获得学历或者通过各种考试的边际成本通常是不同的，低素质劳动者比高素质劳动者的成本高得多，这样通过成本与利益的比较，不同素质的劳动者常常会选择不同的教育水平或只能考出不同的成绩。这样企业就有条件区别不同素质的劳动者，从而提高录用劳动者的平均素质。此时，企业设计采用的选拔机制其实就是信号机制。

从上述例子可以看到，一般来说，素质高的劳动者劳动生产率高，素质低的劳动者劳动生产率低。要想成功地筛选出素质好的劳动者，就必须：（1）设计出能够区别不同素质的劳动者发出信号的成本差别大小的信号机制，如果不同素质的劳动者发信号的成本差异不大，就不可能进行甄别。也就是说对劳动者的要求不能太低，要求太低，太容易达到就起不到应有的作用。（2）对劳动者的素质要求也不能太高，因为要求太高，“高处不胜寒”，以至于很少有人愿意发这种信号，这样就无法网罗到足够数量的人。（3）工资不能给得太高，因为当工资太高，从而使得工作所得到的得益高于所有素质的工人发信号的成本时，低素质的人发信号也是合算的，也会选择发同样的信号，这样信号机制也起不到甄别劳动者素质的作用。因此企业在设计信号机制的时候，应该注意这些方面目标的平衡。

2．博弈模型

下面我们通过扩展式博弈来介绍斯彭塞（Spence）提出的劳动力市场博弈模型。斯彭塞的劳动力市场博弈模型是信号博弈中的一个典型代表。按照信号博弈的表达方法，该博弈的时间顺序可表述如下：

（1）自然随机地决定一个劳动者的生产能力η，η有高低两种可能，分别记为H和L。并且自然选择生产能力高低的概率p（η＝H）和p（η＝L）是劳动者和企业的共同知识。

（2）劳动者明白自己的生产能力是高还是低，并为自己选择一个受教育的水平e≥0。

（3）有两个企业同时观察到劳动者的受教育水平，然后同时提出愿意支付给劳动者的工资水平。

（4）劳动者接受工资较高的工作。若两企业的工资相同，则通过掷硬币随机决定为谁工作。用ω表示劳动者接受工作时的工资水平。

在这个博弈中，劳动者的得益为ω－c（η，e），其中c（η，e）是能力为η，受教育程度为e的劳动者供给劳动的成本；雇到该劳动者的企业的得益为y（η，e）－ω，其中y（η，e）是能力为η、受教育程度为e的劳动者的产出水平；没雇到该劳动者的厂商的得益为0。由于该博弈中劳动者选择受多少教育对厂商来讲是一个劳动者生产能力高低的信号，因此这是一个信号博弈问题。不过这个信号博弈中的信号接收方是两个而不是一个，这是一个三个博弈方之间有同时选择的两阶段不完全信息信号博弈。

由于未雇到劳动者的企业的得益（即利润）为0，因此斯彭塞认为两企业之间的竞争会使企业的期望得益趋向于0，即企业的最佳策略就是让工资接近其产出水平。如果确定了这一点，那么市场上究竟是一个企业还是很多企业就无关紧要了，因为此时企业的行为与现实中竞争性市场上的企业的行为是一致的。这里我们用单一企业模型来代替两个信号接收企业。我们可以先假设惟一企业的得益函数为－［y（η，e）－ω］2，因为在这个得益函数下，企业会选择尽可能接近y（η，e）的工资ω，以使得益逼近其最大值0。为了在假设有两个企业同时作为信号接收方的情况下，保证它们之间的竞争会使它们所出的工资率相当于劳动者的劳动生产率，还需要假设两企业观察到劳动者的受教育程度e以后，对劳动者的能力有相同的推断p（H｜e）和p（L｜e）＝1－p（H｜e），或者说上述推断是这两个企业之间的共同知识。这样两企业愿意出的工资水平均为：

ω（e）＝p（H｜e）·y（H，e）＋（1－p（H｜e））·y（L，e）

由于精炼贝叶斯均衡要求判断必须符合均衡策略和贝叶斯法则，因此只要自然选择劳动者能力高低的概率分布是共同知识，两企业的判断相同应该是不成问题的。

下面我们对模型中受教育程度e的具体含义来进一步地给予说明。一般来说，我们以学习年限作为受教育程度e的指标和量值，因为学习年限与工资率之间的正相关关系，在市场经济中一般总是成立的，并且学习年限较高的员工有较高的产出水平，也是一条容易为人们接受的一般平均规律，原因就是员工的受教育年限和成绩等对企业来说是反映其能力的一个信号。因为对于能力强的学生（未来的员工）来说，接受较多的教育，获得更好的成绩，选修更多的课程，获得更高的学历、学位，相对于能力差的学生要容易一些，实际成本低一些，因此他们会倾向于接受更多的教育、选修更多的课程和争取更好的成绩，并以此突出自己，表明自己的能力。相反，能力差的学生则会觉得受更多教育、获高学位、进名校和取得好成绩都非常困难，实际成本太高，因此倾向于选择较低的教育程度。即对所有的e有：

Ce（L，e）＞Ce（H，e）

其中Ce（η，e）表示能力为η、教育水平为e的劳动者接受教育的边际成本。

为了更容易理解上述博弈问题中劳动者的选择及其均衡，我们先简单讨论和这个问题相对应的完全信息博弈。完全信息博弈是指不仅劳动者自己知道自己的实际能力，而且两企业也都非常清楚，是共同知识，而不只是劳动者的私人信息，设其为η。这时，两企业的竞争使得这个能力为η的劳动者如果受教育程序为e，可得到工资ω（e）＝y（η，e）。该能力的劳动者选择的教育水平e满足

设其最优解为e*（η），则ω*（η）＝y［η，e*（η）］。工资和教育水平之间的均衡如图7.7所示。图7.7中的η_0、η_1、η_2是给定不同能力η的收入努力无差异曲线。

现在我们再回到劳动者的能力η是私人信息的不完全信息的情况。这种不完全信息给低素质能力的劳动者提供了伪装成高素质能力劳动者的机会，伪装的方法是接受较多的教育，这样做是否合算则取决于伪装的代价，也就是受更多教育的成本，与获得较高工资相比是否合算。这时可能会发生两种情况：

（1）当ω*（L）－c［L，e*（L）］＜ω*（H）－c［L，e*（H）］时，低能力劳动者会选择接受较多教育，伪装成高能力。

（2）当在ω*（L）－c［L，e*（L）］＞ω*（H）－c［L，e*（H）］时，即使可骗取企业的信任，并获得高工资，但仍然是得不偿失，低素质劳动者最好还是老实承认低能力，选择接受较低工资，不应该盲目地追求高教育、高学历。

图7.7

在这个不完全信息的博弈中，同样存在混同均衡，分离均衡和混合均衡。我们首先讨论它的混同精炼贝叶斯均衡。

在这个博弈中混同均衡是指拥有不同素质能力类型的劳动者采用单一策略，即相同的教育水平的均衡。我们记这个相同的教育水平为ep。这时候劳动者的选择不能反映他们的素质能力，根据信号博弈要求（4），企业在观测到ep后的推断必须等于其先验推断，即推断p（H｜ep）＝p（H），即劳动者受教育程序为ep的情况下高能力的概率与自然决定劳动者高能力的概率是相同的。

两企业在观察到ep以后，根据上述判断，选择的均衡水平应为

ω（ep）＝p（H）·y（H，ep）＋（1－p（H））·y（L，ep）　　（7.2）

精炼贝叶斯均衡还要求企业设定当劳动者的教育是非均衡的e≠ep时的判断和选择ω（e），以及证明两类劳动者对企业的策略的最佳反应都是e＝ep。为此，我们可以假设企业在e≠ep时判断劳动者肯定为低能力，即

企业的策略为

其中ω（ep）为（7.2）式所示。

能力为η的劳动者的序列理性选择e应该满足

该式的解很简单：只有当e＝ep时工资ω（e）＝ω（ep），e≠ep时工资ω（e）＝y（L，e），而且ω（ep）肯定大于y（L，e）。因此，当ω（e）－c（η，ep）≥y（L，e）－c（η，e）时，劳动者选择ep，而且上述不等式逆转时，劳动者应该选择使y（L，e）－c（η，e）取最大值的教育水平。因此，上述不等式成立时，劳动者的选择是序列理性的，而如果两种类型劳动者的生产率、教育成本等都满足该不等式时，ep就是混同精炼贝叶斯均衡策略。

在这里，能够构成混同精炼贝叶斯均衡的教育水平ep不是惟一的，而是可能有很多种，只要满足上述不等式，并使企业形成相应的判断就可以了。

现在我们再来看一下本博弈中的分离精炼贝叶斯均衡。分离均衡意味着不同能力的劳动者选择不同的教育水平e*（H）和e*（L）。假设没有嫉妒的情况，就是说能力低的劳动者不羡慕乃至嫉妒高能力劳动者的工资水平，这时候劳动者选择的教育水平将反映出劳动者能力的类型。企业的判断是

如果考虑到教育水平不止高、低两种，则可将上述判断改为

企业的序列理性策略是

e*（H）是高能力劳动者对工资函数ω（e）＝y（H，e）的最佳反应，因此也是对企业策略的最佳反应。对低能力的劳动者，e*（L）是他对工资函数ω（e）＝y（L，e）的最佳反应，当ω′（L）－c（L，e*（H））≥ω*（H）－c（L，e*（H））时，e*（L）也是他对企业策略的最佳反应。因此在上述不等式成立的前提下，上述不同类型劳动者分别选择不同的教育水平，企业给出不同的工资，以及相应的判断，构成一个分离精炼贝叶斯均衡。

下面我们再分析有嫉妒情况下的分离精炼贝叶斯均衡。

现在，在有嫉妒情况下高能力劳动者不能简单地通过选择在完全信息下选取的教育e*（H）来获得高工资ω（e）＝y（H，e）。设此时劳动者“发送”的教育水平为es，这样为发送有关自己能力的信号，高能力劳动者必须选择es＞e*（H）。这是因为低能力劳动者将以e*（H）与es之间的任何e值作为发送的教育水平信号，只要这样做可以骗取企业相信他具有高能力，他一定会发出较高值的信号e。因此，由于社会上存在低能力劳动者以较高学历争取到高工资的可能性，高能力的劳动者只能以更高的学历作为信号使企业认识到他的才华。

分离精炼贝叶斯均衡在形式上包含了劳动者的策略［e（L）＝e*（L），e（H）＝es］，μ（H｜e*（L））＝0，μ（H｜es）＝1以及企业的均衡工资成本

赞同上述均衡的企业在非均衡路径信息集上的得益是

即，当e≥es时认为劳动者具有高能力，否则认为劳动者仅具有低能力。于是，企业的相应策略是

了解这个工资函数之后，低能力劳动者对此有两个最优反应：老老实实地选取e*（L）以得到ω*（L）；选取es以获得工资y（H，es）。我们假定，选择适当的es，使得低能力劳动者对这两种反应表示无所谓，从而他的选取将有利于e*（L）（一个可能的解释是，花了很大代价，低能力劳动者以高学历获得高工资，但总的得益并不增加，倒不如真实地以e*（L）获得ω*（L）为好）。事实上，我们只要这样去求es，使得

y（H，es）－C（L，es）＝y（L，e*（L））－C（L，e*（L））　　（7.10）

上式在一般情况下有解，因为劳动者的成本函数随e增长的速度将高于y的增长速度，因此，常能找到一个es使上式成立。现在来看高能力劳动者是否会偏离分离策略。由于es＞e*（H），而根据前面的分析，当e＞e*（H）时，高能力劳动者的盈利呈下降趋势，因此在这里，至少e＞es不是一个好的选择。当e＜es时，由（7.9）式，高能力劳动者也只能被企业认为是低能力而得到工资y（L，e），此时是否会有

y（L，e）－C（H，e）≤y（H，es）－C（H，es）　　（7.11）

就成为分析的关键。由于es的选择满足（7.10）式，即

y（L，e*（L））－C（L，e*（L））＝y（H，es）－C（L，es）

由于当e＜es时，低能力劳动者最优选择为e*（L），因此当e＜es时，应有

y（L，e）－C（L，e）≤y（H，e）－C（L，es）　　（7.12）

将（7.12）式改写为

y（L，e）≤y（H，e）－[－C（L，es）－C（L，e）]　　（7.13）

注意到教育水平从e改善到es，低能力劳动者将比高能力劳动者花费更多，因此

C（L，es）－C（L，e）≥C（L，es）－C（L，e）　　（7.14）

利用（7.14）式代入（7.13）式得

y（L，e）≤y（H，e）－[C（L，es）－C（L，e）]，当e＜es　　（7.15）

（7.15）式就是（7.11）式，这表明当e＜es时的所有的e都不是高能力劳动者的好选择。这样我们实际上就证明了在有嫉妒情况下也存在分离精炼贝叶斯均衡。

除了上述混同均衡和分离均衡这两种精炼贝叶斯均衡以外，本博弈也存在混合策略的精炼贝叶斯均衡，或称为“混合均衡”。混合均衡一般是高能力类型的劳动者选择同样的教育水平，而低能力类型的劳动者则随机地在与高能力劳动者相同的教育水平，以及某种不同的教育水平之间进行选择。

设高能力劳动者都选择教育，而低能力的劳动者则分别以概率π和1－π在之间随机选择。根据贝叶斯法则，企业的劳动者符合策略的判断为

这些判断反映了下列几个方面的关系：

（1）由于高能力的劳动者总是选择，只有一部分低能力的劳动者选择，因此选择教育水平的劳动者中高能力的比例比在所有劳动者中的比例要高，即p（H｜）＞p（H）。

（2）当π→0时，只有很少低能力劳动者选择接受高教育，低能力劳动者几乎不会和高能力者相混淆，因此p（H｜）→1，即受教育程度基本能反映能力水平。

（3）当π→1时，低能力劳动者也都倾向于接受高教育，几乎和高能力劳动者相混同，p（H｜）→p（H），受教育程度几乎与能力水平无关。

为了使低能力劳动者愿意在和之间随机选择，高教育劳动者的工资ω*（）和给低教育劳动者的工资ω*（）＝ω*（L）必须满足

ω*（L）－c（L，）＝ω*（）－c（L，）　　（7.16）

即低能力劳动者选择低教育的得益与选择高教育的得益相同。当然其中是使ω（L）－c（L，eL）取最大值的eL，而是使高能力劳动者的得益ω（eH）－c（H，eH）取最大值的eH。

在给定劳动者的上述混合策略和企业的前述判断的情况下，企业的均衡策略为当劳动者受教育为时，支付工资ω*（L）＝y（L，），而当劳动者受教育为时，企业支付工资

由于不管劳动者选择的教育是还是，在企业的策略和其相应的判断下，上述工资水平都等于产出水平或期望产出水平，因此是均衡的。对劳动者来说，在满足（7.16）式的前提下，给定企业的策略，上述混合策略也是其最佳反应。这就证明了双方策略在前述判断下都是序列理性的，而且反过来判断的形成又符合均衡策略和贝叶斯法则，因此这是一个混合策略的精炼贝叶斯均衡，或者说混合均衡。

第四节　不完全信息下的谈判博弈

在前面第三章我们曾经讨论过一个工会和企业之间关于工资和雇用的博弈，在该博弈中博弈双方的信息都是完全且完美的。然而，现实中工会和企业之间的博弈问题，信息往往并不是完全的，尤其是工会一般很难完全了解企业盈利或亏损的真实情况。现在，我们讨论在劳资双方已发生严重对立（如罢工）的情况下，双方之间必须通过谈判限期达成结果，工会和企业之间的谈判是不完全信息动态博弈的问题。

假设企业的利润π是企业的私人信息，工会无法知道其真实情况，只知道是均匀分布于区间［0，πH］。假设员工不被企业雇用就会失去全部收入，没有自雇机会，即收入为0。为简单起见，假设企业和工会之间只进行两回合的讨价还价，每个回合都是先由工会提出工资水平ω_1要求，博弈结束时工会的收益为ω_1，企业的收益为π－ω_1，否则博弈进入第二个回合，工会给出第二个工资要价ω_2。如第二个回合企业不接受，则表示企业不再雇用工会的工人；若在第二个回合双方达成协议，则双方的得益都要打折扣，折算成第一个回合达成协议得益的折算系数为δ，这表示晚达成协议对双方都有代价。

此时，第二个回合达成协议后工会的得益为δω_2，企业的得益为δ（π－ω_2），如果企业拒绝工会的第二个回合要价ω_2，即第二个回合仍达不成协议，则博弈结束，双方得益均为0。

在本博弈中，推断精炼贝叶斯均衡比较复杂，但最终的结果都比较简单。我们首先直接给出该博弈惟一的精炼贝叶斯均衡：

1．工会第一回合的工资要价水平为

2．如果企业的利润π超过

则企业接受，否则拒绝。

3．如果第一回合的工资要求被拒绝，工会将对企业利润的推断修改为均匀分布于［0，］，于是第二回合要求的工资水平为

4．如果企业的利润π超过，则接受该工资要求水平，否则继续拒绝

在上述均衡中，每个回合谈判都是高利润企业接受工会的工资，而低利润的企业则遭拒绝。工会在第二个回合时的推断反映出工会相信高利润企业在第一回合时将会接受工会的要求。在该均衡中，低利润的企业会忍受例如第一阶段的罢工以迫使工会降低第二回合谈判时的工资要求。不过如果利润太低，则即使是较低的工资要求，企业也无法满足，只能再次拒绝。

现在我们来分析上述策略组合，为什么会是本博弈中企业和工会的精炼贝叶斯均衡。我们用逆向归纳法的思路，先从第二个回合谈判开始企业的选择。假设在第一回合谈判中，企业已经拒绝了工会的要求，对企业来说，第二回合谈判是最后的机会，如果拒绝意味着得益为0，因此只要π＞，就一定会选择接受，而不管第一回合的是多少。此时企业的得益为δ（π－）＞0。

现在我们来看第二回合工会的选择。首先，工会知道企业在该阶段的选择方式，即企业以π＞是否成立作为选择标准；其次，工会此时推断企业的利润是均匀分布于［0，π_1］的（π_1的值在第一回合讨论，它可以为任何值）。因此，工会选择的要使自己的期望得益最大化，即

其中p2a和p2r分别是企业接受和拒绝ω_2的概率。p2a＝p｛π＞ω_2｝和p2r＝｛π≤ω_2｝。根据工会对企业利润的判断，p2a＝p｛π＞ω_2｝＝（π_1－ω_2）/π_1，而p2r＝｛π≤ω_2｝＝ω_2/π_1。上述最大值问题于是变为

工会的最优工资要价水平为＝π_1/2。因此，如果谈判进行到第二回合，并且企业接受要求，则双方的得益为：工会δπ_1/2，企业δ（π－π_1/2）。

现在我们回到第一回合谈判。对企业来说，由于它知道如果谈判进行到第二回合，所能够得到的最大得益是δ（π－π_1/2）。因此，如果工会第一回合的工资要价为，并且企业希望其在第二回合的工资要价为的得益为δ（π－ω_2）。因此，在第一回合企业选择接受的条件，是选择接受的得益π－ω_1≥δ（π－π_1/2）。整理得

即，企业的利润π满足上述不等式时，他选择接受，否则不接受。

因此，上述不等式的右边就是我们前面所说的π_1，令

解得

现在我们就把该博弈简化成了工会的单个回合的最优化问题。由于工会了解到了企业在第一回合的上述决策方式及第二回合的最佳反应，那么，工会在第一回合谈判中所选择的工资，应该是使自己的期望得益最大，即满足

其中p1a表示第一个回合企业接受ω_1的概率：

而p2a表示第一回合拒绝但第二回合接受的概率：

p_12为第一回合和第二回合均拒绝的概率。代入上式得

解之，得

把代入上述各式得出，等，就是开始我们给出的策略组合中的数值，这就证明了该策略组合在相应判断下满足精炼贝叶斯均衡的序列理性要求，而且该精炼贝叶斯均衡关于判断的几个要求也完全满足。因此，上述策略组合和相关判断是本博弈惟一的精炼贝叶斯均衡。本博弈过程可以用图7.8加以阐释。

图7.8

在本博弈中，ωL＝0。

第五节　有限次重复囚徒困境中的声誉模型（KMRW）

在重复博弈分析中，我们已经得到过一般性结论：在完全信息条件下，如果阶段博弈有惟一的纳什均衡，那么，无论博弈重复多少次，只要重复的次数是有限的，那么有限次重复博弈存在的惟一子博弈精炼纳什均衡是每个博弈方在每次博弈中选择静态均衡战略，即有限次重复不可能导致参与人的合作行为。以囚徒困境博弈为例，该阶段博弈有惟一的纳什均衡（坦白，坦白），在有限次重复囚徒博弈中，每次都选择“坦白”是囚徒的最优策略。然而，这一理论结果似乎与人们的直觉并不一致，大量的实验或实践表明，令警方头痛的是在有限次重复囚徒窘境中的“抗拒”经常性地发生。1982年由克雷普斯（Kreps）、米尔格龙（Milgrom）、罗伯特（Roberts）和威尔逊（Wilson）所建立的声誉（Reputation Model）模型（又称为KMRW模型）通过将不完全信息引入重复博弈，对这种现象提供了合理的解释。他们证明，一个博弈方对其他博弈方的得益函数和策略空间的不完全信息对均衡结果有深刻的影响，合作在有限次博弈中有可能出现，只要博弈重复的次数足够多（没有必要是无限的，在无限次重复博弈中，合作是可以发生的）。

下面我们来分析有限次重复囚徒困境中的KMRW模型。

假定囚徒1有两种类型：理性的（Rational）或非理性的（Irrational），概率分别为（1－P）和P。再假定囚徒2只有理性一种类型，理性的囚徒可以选择任何战略，阶段博弈的得益矩阵如图7.9所示。

非理性的囚徒1，只能选择“针锋相对”（Tit-for-Tat）策略，即开始选择“抗拒”，然后在t阶段选择囚徒2在t－1阶段的选择（你抗拒我也抗拒，你坦白我也坦白）。我们考虑有限次重复博弈的情况，假设只考虑两个阶段，此时博弈的顺序为：

图7.9

1．自然先为囚徒1选择一种类型，囚徒1明白自己的类型，囚徒2不知道。囚徒2只知道囚徒1属于理性的概率是（1－P），非理性的概率为P。

2．两个囚徒进行第一阶段博弈，博弈双方在这一阶段的选择为公共知识。

3．第一阶段博弈结束后，双方进行第二阶段博弈，也是最后一个阶段。

4．囚徒双方的得益是每阶段博弈的现值之和（不考虑时间因素）。

需要说明的是，上面所说的“非理性”并不是说博弈者的行为是非理性的，即不追求效用的最大化，而是说他有一类特殊的得益函数。比如在“市场进入”博弈中，“非理性囚徒”可理解为低成本的在位者。因此，“非理性”囚徒只是对具有不同于我们熟悉的行为方式的囚徒的概括，如讲义气重信用的“囚徒”，具有合作精神的“囚徒”等。“理性”囚徒只是对我们已经熟悉的“囚徒”及其行为的一个简单描述，如非合作型的“囚徒”，具有机会主义倾向的“囚徒”。显然“囚徒”的这些行为特征往往是“囚徒”的典型特征，也是我们所感知的“囚徒”的一般特征。同时，我们假设非理性的囚徒1只有一种策略，只是为了分析的方便。我们其实仍然可以假定非理性的囚徒1还有其他可行的策略。之所以假定其只有“针锋相对”这一种策略，是因为一旦囚徒1偏离了该策略，就显示出他是“理性的”。这样在此假设下，我们就可以只需分析理性囚徒的策略选择。

为使图7.9成为囚徒困境的得益矩阵，我们假定b＜－8，a＞－1。我们从第二阶段博弈开始运用逆向归纳法进行分析。为方便起见。我们用C（Confess）表示“坦白”，D（Deny）表示抗拒。则当T＝2，即单独考虑最后阶段囚徒的困境时，理性的囚徒1和囚徒2都将选择C，这是因为C严格优于D，而非理性囚徒1的选择依赖于囚徒2在第一阶段的选择。对于理性囚徒1来说，他考虑到在第二阶段囚徒2肯定选择C，因此自己没有理由在第一阶段选择D，而也会和囚徒2一样选择C，而且这一选择也不会影响囚徒2在第二阶段的选择。在第一阶段，根据前面的假设，非理性囚徒1的策略是选择D。由于囚徒2不知道囚徒1的真实类型，即到底是非理性的还是理性的，因此，假定其在第一阶段的行动为x（x可取C和D）。我们只需要考虑囚徒2在第一阶段的选择下，他们的选择将影响非理性囚徒1在第二阶段的选择，此时博弈情况如图7.10所示。

图7.10

如果x＝D，则囚徒2的期望得益为

［（－1）p＋b（1－p）］＋［a·p＋（－8）（1－p）］

其中第一项是第一阶段的期望得益，第二项为第二阶段的期望得益。

如果x＝C，则囚徒2在第一阶段的期望得益为a·p＋（－8）（1－p），在第二阶段的期望得益为－8，因此，当

即　　　　－p＋（1－p）b≥－8　　（7.18）

时，囚徒2将选择x＝D。若b＝－10，则p≥，即如果囚徒1属于非理性的概率不小于2/9，则囚徒2将在第一阶段选择抗拒。在下面的讨论中，我们不妨假设［－p＋（1－p）b］≥－8总是成立。

现在我们考虑博弈重复三次（T＝3）的情况。如果理性囚徒1和囚徒2在第一阶段都选择D，即合作，则第二、三阶段的均衡路径与图7.9相同（x＝D），于是三次重复的博弈的路径如图7.11所示。

图7.11

要使图7.11构成三次重复博弈的均衡，必须考虑囚徒2与理性囚徒1在第一阶段取合作策略的充要条件是什么。

首先考虑理性囚徒1在第一阶段的策略。首先，当博弈重复三次时，C不一定是理性囚徒1在第一阶段的最优选择，因为当囚徒2选择D时，尽管选择C在第一阶段可能得a单位的最大支付，但这样会暴露出他是理性的，囚徒2在第二阶段就不会选择D，理性囚徒1在第二阶段的最大支付是（－8）。如果选择D，不暴露自己是理性的，则理性囚徒1可能在第一阶段得到（－1），第二阶段得到0。

因此，在图7.11的路径中，给定囚徒2在第一阶段的选择，如果理性囚徒1选择D，囚徒2则将在第二、三阶段选择策略（D，C），理性囚徒1的期望得益为

－1＋a－8＝a－9

如果理性囚徒1在第一阶段选择C，暴露了其理性特征，囚徒2将在第二、三阶段均选择策略C，则理性囚徒1的期望得益为

a＋（－8）＋（－8）＝a－16

由于a－16＜a－9，因此理性囚徒1的最优选择是D，而没有动力偏离图7.11所示的策略。

对于囚徒2来说，他有三种策略可以选择，分别是第一、二阶段选择策略D，第三阶段选择C。如果理性囚徒1在第一阶段选择D，第二、三阶段选择C，则囚徒2在三个阶段分别选择上述策略的得益为

（－1）＋［（－1）p＋b（1－p）］＋［a×p＋（－8）（1－p）］

如果囚徒2在三个阶段的策略选择均为C，博弈路径如图7.12所示，此时囚徒2的期望得益为

a＋（－8）＋（－8）＝a－16

图7.12

假定

（－1）＋（－1）p＋b（1－p）＋a·p＋（－8）（1－p）≥a－16

则囚徒2将在第一、二阶段不偏离D，而按照图7.12的博弈路径进行。由于已假定条件（7.18）式成立，因此囚徒2不取图7.12所示的偏离方式的充分条件可以写成

－1＋p·（8＋a）≥a　　（7.19）

如果囚徒2在第一、三阶段选C，第二阶段选择D，即在第一阶段发生偏离而取C，但在第二阶段却又取D时，博弈路径如图7.12所示，此时囚徒2的期望得益为

同样，如果

则囚徒2仍将在第一、二阶段选择D，第三阶段选择C，而不会发生上述偏离，因此，囚徒2不发生如图7.13所示的偏离的充分条件为

a＋b≤－9　　（7.20）

图7.13

综合上述分析，如果关系式（7.18），式（7.19），式（7.20）同时成立，则图7.11所示的策略组合就是一个精炼贝叶斯均衡，即理性囚徒1在第一阶段选择策略D，然后在第二、三阶段选择策略C；囚徒2在第一、二阶段选择策略D，然后在第三阶段选择策略C。

对于每一个给定的p∈（0，1），a和b必须同时满足（7.18）式，（7.19）式和（7.20）式才能使图7.11所示的策略组合成为精炼贝叶斯均衡。如果p→0，则（7.18）式趋于b≥－8，（7.19）式趋于a≤－1，与前面关于b＜－8，a＞－1的假设条件不符，表示当p→0时，满足上面三个条件的a与b的可能性将越来越少。

在以上的讨论中，我们假定只有关于囚徒1的类型是私人信息。在此假设下，如果上述三个条件关系式不满足，则合作均衡不可能作为精炼贝叶斯均衡出现。因为如果囚徒2在t＝T－1阶段不选择策略D，在t＝T时，即使非理性囚徒1也不会选择策略D，从t＝T－2期开始的博弈类似于一个重复两次的博弈，囚徒2在t＝T－2阶段也不会选择策略D，因此，囚徒2在任何阶段都不会选择策略D。这里的所谓合作均衡（Cooperative Equilibrium）表示的是T次重复囚徒困境中如下的精炼贝叶斯的均衡：即理性囚徒1和囚徒2从博弈开始至T－2次重复全部选择合作，并在其后的第T－1次和第T次重复时遵循图7.10所示的路径。囚徒1也不会选择策略D。此时，惟一的精炼贝叶斯均衡就是静态博弈纳什均衡的重复。

如果假设两个囚徒的类型都是私人信息，即每个囚徒都是理性的，但理性的概率不是1，也就是说存在一定概率P（P＞0）程度上的非理性，那么，无论P是多么地小（但必须为正数），只要博弈重复的次数足够多（但不是无限多次），那么合作均衡就可能会出现。例如，非理性囚徒选择前面说到过的“冷酷策略”：开始时选择合作（即策略D）直到对方在第t阶段背叛（即策略C）为止，然后从第t＋1阶段开始选择策略C（直到最后阶段）。例如对于囚徒1，如果他在第一阶段t＝1时就选择策略C，从而暴露出自己是理性的，那么，从t＝2阶段开始，两个囚徒都将选择C直到最后阶段策略C进行报复，而且不给对方以改正错误的机会，此时，理性囚徒2也将会选择C。在囚徒2作如此选择的条件下，理性囚徒1的最优选择也只能是C，其最大期望得益为：

a＋（－8）＋…＋（－8）＝a－8（T－1）

如果理性囚徒1的策略是：在博弈的一开始就选择策略D直到最后的T期，如果囚徒2在第t阶段选择策略C，那么理性囚徒1从第t＋1期开始选择C直到T期结束。如果囚徒2是非理性的，理性囚徒1从该策略中的得益为（－1）T；如果囚徒2是理性的，理性囚徒1的最小得益是[b＋（－8）（T－1）]。因此，理性囚徒1从该策略中得到的期望得益为：

P（－T）＋（1－P）[b＋（－8）（T－1）]

如果P（－T）＋（1－P）［b＋（－8）（T－1）］＞a＋（－8）（T－1）

即

成立，说明该策略优于从一开始就选择C的策略。

如果我们令a＝0，b＝－10，则T＞，令T*＝，显然T*随P的增大而递减。如当P＝0.1时，T*＝14；当P＝0.01时，T*＝142。这表明，如果博弈在重复次数足够多的情况下，即使很小的不确定性也将会导致合作发生。于是我们有下列KMRW定理。

KMRW定理：在T次重复囚徒博弈中，如果每个囚徒都有概率P（P＞0）的可能是非理性的（即选择“冷酷策略”），如果T足够大，那么存在T_0（T_0＜T），使得下列策略组合构成一个精炼贝叶斯均衡：所有理性囚徒在t（t≤T_0阶段选择相互合作（共同抗拒），在t＞t_0阶段选择不合作（坦白）；且非合作阶段（即背叛阶段）（T－T_0）数量的大小只与P及阶段博弈的盈利有关，而与博弈重复的次数T无关。

KMRW定理告诉我们，即使P非常小，但这个小小的不确定性却有着巨大的影响。KMRW定理直观解释是，尽管每一个囚徒在选择合作时有可能遭遇其他囚徒不合作的风险，并进而得到一个较低的现阶段支付，但如果该囚徒在一开始就选择不合作，就暴露了自己非合作的类型，这样就可能遇到其他囚徒的“冷酷策略”，从而失去获得长期合作收益的可能。因此，在博弈开始的时候，每一个博弈方都想树立一个合作形象，即使他们本性上并不愿意合作。当博弈快要结束时，如果当期及随后几期的得益无关紧要，博弈者才会一次性地把自己过去建立的声誉利用干净，即选择不合作。如一个快要退休的国企领导，为了在最后几年获得退休后良好的生活条件，而不惜贪污、受贿，晚节不保，毁了一生的声誉，这就是所谓的“五十九现象”。

利用KMRW定理可以很好地解释我们曾经说到过的“市场进入”博弈及生活中大量的博弈问题。在该博弈中，市场在位者选择“斗争”策略类似于囚徒博弈中的“抗拒”策略（即大家共同合作，一起“抗拒”），“默许”策略则类似于囚徒博弈中的“坦白”（即双方没有合作，只是基于个人理性的最大化而选择“坦白”）。如果市场进入者对在位者的成本函数不完全明白，即使市场在位者是高成本的（类似囚徒困境中的理性囚徒）也可能选择“斗争”策略以建立一个低成本形象，阻止进入者进入。

第六节　博弈论四种均衡概念的比较分析

在前面七章关于博弈论理论的分析中，我们分别介绍了完全且完美信息静态博弈、完全且完美信息动态博弈、重复博弈、完全但不完美信息动态博弈、不完全信息静态博弈和不完全信息动态博弈。应该说，关于博弈论的基本内容我们到现在基本上都介绍给大家了。在关于这些基本内容的分析中，我们到目前为止，一共介绍了四个基本的博弈均衡概念，它们是纳什均衡（Nash Equilibrium）、子博弈精炼纳什均衡（Subgame Perfect Nash Equilibrium）、贝叶斯均衡（Bayesian Equilibrium）和精炼贝叶斯均衡（Perfect Bayesian Equilibrium）。对这四个均衡概念，如果不作仔细分析，也许我们可能会认为每一个均衡概念对应于一种不同类型的博弈，彼此间都是完全不同的新概念，从而增加对这几个概念理解上的难度。因此，我们在这里对这四个均衡概念进行一下归纳分析和总结。事实上，这四个均衡概念是密切相关的。

博弈分析的目的是预测博弈的结果，正如我们说纳什均衡具有一致预测的性质一样。一个比较简单的博弈中的合理行为在另一个比较复杂的博弈中可能是完全非理性、不合情理的。因此，适用于简单博弈的均衡概念（如完全且完美信息博弈中的纳什均衡）却不一定适合较为复杂的博弈（如不完全信息动态博弈），这样，随着博弈理论分析的不断深入，由较简单的博弈进入较复杂的博弈的时候，就需要引入更加严格的限制条件以强化原来的均衡概念，每一个新的均衡概念的相继引入正是为了剔除依据原有概念可能得出的不合理的博弈结果。当我们将完全且完美信息静态博弈中的纳什均衡概念应用到完全且完美信息动态博弈时，这时发现纳什均衡在动态博弈中包含着不可置信的威胁和承诺。为了剔除这些不可置信的威胁和承诺，我们就需要引入比纳什均衡适应性更加严格的子博弈精炼纳什均衡概念，子博弈精炼纳什均衡强化了纳什均衡。同样地，把纳什均衡引入不完全信息静态博弈时，纳什均衡已不再适用，而需要引进贝叶斯这一新概念；当我们将贝叶斯均衡应用于不完全信息动态博弈时，我们发现贝叶斯均衡概念存在着同样的问题，需要进一步引进一个新的均衡概念——精炼贝叶斯均衡，精炼贝叶斯均衡是上述四个均衡概念中要求最严的均衡概念：博弈方的行动不仅在整个博弈上构成贝叶斯均衡，而且在每一个后续子博弈上构成贝叶斯均衡，并且博弈方必须根据贝叶斯法则修正信息。精炼贝叶斯均衡强化了贝叶斯纳什均衡。

其实，精炼贝叶斯均衡在不完全信息静态博弈中等价于贝叶斯纳什均衡，在完全且完美信息动态博弈中等价于子博弈精炼纳什均衡，在完全信息静态博弈中等同于纳什均衡。四个均衡之间的这种关系，我们可以用图7.14的集合关系图表示。

图7.14

其中，每一个对应较小集合的均衡概念也适用于对应较大集合的均衡概念，但反之不成立。

思考题

1．阐述口头声明能有效传递信息的条件，为什么？

2．在信号博弈中，信号机制起作用的条件是什么？

3．能够传递信息的行为有怎样的特征？

4．在下列的声明博弈中，假设声明方的类型有三种可能性，每种类型出现的可能性相等，如果声明方的各种类型和接收方的各种行为组合的得益如图7.15所示，其中声明方的得益为第一个数字，接收方的得益为第二个数字。试求该博弈的纯策略精炼贝叶斯均衡。

图7.15

主要参考文献

1．Fudenberg, Drew. and Jean Tirole （1991） Game Theory, MIT Press

2．Robert Gibbons （1992） Game Theory for Applied Economists, Priceton University Press

3．Beirman, H. Scott and Fernandez, Louis （1998） Game Theory with Economic Applications, Addision-Welsley

4．谢识予．经济博弈论（第二版）．复旦大学出版社，2002

5．［美］罗伯特．吉本斯，高峰译．博弈论基础，中国社会科学出版社，1999

6．张维迎．博弈论与信息经济学．上海三联书店、上海人民出版社，2000

7．施锡铨．博弈论．上海财经大学出版社，2003

8．陈禹．信息经济学教程．清华大学出版社，1998

9．潘天群．博弈生存．中央编译出版社，2002

10．万宝珍．环境保护与效率优先的博弈分析．企业经济，2004（6）

11．郭晓曦等．技术创新的博弈分析．上海管理科学，2004（1）

12．王则柯等．博弈论教程．中国人民大学出版社，2004